問渠那得清如許，為有源頭活水來

馮建梅

【案例背景】

數學教學中有很多有關公式、定理的教學，有的教師認為只要直接讓學生知道公式、定理的內容就可以了，因此非常注重“結果教學”，不會用太多時間安排學生進行探索研究，而是把時間主要安排在公式定理的應用上。對于文科生更是如此。而我自己在學習、實踐過程中深深地感受到“問渠那得清如許，為有源頭活水來”的深刻意味。在日常的教學中，比較注重基礎知識的生成，思想方法的滲透，并堅信如果持之以恒，必將收獲沉甸甸的喜悅。

【案例描述】

那是一次月考，試卷的16題、20題錯誤率很高，但有十幾個學生的解法很好，講評課上就請這些學生講解。他們的講解讓我欣喜若狂，覺得自己的堅持是多么的有價值。

16.若直線m被兩平行線l1：x-y+1=0與l2：x-y+3=0所截得的

線段的長為2■，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正確答案的序號是 。

這道題考查直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離等有關知識點，考查數形結合的思想，是直線知識命題中不多見的較為復雜的題目。

我請做對這道題的A學生講解，A學生自信地來到講臺上，開始了他的講解：首先，我們要研究已知條件，題目已知的是兩條直線的方程，老師不是常建議我們要充分地利用數形結合思想嗎，所以，我準備用數形結合研究這個問題。從圖象可以看出，這是兩條平行線，當然大家從表達式也可以得出同樣的結果。其次，直線m位置不確定，故我想到老師說的“我們要有小馬過河的精神”去嘗試比劃，結果問題還就變得簡單了！大家把我手中的直尺看作直線m，隨著直線m位置的變化，不難發現，直線m被這兩條平行線所截得線段長在不同的位置，長短是不一樣的，被截得的線段沒有最長的，有最短的。其中最短的就是兩平行線間的距離。兩平行線間的距離d=■，又因為2■=2d，可說明直線m與兩條平行線不垂直，且直線m與直線l1的夾角為30°，符合條件的直線m有兩條。再次，因為直線l1的斜率為1，傾斜角為45°，利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和”這一定理，可得直線m的傾斜角為30°+45°=75°或45°-30°=15°。故選①⑤。

他的講解讓我更加堅定，在學生學習的過程中，知識是基礎、方法是骨架、思想是靈魂，只有以思想方法統領知識才能在解題過程中以不變應萬變，去攻克一道道難題。

20.已知曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0，

（1）若曲線C表示圓時，求m的取值范圍；

（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值。

從試卷的解答看，此題的解法有三種，前兩種解法是通過聯立方程組，利用根與系數的關系，再結合圖形解決問題的。而第三種解法很有新意，是在原有知識的基礎上舉一反三解決問題的。

解法三：（D學生）

我們之前學習直線系方程和圓系方程時有這樣的結論。

過直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直線L2）。

過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2）。

因為OM⊥ON，所以M、N、O三點共圓，不妨設為圓D，則圓D是過直線與圓C交點M、N的圓，故它的方程可以仿照上述結論設為：（x2+y2-2x+4y+m）+λ（x+2y-4）=0，則圓心坐標為D（-■，-λ+2）.

因為圓D過原點O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因為OM⊥ON，所以MN為直徑，圓心D在直線MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；

聯立①②，解得λ=■，m=■。

聽到這里，感慨萬千，此學生如果沒有對之前知識的深刻理解，又怎么會進行知識的遷移，從而舉一反三呢？

【案例反思】

1.學生具有能夠自主思考與探索的天性，教師要大膽將問題拋給學生，給學生留有思考和探索的空間。在學生“再創造”的過程中，得到的結論是否正確并不重要，重要的是他體驗了從無知到有知，從模糊到清晰，從不會到會的歷程，這對他的學習品質及人格力量的形成有著不可低估的重要價值。

2.在教學中充分重視定理、公式的推導過程有以下幾點好處：

（1）學生通過自身活動所獲得的知識與能力，遠比別人強加的要理解得透徹、掌握得更好，也更具有實用性，便于知識的遷移，能力的發展，一般來說，還可以保持較長久的記憶。

（2）推導過程包含了發現，而發現是一種樂趣，因而通過“推導公式定理”來進行學習能引起學生的興趣，并激發學生深入探索研究的學習動力。

3.教學中教師要及時肯定和鼓勵學生自己的成果，逐步幫助學生樹立自信，遇到問題要有“小馬過河”的精神去嘗試。學生的想法、問題是在學生探究探索的過程中產生出來的，這也為教學提供了發展的土壤和養分，這樣的課堂才具有生命的價值。

在日后的教學中，我將繼續堅持基礎知識的生成、思想方法的滲透，相信可愛的學生會有更多令人驚喜的表現，讓我們靜靜等待花兒的綻放吧！

（作者單位 山西省太原市實驗中學）

？誗編輯 張珍珍