關(guān)于不定積分運(yùn)算的特征分析

徐 森

（陜西省建筑職工大學(xué)，陜西 西安 710068）

0 引言

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，不定積分運(yùn)算是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)。重點(diǎn)主要體現(xiàn)在不定積分起到銜接微積分體系的一個(gè)作用。不定積分的學(xué)習(xí)以微分為基礎(chǔ)，為后面定積分以及微分方程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；而難點(diǎn)主要是不定積分是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，對(duì)于學(xué)生而言，屬于一個(gè)逆向思維的過程，學(xué)習(xí)起來較為抽象。

很多學(xué)生對(duì)于不定積分的計(jì)算總是掌握不好，究其原因，主要是對(duì)于基本概念以及基本方法的理解還不夠，沒有認(rèn)清這些概念方法如何應(yīng)用。本文在總結(jié)不定積分的基本概念和常用方法的基礎(chǔ)之上，對(duì)不定積分的運(yùn)算特征進(jìn)行了分析。

1 不定積分的運(yùn)算特征分析

1.1 微分與積分的互逆關(guān)系

教材[1]中定義1，定義2中關(guān)于原函數(shù)和不定積分的定義告訴我們，“不定積分是一個(gè)求全體原函數(shù)的過程，不定積分是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算”。我們的基本積分公式正是根據(jù)微分與積分的互逆關(guān)系得出來的。另外，正確認(rèn)識(shí)了這種“互逆關(guān)系”后，不定積分的兩個(gè)基本性質(zhì)（1）、（2）也就好理解了。

根據(jù)不定積分的兩個(gè)基本性質(zhì)：

發(fā)現(xiàn)不定積分運(yùn)算的一個(gè)基本特征是“拆項(xiàng)的思想”，利用不定積分的基本性質(zhì)，將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)拆成若干個(gè)簡單函數(shù)相加減的形式，然后套用基本積分公式得出答案。

1.2 積分方法

教材[1]中談到的積分方法主要有換元積分法和分部積分法。兩類積分法都包含了一種“乘法的思想”，即都是“處理兩個(gè)函數(shù)相乘的形式，且其中必有一個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)存在”，即：

如果f（x）與g（x）存在函數(shù)關(guān)系，則用第一類換元積分法；反之，則為分部積分法。下面通過幾個(gè)例題進(jìn)行說明。

運(yùn)用“乘法思想”為本解法的第一步變形提供了依據(jù)。

解法二：拆項(xiàng)思想與乘法思想的綜合

本題被積函數(shù)是一個(gè)整體，難以直接處理。考慮到“乘法思想”，希望通過變形，講被積函數(shù)整理成為兩個(gè)分式相乘的形式，從而想到“通分”。為本題的順利解決提供了思路。

本題最大的特點(diǎn)是被積函數(shù)形式簡單，可利用的條件較少。從“乘法思想”入手，考慮向被積函數(shù)乘以一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造微分等式，為解題提供條件。本題需要綜合利用“乘法思想”和“拆項(xiàng)思想”才能順利解決。

2 總結(jié)

不定積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，本文從計(jì)算思想上進(jìn)行了分析，提出兩種解題思想來解決不定積分問題。在遇到較為復(fù)雜的運(yùn)算題目時(shí)，從解題思想的角度出發(fā)，為題目變形提供思路，這樣處理積分問題也就有了套路可循。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2004：114-157.

［2］胡林.淺談不定積分的運(yùn)算思維[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（5）：166.