抽象函數(shù)問題解法歸納

周蓉

摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)里出現(xiàn)的函數(shù)，大多數(shù)是由解析式表達(dá)的，但也有函數(shù)沒有給出解析式或只給出一段解析式，即抽象函數(shù)。就抽象函數(shù)應(yīng)用的幾種類型進(jìn)行整理、歸納。

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合

近幾年來，經(jīng)常在各種考試中出現(xiàn)與抽象函數(shù)有關(guān)的試題，這類試題往往概念抽象、隱蔽性強(qiáng)、靈活性大、綜合程度高，因此學(xué)生往往感到難以捉摸，無從下手。

本文就抽象函數(shù)應(yīng)用的幾種類型整理、歸納如下。

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解決抽象函數(shù)問題時，利用數(shù)與形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢盡快得到解題的途徑。

例1.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的實(shí)根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= 。

二、轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)中問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化，能將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、易解的或已經(jīng)解決的問題，使問題便于解決。

例2.已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)增函數(shù)，若f（1）

三、運(yùn)用性質(zhì)

函數(shù)有些性質(zhì)，在解題中若能靈活運(yùn)用，往往能使問題順利解決。

例3.若函數(shù)f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，則方程f（x）=0在區(qū)間[-10，10]上有 個實(shí)數(shù)解。

四、特殊化策略

當(dāng)填空題暗示答案是一個“定值”時，我們可以取一個（些）特殊值來確定這個“定值”，通過特例分析，節(jié)省推理論證的過程，獲得解題的重要信息，達(dá)到簡縮思維過程、降低推算難度的目的。

例4.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）·f（x），則f（f（■））= 。

五、抽象函數(shù)定義域的求法

例5.若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，則函數(shù)y=f（x+■）+

f（x-■）的定義域?yàn)?。

六、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷

例6.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意實(shí)數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）·f（n），且當(dāng)x>0時，0

七、抽象函數(shù)奇偶性的判斷

例7.已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈={x/x≠0}，且f（x）滿足：對于任意實(shí)數(shù)m，n∈D，總有f（m·n）=f（m）+f（n），證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)。

（作者單位 江蘇省上岡高級中學(xué)）

？誗編輯 董慧紅