雙輪自平衡小車的動力學建模與分析

孫陽+辛頌+雷榮芳+張忠秋+胡琴芳

摘 要 雙輪自平衡小車本身具有不穩定、非線性等特點，使得對雙輪自平衡小車的控制變得相當復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓法建立數學模型，歸一化處理后得到系統線性化模型，便于之后對雙輪自平衡的仿真與控制。

關鍵詞 雙輪自平衡小車；本質不穩定；數學模型；牛頓法

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）05-0170-02

近些年來，對移動機器人的研究越來越深入，其應用領域越來越廣泛，具有廣闊的研究背景。雙輪車是一種本質不穩定的特殊的輪式移動機器人，具有多變量、非線性等特征，對它的控制也比較復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓力學建立數學模型，之后進行歸一化處理，最終得到了系統的線性化模型，便于進一步對雙輪自平衡小車進行控制。

1 系統模型建立

1.1 車輪模型

以兩輪軸線方向為x軸，車體前進方向為y軸，過車輪軸中點豎直向上為z軸，建立坐標系。以右側車輪為例，對其進行受力分析，如圖1所示。

圖1 兩輪車右輪受力分析

根據牛頓力學方程，我們可以得到：

（1）

（2）

同理，我們可以得到左輪的平衡方程：

（3）

（4）

其中：是車輪的質量，為輪子的半徑，是車輪的轉動慣量，，分別為左右車輪的線加速度，，為左右輪與地面的摩擦力，，是左右輪水平方向的作用力，，是左右輪的角加速度，，分別為左右輪的轉矩。

1.2 車身模型

平衡車車身的運動由繞車軸的相對轉動和沿y軸方向的平動兩部分構成，假設平衡車車身的傾角為，我們建立了平衡車車身的模型圖（如圖2所示）。

圖2 兩輪車車身的受力分析

我們可以得到車身的平衡方程：

（5）

其中：

（6）

（7）

車體的和外力矩：

（8）

其中：是除車輪外車身部分的質量，是車輪的平均位移，分別是左右輪的位移，，是質心的水平位移和線加速度，為車體質心到車輪軸的距離，是車身傾斜的角加速度，是左右輪豎直方向的作用力，是車體的轉動慣量。

1.3 轉向模型

下面我們討論平衡車轉向時的情況。假定平衡車轉角為，我們做出了平衡車轉向的示意圖（如圖3所示）。

圖3 兩輪車轉向示意圖

我們可以得到：

（9）

其中：

（10）

其中為平衡車的轉角，是左右輪間的距離，是車體繞軸的轉動慣量。

1.4 系統狀態方程

平衡車由車身、輪子兩部分構成，根據（1）-（10），消去中間變量，平衡車這樣的動態系統可以被表示為：

（11）

（12）

（13）

假設車身傾角在范圍內，將（11）、（12）、（13）線性化展開，我們的得到系統的狀態方程：

2 結論

本文首先通過對自平衡小車進行受力分解，建立了自平衡小車車輪、車身和轉向時的數學模型，然后通過牛頓力學方程建立了平衡車的動力學方程，并在此基礎上求出了雙輪載人小車的狀態方程。

參考文獻

[1]黎田.兩輪自平衡機器人自適應控制算法的研究[D].哈爾濱工業大學，2007.

[2]蔡建羨，阮曉剛，甘家飛.兩輪自平衡機器人系統建模與模糊自整定PID控制[J].北京工業大學學報，2009（12）.

[3]阮曉鋼，趙建偉，劉江，等.兩輪直立式自平衡機器人的控制與研究[A].第十七屆全國測控計量儀器儀表學術年會（MCMI'2007）論文集（下冊）[C].2007.

[4]Gao X， Dai F， Li C. Two types of coaxial self-balancing robots[J].Journal of Central South University， 2013， 20：2981-2990.

