一種基于多重分形特性檢測海面弱目標的新方法

張 波 張丹婷 胡 沖

（1.西安市導航技術研究所，陜西 西安 710068；2.西安電子科技大學 雷達信號處理國防科技重點實驗室，陜西 西安 710071）

0 引言

海雜波是雷達發射脈沖照射的局部海面的后向散射回波。對海雜波進行特性分析和建模仿真對于設計有效的雷達檢測方案和評價雷達檢測性能至關重要。傳統的研究主要是研究其統計特性，建立統計分布模型，如典型的瑞利(Rayleigh)分布、對數正態(Log-normal)分布、韋布爾(Weibull)分布和K分布等[1]。然而，這些模型把海雜波視為某一隨機過程的樣本函數，這在很大程度上并非因為海雜波的物理本質，而是出于其看似隨機的波形。實際上，高分辨率雷達在低掠射角情況下測量的海雜波往往不具有高斯分布特性，海雜波并不是平穩的，而是呈現為非線性的不平穩性[2-4]。這樣經典雷達目標檢測所作的獨立、線性，平穩等假設均不符合真實情況，基于這些假設而采用的經典雷達目標最佳檢測策略不可避免導致檢測性能下降。

分形理論[5]的發展不僅為數學和物理提供了全新的觀察視角和觀察深度，也為雜波建模和分析提供了新的動力和方向：S.Haykin等人[6-7]對海雜波的研究表明，海雜波存在分數維的混沌吸引子，且存在大于零的Lyapunov指數，進而表明，用非線性學科中的混沌與分形方法研究雜波模型比傳統的隨機方法更為有效。

已有很多學者對海雜波的分形特性進行過不同方面的研究，也取得了不少成果[8-9]。本文從實測海雜波數據入手，首先計算了海雜波的盒維數，又通過分析海雜波的統計特性，發現其偏離高斯分布并具有長時相關性，且在較大的范圍內具有尺度不變性，因此，利用多重分形模型可以較好的刻畫海雜波的復雜特性。本文從時間和空間上綜合考慮，利用雜波與含目標單元多重分形譜的差別，提出一種新的檢測方法。對實測數據的分析表明該方法是有效的，并且具有較小的計算量，為海雜波背景下的目標檢測提供了一條新的思路和有效手段。

1 分形維數（盒維數）

分形是一類復雜性頗高的、沒有特征長度，但具有一定意義下的自相似的圖形和結構的總稱[10]。分形維數是分形對象的復雜度和不規則度的定量描述，分形維數是分形的極其重要的特征數，是刻畫分形的不變量。當海面上存在艦船目標時，會改變該區域海面的運動狀態，將在雷達回波信號的分數維差異中體現出來。

對于分形維數有很多不同的定義，最好的理論定義是Hausdorf維。但由于Hausdorf維數計算復雜，實際中一般用其他定義來計算分形維數。在求解分形維數的方法中，盒維數是應用最廣泛的維數之一。盒維數的計算方法如下[11]：

（1）選擇一個一定長度的曲線F將其長度與幅度歸一化后放入一正方形內。

（2）選取邊長為εm(m=1,2,…,M)的方格網（盒子）去覆蓋單位正方形，計算不同尺寸εm下與F交疊的盒子個數Nm(ε)。當εm→0時，則盒子恰好包含F的一個點，亦可認為此時盒子與點的形狀完全符合，正好填滿F。

（3）定義盒維數 Db=lgNm(ε)/(-lgεm)。 分數維是盒維數在 εm→0 時的極限值。實際中盒子尺寸不可能無窮小，但只要小到一定程度后，結果差距相當微弱，就可以用盒維數來取代分數維作為分析的對象.

（4）如果曲線是一種完全的分形，則對數比曲線Db=lgNm(ε)/(-lgεm)為一直線，盒維數Db就是該直線的斜率，如果對數比曲線不是理想直線，說明該圖形分形特征不明顯，則用對數比曲線的最小方差擬合直線的斜率來代替。同時，Mandelbrot有效維數的概念也說明分形特征是有尺寸范圍的。所以實際處理盒維數時，應該從對數比值趨于穩定，對數比曲線趨于直線的范圍內開始擬合。

本文使用的實測海雜波數據為本研究所采用的海雜波數據是某S波段雷達于2010年5月在某海灣采集到的，該雷達架設在海拔500m的山上，臨海。雷達的主要參數如下：

線性調頻信號，中頻30MHz，帶寬5MHz，采樣頻率40MHz，脈寬46μs，錐形波束寬度 1.0°，天線固定不轉，入射余角 1.0°。

圖1為某一段長度為100的海雜波經歸一化后，εm=0.10時的覆蓋情況，圖2為最小二乘擬合的情況，經計算得Db=1.4756。當數據長度數增加時，盒子越小越精確。

圖1 盒維數法圖示

圖2 lgNm(ε)/(-lgεm)

