巧用分解質因數的方法解題

浙江 俞 英

分解質因數在課本中的主要任務似乎就是為后面的公因數和公倍數服務的。其實不然，我們可以根據題意，將一個數分解質因數，并對分解得到的質因數進行適當的分析和組合，就能順利解決許多疑難問題。

【例1】一批工人搬210塊磚，若工人增加6人，那么每人就少搬4塊，原有多少人？

【分析與解】因為磚的塊數是210塊，而且磚的塊數210=工人人數每人搬的塊數，由此可以知道工人人數是210的一個因數，我們可以從210入手，把它分解成質因數：210=2357，根據題中的數量關系式，磚的塊數210=工人人數每人搬的塊數可知，應將210寫成兩個自然數相乘的形式，我們對210的質因數進行適當的組合可得到7種不同的情況：

再由題中“工人增加6人”可知一個因數變化后比原來的大6；由“每人就少搬4塊”可知另一個因數變化后比原來的小4。根據這個條件，我們可以輕松地從 7種形式中找出符合題意的兩種：210=1021，210=1415，其中比另一種分解形式中的因數小6的數就是原來工人人數，由此得出原來工人的人數是15。

【例2】俞老師帶一個班的學生去種樹，學生恰好被平分成四個小組，并且師生每人種的棵數一樣多，共種樹667棵，這個班共有學生多少人？

【分析與解】因為師生每人種的棵數一樣多，種樹的總棵數667=每人種的棵數師生人數，根據題意可以知道，學生人數比師生人數少1，要求學生就必須知道師生人數，而師生人數是667的一個因數，所以我們需要將667分解質因數：667=2329。那么質因數23和29中哪個是師生人數呢？題中“學生恰好平均分成四個小組”，說明學生人數是4的倍數，也就是說師生人數少1的數是4的倍數，在23和29這兩個質因數中只有29符合這個條件，所以這個班的師生人數為29，學生人數就是29－1=28人。

【練一練】

1.1055名學生組成迎賓方陣，若每排增加12人，就減少了20排，原來每排有多少人？

2.王師傅帶徒弟們做玩具，徒弟恰好能平均分成三個小組，若每個徒弟都比王師傅少做1個，則師徒共做了507個，徒弟有多少人？