[5]Wei W， Xiaoning M， Jijun W. Intelligent control in two-wheel self-balanced robot[C]//Computer， Mechatronics， Control and Electronic Engineering （CMCE），2010 International Conference on. IEEE， 2010， 3：470-473.endprint

摘 要 雙輪自平衡小車本身具有不穩定、非線性等特點，使得對雙輪自平衡小車的控制變得相當復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓法建立數學模型，歸一化處理后得到系統線性化模型，便于之后對雙輪自平衡的仿真與控制。

關鍵詞 雙輪自平衡小車；本質不穩定；數學模型；牛頓法

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）05-0170-02

近些年來，對移動機器人的研究越來越深入，其應用領域越來越廣泛，具有廣闊的研究背景。雙輪車是一種本質不穩定的特殊的輪式移動機器人，具有多變量、非線性等特征，對它的控制也比較復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓力學建立數學模型，之后進行歸一化處理，最終得到了系統的線性化模型，便于進一步對雙輪自平衡小車進行控制。

1 系統模型建立

1.1 車輪模型

以兩輪軸線方向為x軸，車體前進方向為y軸，過車輪軸中點豎直向上為z軸，建立坐標系。以右側車輪為例，對其進行受力分析，如圖1所示。

圖1 兩輪車右輪受力分析

根據牛頓力學方程，我們可以得到：

（1）

（2）

同理，我們可以得到左輪的平衡方程：

（3）

（4）

其中：是車輪的質量，為輪子的半徑，是車輪的轉動慣量，，分別為左右車輪的線加速度，，為左右輪與地面的摩擦力，，是左右輪水平方向的作用力，，是左右輪的角加速度，，分別為左右輪的轉矩。

1.2 車身模型

平衡車車身的運動由繞車軸的相對轉動和沿y軸方向的平動兩部分構成，假設平衡車車身的傾角為，我們建立了平衡車車身的模型圖（如圖2所示）。

圖2 兩輪車車身的受力分析

我們可以得到車身的平衡方程：

（5）

其中：

（6）

（7）

車體的和外力矩：

（8）

其中：是除車輪外車身部分的質量，是車輪的平均位移，分別是左右輪的位移，，是質心的水平位移和線加速度，為車體質心到車輪軸的距離，是車身傾斜的角加速度，是左右輪豎直方向的作用力，是車體的轉動慣量。

1.3 轉向模型

下面我們討論平衡車轉向時的情況。假定平衡車轉角為，我們做出了平衡車轉向的示意圖（如圖3所示）。

圖3 兩輪車轉向示意圖

我們可以得到：

（9）

其中：

（10）

其中為平衡車的轉角，是左右輪間的距離，是車體繞軸的轉動慣量。

1.4 系統狀態方程

平衡車由車身、輪子兩部分構成，根據（1）-（10），消去中間變量，平衡車這樣的動態系統可以被表示為：

（11）

（12）

（13）

假設車身傾角在范圍內，將（11）、（12）、（13）線性化展開，我們的得到系統的狀態方程：

2 結論

本文首先通過對自平衡小車進行受力分解，建立了自平衡小車車輪、車身和轉向時的數學模型，然后通過牛頓力學方程建立了平衡車的動力學方程，并在此基礎上求出了雙輪載人小車的狀態方程。

參考文獻

[1]黎田.兩輪自平衡機器人自適應控制算法的研究[D].哈爾濱工業大學，2007.

[2]蔡建羨，阮曉剛，甘家飛.兩輪自平衡機器人系統建模與模糊自整定PID控制[J].北京工業大學學報，2009（12）.

[3]阮曉鋼，趙建偉，劉江，等.兩輪直立式自平衡機器人的控制與研究[A].第十七屆全國測控計量儀器儀表學術年會（MCMI'2007）論文集（下冊）[C].2007.

[4]Gao X， Dai F， Li C. Two types of coaxial self-balancing robots[J].Journal of Central South University， 2013， 20：2981-2990.

