相容半連續格

李海龍，姜廣浩

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

1 預備知識

1971年因理論計算機的語義問題，Scott提出了連續格的概念［1］，隨著后人的研究將其推廣到一般范圍內，Ray首先提出了半素理想的概念，并研究了它的一些性質［2］.Zhao利用半素理想得到一種新的關系，由此定義了半連續格并研究了它的性質［3］，伍秀華等又進一步研究了半連續格的性質［4］.在此基礎上，本文定義了相容半連續格的概念，研究它的一些性質，并得到相容半連續格的任意收縮仍是相容半連續格的結論.

定義1［5］設L是格，I?L是理想，若對任意x，y，z∈L，當x∧y∈I，x∧z∈I時，有x∧（y∨z）∈I，則稱I為L的半素理想.Rd（L）表示所有半素理想構成的集合.

定義2［6］設L是完備格，?x，y∈L，稱x?y，如果對?S∈Rd（L），y≤supS，有x∈S.

2 相容半連續格

定義3 設L 是格，x，y∈L，如果對?S∈Rd（L），若supS存在，且y≤supS，有x∈S，則稱x弱?關系y，記為x?wy.對任意的x∈L，記?wx＝｛y∈L：y?wx｝.

定義4 設L是格，S∈Rd（L）稱為L的相容半素集，如果存在x∈L，使得S??wx.記Ic（L）＝｛S：S是L的相容半素集｝.

定義5 若格L中任意相容半素集都有并和交，則稱L是相容完備格.

定義6 設L是相容完備格，?x，y∈L，x稱為相容?關系y，記為x?cy，如果對?S∈Ic（L），若y≤supS，有x∈S.記為?cy＝｛x∈L：x?cy｝.

定理1 設L是相容完備格，則對?x，y，z，u∈L，有

1）x?wy?x?cy；

2）u≤x?cy≤z?u?cz.

證 1）由?c和?w定義易知.

2）對?S∈Ic（L），若z≤supS，由y≤z知，y≤supS.又由x?cy知，x∈S，又u≤x，S為理想，有u∈S，故u?cz.

定理2 設L是相容完備格，則對?x∈L，?cx為L的相容半素集.

證 首先證?cx為理想.對?a∈?cx，?b∈L，若b≤a，由定理1知，b∈?cx，故?cx為下集.對?y，z∈?cx，由?c的定義知，?S∈Ic（L），x≤supS，有y，z∈S.因S為理想，故y∨z∈S，從而y∨z∈?cx，所以?cx為理想.

再證?cx為半素理想.設a∧b∈?cx，a∧c∈?cx，由?c的定義知，對?S∈Ic（L），若x≤supS，有a∧b∈S，a∧c∈S.由S為半素理想，有a∧（b∨c）∈S.再由?c的定義知a∧（b∨c）∈?cx，故?cx為半素理想.

下證?cx為相容半素集.?a∈?cx，由?c的定義知，?S∈Ic（L），若x≤supS，有a∈S，從而?cx?S.又S為相容半素集，從而?b∈L，使得S??cb，即?cx??cb，故?cx為相容半素集.

引……