芻議初中數學中的分類討論法

黃倩

摘 要：分類討論既是初中數學的一個難點也是重點，在歷屆中考中通常以較難的題型出現，大多數同學容易丟分。為了能使同學們更深刻、更全面地掌握好這一數學思想方法，本文從分類方法、分類原則、分類方法的運用三大方面做一淺析。

關鍵詞：初中數學；分類討論法；應用探討

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）03-314-01

分類討論既是初中數學的一個難點也是重點，在歷屆中考中通常以較難的題型出現，大多數同學容易丟分。為了能使同學們更深刻、更全面地掌握好這一數學思想方法，下面我從分類方法、分類原則、分類方法的運用三大方面談一談。

一、分類方法

1、分類及其要素

分類是根據對象的相同點和差異點將對象區分為不同種類的基本的邏輯方法，分類也叫劃分。

數學中的分類是，按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法。

分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類；從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。

分類具有三要素：

（1）母項，即被劃分的對象；

（2）子項，即劃分后所得的類概念；

（3）根據，即劃分的標準。

2、分類標準

分類的關鍵在于正確選擇分類標準。一個科學的分類標準必須能夠將需要分類的數學對象，進行不重復、無遺漏的劃分。

例如，將平行四邊形分成矩形、菱形、正方形是不恰當的。因為在矩形和菱形中都包含正方形，而且還存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四邊形。又如，將自然數分為質數和合數也是不正確的，因為遺漏掉“l”這個既非質數又非合數的自然數。

3、現象分類與本質分類

數學分類有現象分類和本質分類的區別。所謂現象分類，是指僅僅根據數學對象的外部特征或外部聯系進行分類。這種分類往往把本質上相同的對象分為不同的類別，而把本質上不相同的對象歸為同一類別。所謂本質分類，即根據事物的本質特征或內部聯系進行分類

二、分類的原則

任何分類，都必須遵循下列四個原則。

1、不重復

不重復，即要求分類應是純粹的。

2、無遺漏

無遺漏，即要求分類應是完備的，從量的方面要求一個不能少。

3、標準同一

是在一次分類中只能按同一標準進行，兩者不可混淆。

4、按層次逐步劃分

分類應取被分類概念最鄰近的概念按步驟進行，不能越級，應按層次逐步進行。否則就會出現越級劃分的錯誤。

三、分類方法的應用

1、分類可使知識條理化、系統化

通過分類可以使大量繁雜的知識條理化、系統化，有助于人們更好地掌握知識和形成良好的知識結構，并為進行分門別類的深人研究創造條件。

2、分類討論

所謂分類討論，就是在解決問題時，根據解題需要對問題進行科學的、合理的分類，然后逐類進行討論，從而使問題得到圓滿解決。數學教學中引起“分類討論”的原因大致有如下幾個方面。

（1）由概念的定義引起的討論

數學中許多概念的定義是分類給出的，如絕對值、平方根、一元二次方程的實根個數與系數的關系等。當題目中涉及到這些概念時就需要進行分類討論。

例1：求y=√ax-2a+1的定義域。

分析：由ax-2a+1≥0得ax≥2a-1，于是

當a=0時，x是任何實數

例2：在平面內，已知一直線n外的兩點A、B到直線n的距離分別為a、b（a

分析：必須考慮到在直線n外的兩點A，B與直線n的位置關系是不確定的，有兩點在直線n的同側與異側兩種情況 .

（1）由問題中含有字母參數引起的討論

許多數學問題中含有字母參數，隨著參數取值的不同，會使問題出現不同的結果。遇到這類問題，需要對字母參數的取值情況進行討論。

（2）由于問題提供的情景比較復雜需要分類討論

例3：從5雙不同尺碼的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成一雙，有多少不同的取法？

解法一：由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1雙”，實際上包括兩種情況：

一類是，4只中只有2只配成一雙；另一類是，4只中恰好配成兩雙。

解法二：如果沒有限制條件，從5雙中任取4只，共有120種取法。所有這些取法可以分為兩類：

一類是，4只中沒有2只能配成一雙的取法；

另一類是，4只中至少有2只配成一雙的取法，這正是所要求的取法。