換一些新思路去理解函數的奇偶性

丁亮　楊星光

函數幾乎貫穿整個數學，而函數的奇偶性是函數的重要性質之一。所以，理解好、掌握好函數的奇偶性，非常重要。經過反復討論后，結合多年學習和教學實踐，對高中數學里函數的奇偶性提出三點全新的理解，并通過具體例子加以說明，旨在與同仁切磋探討。

函數奇偶性奇數偶數正數負數函數是整個數學學科中比較難的部分，其邏輯性強，內容枯燥，理解難度大，讓很多學生對函數學習產生乏味心理。但是，函數同時也是職業教育數學教學中的重要內容，所以數學教師必須教好它，學生必須學好它。函數的重要性質是把握函數學習的基礎，而函數的奇偶性是函數的重要性質之一，所以掌握好函數的奇偶性尤為重要。為此，筆者反復討論后，結合多年學習和教學實踐，獨辟蹊徑，對函數的奇偶性進行全新的、有趣的三點理解，供同仁參考。

一、從冪指數是整數的情形開始思考

從我們初中學過最簡單的一次函數是f（x）=x，最簡單的二次函數是f（x）=x2開始我們的討論。我們發現“偶函數”這三個漢字中有一個“偶”字，偶數的“偶”，而通過f（x）=x2是偶函數，冪“2”也正好是偶數，那我們就大膽猜想，冪是偶數的函數都是偶函數。同樣的道理，“奇函數”這三個漢字中有一個“奇”字，奇數的“奇”，而通過f（x）=x=x1是奇函數，冪“1”也正好是奇數，那我們就大膽猜想，冪是奇數的函數都是奇函數。我們又發現，f（x）=1其實蘊含著一個信息即f（x）=1=x0，而冪“0”也是偶數，所以根據我們的猜想，f（x）=1也是偶函數。通過教材中奇偶函數的定義，可以驗證我們猜想對于上述函數奇偶性結果的判斷都是對的。舉一例：f（x）=x4，因為冪“4”是偶數，所以f（x）=x4是偶函數。再舉一例：f（x）=x3，因為冪“3”是奇數，所以f（x）=x3是奇函數。通過上述辦法，不管數學基礎有多差的學生，只要他能分清奇數和偶數，他就能輕松舉出無數個奇函數的例子，同時還能舉出無數個偶函數的例子，這是一件很好的事。

二、結合初中內容，提出一個特別實用的新思路，處理奇、偶函數混合的情況

作為老師，我們知道：“奇函數×奇函數=偶函數，奇函數×偶函數=奇函數，偶函數×奇函數=奇函數，偶函數×偶函數=偶函數，偶函數÷偶函數=偶函數，奇函數+奇函數=奇函數，偶函數+偶函數=偶函數”。但是，我們怎么樣，讓學生輕松地記住這些結果呢？

我們提出一個極其簡單的記憶口訣，即“把奇函數看成負數，偶函數看成正數”，來讓學生聯系地記住上述結果。初中學過“負×負得正，負×正得負，正×負得負，正×正得正，正÷正得正，負+負得負，正+正=正”，這樣，這個內容正好依次對應符合“奇函數×奇函數=偶函數，奇函數×偶函數=奇函數，偶函數×奇函數=奇函數，偶函數×偶函數=偶函數，偶函數÷偶函數=偶函數，奇函數+奇函數=奇函數，偶函數+偶函數=偶函數”。不但如此，我們還都知道“奇函數×奇函數×奇函數=奇函數”，這正好也符合“負×負×負得負”，因為我們把奇函數看成負數來處理奇函數、偶函數同時存在的情況。同樣的道理，我們還知道“奇函數×偶函數×偶函數=奇函數”，其實這同樣符合初中學的“負×正×正得負”。像這樣的例子太多了，此時，我們不難發現，通過把“奇函數看成負數，偶函數看成正數”來判斷奇函數、偶函數同時存在的函數的奇偶性、多個奇函數的“+×÷”混合的奇偶性以及多個奇函數的“+×÷”混合的奇偶性特別實用。

雖然對于“奇函數-奇函數”即“負-負”，我們無法判斷結果的正負號，因此無法判斷出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函數的定義來判斷奇、偶函數同時存在的函數的奇偶性了，但是對于奇函數、偶函數同時存在的情況或者多個奇函數的“+-×÷”的情況或者多個多個偶函數的“+×÷”的情況，用我們提出的方法，凡是“+×÷”能判斷出結果是正數是負數的，我們都可以判斷出“這個混合的奇、偶函數”到底是奇函數還是偶函數，這是一件好事，畢竟用教材中奇、偶函數的定義來判斷比較復雜的函數的奇偶性比較麻煩。

三、結合本文第一點和第二點，談冪指數是分數的情形

細心觀察一下，大家會發現，從本文第一點，不難發現處理的是冪指數是整數的情形。因為我們職業學院五年制大專班數學的授課對象是類似于高一水平的學生，我們自然要問，對于冪指數是分數的情況怎么處理呢？因為分數既不是偶數也不是奇數。再結合第二點本文提出的一個記憶口訣，即“把奇函數看成負數，偶函數看成正數”，可以輕松處理冪指數是分數時，判斷函數的奇偶性問題，因為可以把舉一例f（x）=x34，事實上，f（x）=x34蘊含著一個信息，那就是f（x）=x34=（x3）14。不難發現，因為冪“3”用是奇數，用我們提出的第一點想法，先輕松判斷出x3是奇函數。再用我們提出的第二點想法即“把奇函數看成負數，偶函數看成正數”，（奇函數）14看成（負數）14，這明顯沒有意義，所以f（x）=x34既不是奇函數也不是偶函數。通過教材中奇、偶函數的定義，可以從側面驗證，我們的結果確是正確的。再舉一例f（x）=x43，事實上，f（x）=x43蘊含著一個信息，那就是f（x）=x43=（x4）13。不難發現，因為冪“4”用是偶數，用我們提出的第一點想法，先輕松判斷出x4是偶函數。再用我們提出的第二點想法即“把奇函數看成負數，偶函數看成正數”，（偶函數）13看成（正數）14，很顯然，結果還是正數，所以f（x）=x43是偶函數，因為我們用的方法是“把奇函數看成負數，偶函數看成正數”，而我們的最終結果是判斷函數的奇偶性。通過教材中奇、偶函數的定義，同樣可以從側面驗證，我們的結果確是正確的。像這樣的例子，我們還可以舉出很多，這些例子說明本文提出的第一點想法和第二點想法，對于判斷較復雜的函數的奇偶數非常有用。

我國著名數學家、著名教育家陳省身院士曾指出“數學是思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”筆者通過這篇文章對高中數學里函數的奇偶性提出了一些全新的理解方式和并且給出了具體應用，旨在與同仁們一起進步。

參考文獻：

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