[5]Wei W， Xiaoning M， Jijun W. Intelligent control in two-wheel self-balanced robot[C]//Computer， Mechatronics， Control and Electronic Engineering （CMCE），2010 International Conference on. IEEE， 2010， 3：470-473.endprint

摘 要 雙輪自平衡小車本身具有不穩定、非線性等特點，使得對雙輪自平衡小車的控制變得相當復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓法建立數學模型，歸一化處理后得到系統線性化模型，便于之后對雙輪自平衡的仿真與控制。

關鍵詞 雙輪自平衡小車；本質不穩定；數學模型；牛頓法

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）05-0170-02

近些年來，對移動機器人的研究越來越深入，其應用領域越來越廣泛，具有廣闊的研究背景。雙輪車是一種本質不穩定的特殊的輪式移動機器人，具有多變量、非線性等特征，對它的控制也比較復雜。文章從雙輪車結構出發，利用牛頓力學建立數學模型，之后進行歸一化處理，最終得到了系統的線性化模型，便于進一步對雙輪自平衡小車進行控制。

1 系統模型建立

1.1 車輪模型

以兩輪軸線方向為x軸，車體前進方向為y軸，過車輪軸中點豎直向上為z軸，建立坐標系。以右側車輪為例，對其進行受力分析，如圖1所示。

圖1 兩輪車右輪受力分析

根據牛頓力學方程，我們可以得到：

（1）

（2）

同理，我們可以得到左輪的平衡方程：

（3）

（4）

其中：是車輪的質量，為輪子的半徑，是車輪的轉動慣量，，分別為左右車輪的線加速度，，為左右輪與地面的摩擦力，，是左右輪水平方向的作用力，，是左右輪的角加速度，，分別為左右輪的轉矩。

1.2 車身模型

平衡車車身的運動由繞車軸的相對轉動和沿y軸方向的平動兩部分構成，假設平衡車車身的傾角為，我們建立了平衡車車身的模型圖（如圖2所示）。

圖2 兩輪車車身的受力分析

我們可以得到車身的平衡方程：

（5）

其中：

（6）

（7）

車體的和外力矩：

（8）

其中：是除車輪外車身部分的質量，是車輪的平均位移，分別是左右輪的位移，，是質心的水平位移和線加速度，為車體質心到車輪軸的距離，是車身傾斜的角加速度，是左右輪豎直方向的作用力，是車體的轉動慣量。

1.3 轉向模型

下面我們討論平衡車轉向時的情況。假定平衡車轉角為，我們做出了平衡車轉向的示意圖（如圖3所示）。

圖3 兩輪車轉向示意圖

我們可以得到：

（9）

其中：

（10）

其中為平衡車的轉角，是左右輪間的距離，是車體繞軸的轉動慣量。

1.4 系統狀態方程

平衡車由車身、輪子兩部分構成，根據（1）-（10），消去中間變量，平衡車這樣的動態系統可以被表示為：

（11）

（12）

（13）

假設車身傾角在范圍內，將（11）、（12）、（13）線性化展開，我們的得到系統的狀態方程：

2 結論

本文首先通過對自平衡小車進行受力分解，建立了自平衡小車車輪、車身和轉向時的數學模型，然后通過牛頓力學方程建立了平衡車的動力學方程，并在此基礎上求出了雙輪載人小車的狀態方程。

參考文獻

[1]黎田.兩輪自平衡機器人自適應控制算法的研究[D].哈爾濱工業大學，2007.

[2]蔡建羨，阮曉剛，甘家飛.兩輪自平衡機器人系統建模與模糊自整定PID控制[J].北京工業大學學報，2009（12）.

[3]阮曉鋼，趙建偉，劉江，等.兩輪直立式自平衡機器人的控制與研究[A].第十七屆全國測控計量儀器儀表學術年會（MCMI'2007）論文集（下冊）[C].2007.

[4]Gao X， Dai F， Li C. Two types of coaxial self-balancing robots[J].Journal of Central South University， 2013， 20：2981-2990.

[5]Wei W， Xiaoning M， Jijun W. Intelligent control in two-wheel self-balanced robot[C]//Computer， Mechatronics， Control and Electronic Engineering （CMCE），2010 International Conference on. IEEE， 2010， 3：470-473.endprint