表1給出了實測海雜波數據與目標數據在不同時刻的盒維數計算結果。由表1可看出含目標時的海雜波的盒維數明顯大于不含雜波的情況。但在高海態等情況下，海雜波和目標回波的分維值的平均值相差較小，而從整體上看兩者的分維值交疊在一起，僅用其進行檢測是不可靠的[12]。

表1 海雜波的分形維數

2 多重分形的判定及譜函數的計算

分形盒維數能反映分形信號的幾何特征信息，對信號的復雜度、和全局性進行定量的描述。但計盒維數法計算認為只要盒子內有圖形的像素這個盒子就被計進來，而不考慮盒子內像素的多少，這樣得到的分維必然失去很多信息，這便是單一分形不夠細致之處；而多重分形考慮盒子內像素或者其他物理量的差別，歸一化之后得到一個概率分布的集，再用一個多重分形譜進行描述，得到的結果包含了許多被單一分形忽略的信息。

在計算海雜波的多重分形特性之前，首先應判斷其偏離高斯分布并具有長時相關性，且在較大的范圍內具有尺度不變性[13]。

為了檢驗海雜波是否具有非高斯特性，計算其偏度系數Cs和峰度系數Ck：

其中μk=E(X-EX)k,k=2,3,4。偏度系數刻畫分布函數的對稱性，鋒度系數刻畫不同類型分布的集中和分散的程度。對于正態分布來說，Cs=0,Ck=3。 經計算，本文采用的實測雜波數據，其 Cs＞0,Ck＞3，與高斯分布有一定差距，因此海雜波數據具有非高斯特性。

下面采用對數方差—時間圖法[14]分析海雜波的長時相關性。圖3中作出了對數方差—時間曲線，如果海雜波數據的對數方差—時間曲線斜率大于-1，則具有長時相關性。有圖顯然可以得到肯定的結論。

圖3 海雜波的對數方差—時間曲線

如果上式在一定的m區間內成立，則序列具有分形特性。此外，如果質量指數τ(q)不是q的線性函數，那么稱被觀察序列在這一區間存在多重分形特性；否則，就為單一分形[15]。利用上述方法對一段實測海雜波進行分析，結果如圖4所示。圖4給出了不同q值下的log2(m)～log2(Sm(q))曲線，可以看出式（4）在較大范圍內均成立，這表明海雜波具有多重分形特性。

圖4 海雜波的log2(m)～log2(Sm(q))曲線

下面給出多重分形譜的計算方法。在式（4）的線性區間內，利用最小二乘法求解下式得到：

對 q～τ(q)進行如式（6）、（7）所示的 Legendre 變換即可得到多重分形譜。

式中：τ(q)為標度指數；f(α(q))即為多重分形譜函數。

由圖5以看到質量指數τ(q)不是q的線性函數，圖中有一個明顯的折點。圖6給出了標度指數α(q)隨q變化情況，可以看到在零附近有一次驟降。

綜上，根據上文中提到的判定準則，認為本批數據是多重分形的，多重分形譜如圖7所示，并且其在其在q=0處取得最大值1。

圖5 q～τ(q)曲線

圖6 q～α(q)曲線

圖7 海雜波的多重分形譜函數

圖8 多重分形譜對比

圖8分別給出了含目標與不含目標的距離單元在不同時刻的多重分形譜。從該圖可以看到，海雜波數據在存在目標時，譜寬變窄，而多重分形譜寬的大小反映了整個分形結構上概率測度分布不均勻性的程度和過程的復雜性，譜寬越寬，譜的結構越豐富，過程相對越復雜，這表明海雜波比目標復雜。這一差別在譜的左邊尤其明顯，這表明α較小(大概率)的部分差別更大。而目標與目標、雜波與雜波在不同時刻的差別較小，這表明多重分形譜較為穩定，適合用于檢測。

為了利用這種差別來判別海面某一區域是否出現目標，我們計算f(α)對α的積分，表2列出了積分的結果。從表2可看出含目標的距離單元相應的積分結果明顯小于不含目標的情況，這與圖8一致。如果設定合適的門限，則可根據積分值判斷目標的出現，而且文獻[6]表明在數據長度達到2000點時，分形估計就趨于穩定，因而使用分形方法進行的檢測計算量小于傳統的基于統計建模的方法，時效性也更好。圖9為檢測方案。

表2

圖9 檢測方案圖

3 結束語

本文分析計算了海雜波的分形維數及多重分形特性。由本文的分析，可以看出實測的海雜波序列具有多重分形特性，利用多重分形譜可以較好的描述復雜不規則的海雜波序列。在此基礎上，利用雜波包含與不包含目標時多重分形譜的差別，提供了一種檢測海上目標的新方法，該方法具有計算量小的優點。由于本文所用的數據有限，還有待于利用更多數據進一步詳細地評估該方法。

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