基于神經網絡驗證壓電方程的正確性

葛振庭 施偉辰

(上海海事大學 物流工程學院，中國 上海201404)

0 研究背景

材料從使用性能上可以分為結構材料和功能材料兩大類[1]，其中結構材料以其強度、韌性、硬度、彈性等力學特性為 應用依據，功能材料以其電、磁、光、聲、熱等物理性能為基礎，用以制作有特殊功能的器件。壓電材料是實現機械能與電能相互轉換的功能材料[2]，是一類對機、電、聲、光、熱敏感的電子材料，外力和電場之間的耦合為壓電材料提供了一種機制，用于感測力學載荷所誘發電位變化，并通過外部電場改變結構應。壓電材料的結構可靠性已引起越來越多的關注，因為它們大多是被應用在微機電系統中,而微機電系統的大量應用也決定了研究壓電材料的重要意義。

1 壓電材料的本構方程

在線性壓電材料的情況下,我們可以構建橫向的等方性壓電材料的六角形晶體模型,從而得出以下本構方程組[3]：

其中σ表示應力大小,ε表示應變大小,E表示電場強度大小，D表示電位移的大小，c與ζ為此本構方程的常系數，下標1，2，3表示空間坐標系中的三個方向，坐標系表示分別為x1，x2，x3。以下關系式（2）說明了方程（1）中具體應力應變的方向及含義：

2 神經網絡

人工神經網絡(簡稱神經網絡)是由人工神經元互連組成 的網絡，是一種非線性動力學系統，它采用類似于“黑箱”的方法，通過學習和記憶而不是假設，找出輸入、輸出變量之間的非線性關系（映射），在執行問題和求解的時候，將所獲取的數據輸入給訓練好的網絡，依據網絡學習的知識進行網絡推理，得出合理的答案與結果。其中BP神經網絡是目前發展比較成熟的一種人工神經網絡，約有80%的神經網絡系統采用BP網絡。它是一種反饋式全連接多層神經網絡，具有結構簡單，工作狀態穩定等優點，并且具有較強的聯想、記憶和推廣能力，可以以任意精度逼近任何非線性連接函數[4]。

3 壓電陶瓷平面方程驗證

本文將針對PZT-4壓電陶瓷的本構方程進行研究。對于此種壓電材料，本構方程里面的常系數c與ζ均為已知常數。此壓電材料屬于線性壓電材料的范疇，為減少數據量的運算，方便神經網絡的預測，本文將著重針對該材料的二維平面方程進行驗證。對于平面問題，不妨設坐標x2方向上的應力大小為0，則根據彈性力學中平面應力基本模型，此時可知坐標系x2方向上的電位移D2=0，且凡是下標帶有x2的應力與應變大小均為0。故可以得出以下關系式（3）。

故根據式（1）（2）（3）可得 x1，x3的平面本構方程如下：

其中常系數的含義及數值單位如右所示：彈性常數：c（1010N/m2），壓電常數 e（10C/m2），ζ（10-9C/Vm），具體數值見式（5）：

根據式（3）（4）（5）分別給應變 ε11ε13ε33以及電場強度 E1E3這五個量賦值，將輸入值帶入方程（4）從而得到應力電位移σ11σ33σ13D1D3這五個輸出值。從而再將輸入值ε11ε13ε33E1E3作為訓練神經網絡的輸入樣本，由于此方程的準確系數已經根據實驗測出，故輸出值可以認做是準確數據，將此處的輸出值σ11σ33σ13D1D3作為訓練神經網絡的輸出樣本。考慮到神經網絡對輸入數據區別的要求，此處帶入的輸入樣本值均將小于1，省去了輸入前歸一化的步驟，即此處輸入數據可以直接當做樣本數據來使用。為了保證網絡的訓練精度，在此使用9組樣本數據進行神經網絡訓練，見下表1。每列從上到下的數據分別為 ε11ε13ε33單位為：10-5，E1E3單位為：10-5N/C，σ11σ33σ13單位為：10-5N/m2,D1D3單位為：10-5C/m2。

表1 訓練神經網絡樣本輸入輸出數據

利用Matlab里內置的神經網絡工具，在了解了BP網絡的工作原理后，建立具體網絡模型。此例中輸入層有5個節點，分別是ε11ε13ε33E1E3這五個輸入值,隱含層設置了9個節點,輸出層有5個節點,即識別方程的輸出值σ11σ33σ13D1D3。本例中應用了logsig訓練函數，且表1中的樣本數據差異大，可以直接用Matlab進行訓練，經過10000次訓練后網絡的目標函數精度為1.337×10-10，迭代過程見下圖1。

為了驗證方程的準確性，任選一組ε11ε13ε33E1E3作為輸入數據，分別為 0.1,0.2,0.4,0.5,0.7;將其帶入到方程（4）中，則可以得到一 σ11σ33σ13D1D3數據分別為：9.248，-5.696，-4.425，8.376，14.526 此組數據為真實的輸出數據。再將這組輸入數據帶入已訓練好的神經網絡，從而得 出 網 絡 的 預 測 輸 出 值 分 別 為 9.2594，-5.6982，-4.4196，8.3878，14.5338。此處數據的單位均如上文所述。比較輸出數據的值，將這兩組輸出數據分別作在同一坐標系內，見上右圖2，其中實際值為紅色六角星標注，預測值為黑色星號標注，發現實際值與預測值誤差很小，可以說明該神經網絡具有較高的預測精度，至此，運用神經網絡的方法可以證明此壓電本構方程線性

關系的準確性很高，即可驗證此壓電平面本構方程是正確的。

圖1

圖2

4 結論

平面壓電本構方程中的線性常數已經給出，通過輸入多組輸入數據根據本構方程得到準確的輸出數據作為神經網絡的樣本訓練數據，借由神經網絡極強的模擬映射關系，訓練好的網絡可以預測出任意數據關系模型，包括此處的線性關系模型。本文通過神經網絡驗證壓電方程中數據之間的線性關系，是一種很好的驗證方法，具有一定的使用意義。

［1］蓋學周.壓電材料的研究發展方向和現狀[J].中國陶瓷，2008，5（44）：9－13.

［2］裴先茹，高海榮.壓電材料的研究和應用現狀[D].鄭州：鄭州師范學院.

［3］Fuqian Yang.Department of Mechanical Engineering,University of Rochester,233 Hopeman Building,Rochester,NY 14627-0132,USA Received 13 October 1999;in revised form 21 May 2000[Z].

［4］賈艷春.人工神經網絡應用于地下洞室圍巖參數識別[J].模式識別與人工智能，1996，9（1）：71-77.