引導學生運用圖式語言進行數學表達的策略

鐘志向

【關鍵詞】圖式語言 數學表達？搖

數學思維 習題資源

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）01A-

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數學語言不僅是數學活動的一個重要內容，也是數學知識、數學思維的載體，是數學交流的有力工具。數學語言分為：文字語言、符號語言和圖式語言。圖式語言作為一種直觀的語言符號，它比文字語言的表述更簡潔、比符號語言更直觀，具有形象具體和簡單抽象的雙重特性?，F以北師大版五年級數學上冊第三單元《分數》中的“找最小公倍數”“練一練”第4題（如右圖）的教學為例，談談如何引導學生利用圖式語言進行數學思維、數學表達和交流。

一、尋因索果，引類比聯想

文字、符號和圖式語言敘述的分離與結合的過程，其實就是思維活動深入展開的過程，分離越清楚，結合就越緊密，越能幫助學生建立與概念相關的直觀表象，感悟數與形、形與數之間的轉化，從而達到發揮幾何直觀中利用圖形直接洞察問題本質之作用。

【片段一】

師：怎么解決第一小題？

生：就是求公倍數。（稍許）不，應該是求最小公倍數才對。

（大部分學生都還在讀題時，就有一學生提出了解決問題的思考方向，學生質疑，該生解釋）

生：沒有相遇時爸爸媽媽是各跑各的，相遇時，說明他倆跑的路線有了交點，像這樣（比劃模仿爸爸媽媽相遇的情景），這個交點是共同的、公有的。你們看他倆跑步的圖（用兩個手指頭畫弧線表示兩人所跑的路線），很像是相交的集合圖，公倍（因）數的圖也是這樣表示的啊。我想他倆要在起點處相遇，那所用時間和一圈所用時間的倍數有關，又是第一次相遇，那肯定和最小公倍數有關。

當我們用圖解（如圖1）的形式把該生的講述表示出來，就會發現他的思考過程所借助的“形”近似于求“最小公倍數”時所采用的圖示語言（圖2）?；仡櫋罢易钚」稊怠苯虒W時，教材首先要求學生用△和○分別從表格中的1～50標出4和6的倍數，接著要求學生尋找“既標有△又標有○的數”，再給（最?。┕稊迪露x，接著教材安排了“填一填”（圖2）利用集合圖表示50以內6和9的公倍數和最小公倍數。多層次剖析活動的展開，學生在多種感官齊參與、多種活動同進行中借助圖式（圖表、集合圖）語言，理解、表述和記憶關于“（最小）公倍數”簡潔的文字敘述，在不斷深化概念理解的過程中理解求公倍數諸多方法的異同點，發現了大數翻倍法找公倍數方法的快捷優越性，還建立了“最小公倍數”相關的“集合圖”的表征。

6和9的最小公倍數是 。

不難看出，當問題情境出現時，學生就從已有情境圖所提供的形狀特點、變化趨勢、相關數據等方面的已知條件出發，在迅速過濾掉用語言文字描述的問題中非本質信息后，得以闡明未明確表示的隱蔽關系，而類似的圖示表征引發學生產生類比，自覺地把題意轉化為相近的、直觀的圖示，并聯想到構造與之相關的幾何圖形，再到相關概念或定理及公式上，從而迅速找到解題的突破口。

在教學過程中，用知識的實際原型（形）和描述性的語句（文）相結合的方式，以“形”喻“義”、“義”隱于“形”，幫助學生建立關于知識的清晰圖式表征，為學生長久儲存和快速提取數學知識提供了可能。

二、揭示本質，展思維過程

同一個數學思維過程用文字表述則生動，用符號表示則簡練，用圖形表達則直觀形象。

第一小題的交流討論教學片段：

師：用什么方法能讓人一目了然地了解你的解題思路？

生：用圖（如下圖）。圓圈表示操場，用箭頭表示爸爸媽媽的運動軌跡，用算式表示他倆在運動中相對的位置。

該生通過圖式方式呈現問題情境，形象直觀地勾勒了數學研究對象，輔于廖廖文字描述，使理解不囿于圖中的具體事物，概括水平高。這里所指的“圖式”并不僅僅局限于幾何圖形，還有運算符號、圖形以及方框、箭頭等直觀符號組合表示的圖式語言，甚至用文字、符號等表示出來的數量關系式等。直觀的圖式語言揭示了隱蔽的數量關系，架通了“相遇”和“公倍數”之間的聯系；動態的進程演示，讓學生的觀察、類比有了實體，具體精確計算下的猜想與分析，讓推理與證明變得“通透”，讓問題本質得以展現，讓數學理解上的難點得以突破。

圖形化的語言表述形式是形象表達、顯示數量或多個數量之間邏輯關系的結構化圖形。它雖然不能作為論證的依據，但它提供了一個思維模式，是數學思維的先導。它是一種教學工具、策略或技術，通過數與形相結合，引導學生建立與知識相關的圖式語言，并借此幫助學生由義及形、形義一體地去理解和運用知識。教學時教師應有意識訓練和培養學生借助圖形實現數學語言之間進行合情轉換的能力，善于借助常用的圖式語言，如線段圖、數軸圖、集合圖、單位圓、幾何圖等，指導學生把數學文字語言轉換成圖式語言進行表述，在經歷把“文”中的語言信息重新組織、整理、加工、補充進“形”中的“再創造”活動中，達到借助圖式化靜態為動態情境，化抽象文字為直觀圖示，化“無形”思維進程為“有形”推理之作用，以獲得關于問題本質特性、聯系和關系的知識。

三、延伸拓廣，促模型建立

數學在本質上是在不斷地抽象、概括、模式化的過程發展和豐富起來的，數學學習只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數學學習。

在解決“請你再提出一個數學問題，并嘗試解答”時，有個別學生提出“三人幾分鐘后在起點處相遇”。相比上題，其探討的點由“兩人相遇”擴展到“三人相遇”，由“第一次相遇”擴展到“相遇”，顯然和剛剛總結出來的解題模型條件不大相符合，問題難度系數大了。但在沒有“幫扶”下，學生的解答效果非常好。課后，筆者就“為什么你能很快地解決這個問題”這個話題與不同程度的學生進行交流，孩子的回答如出一轍：兩人在環形跑道上相遇如交在一起的集合圖，說明這個問題和公倍數有關；“8分鐘后，再8分鐘后，再8分鐘后，也就是24分鐘后三人第一次在起點處相遇，以后每次經過24分鐘后三人都會相遇……從學生的回答可以看出，在這習題的學習過程中，有三個方面的“模”嵌入他們腦中：一是內容層面的，即“相遇”這類題本身的題型結構特征；二是方法層面的，即“利用圖式分析和解決問題”的解題思路；三是思想層面的，即從一個具體的數學問題出發，在經歷了對其解答的過程之后，能將解決它的方法和思路進行擴展運用。

知識加工越精致，形成的圖式就越合理、越牢固，就越容易產生遷移，越有利于變通性思維的發展。幫助學生把從代數問題分析中抽出的圖式語言上升到或納入數學模型，能提高學生從現實問題快速退到最原始最簡單的同構性知識、模型，并依據已建立的與知識概念相對應的圖示模型來解決具體問題的本領。