基于MATLAB的機(jī)械振動(dòng)分析

朱妍 ZHU Yan；張侗 ZHANG Dong；陳紅 CHEN Hong

（兗礦集團(tuán)大陸機(jī)械有限公司，兗州 272109）

（Yankuang Group Continent Machinery Co.，Ltd.，Yanzhou 272109，China）

1 概念綜述

MATLAB集計(jì)算、可視化及編程于一身。無(wú)論是問(wèn)題的提出還是結(jié)果的表達(dá)都采用人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)描述方法，而不需用傳統(tǒng)的編程語(yǔ)言進(jìn)行前后處理。這一特點(diǎn)使MATLAB成為了數(shù)學(xué)分析、算法開(kāi)發(fā)及應(yīng)用程序開(kāi)發(fā)的良好環(huán)境[1,2]。

機(jī)械振動(dòng)所研究的對(duì)象是機(jī)械或結(jié)構(gòu)，在理論分析中要將實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)抽象為力學(xué)模型，即形成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。可以產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)。一般來(lái)說(shuō)，任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可能產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)。

振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)的原因是由于外界對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，即外界對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)或作用。對(duì)于工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題，人們關(guān)心振動(dòng)會(huì)不會(huì)使結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度等物理量過(guò)大。因?yàn)槲灰七^(guò)大可能引起結(jié)構(gòu)各個(gè)部件之間的相互干涉[3]。比如鋼絲繩皮帶機(jī)的托繩輪在一定的線帶速和線載荷下產(chǎn)生劇烈振動(dòng)，這種振動(dòng)引起托繩輪架晃動(dòng)，會(huì)引起皮帶掉槽，大量塊煤振落地下帶來(lái)一系列問(wèn)題。振動(dòng)過(guò)大也造成結(jié)構(gòu)的應(yīng)力過(guò)大，即產(chǎn)生過(guò)大的動(dòng)應(yīng)力，有時(shí)這種動(dòng)應(yīng)力比靜應(yīng)力大的多，容易使結(jié)構(gòu)早期損壞。

系統(tǒng)在持續(xù)性的外激勵(lì)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。因外激勵(lì)對(duì)于系統(tǒng)做功，用于補(bǔ)償消耗在阻尼上的耗散能量，所以系統(tǒng)將繼續(xù)的振動(dòng)下去[4]。這種強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象是區(qū)別于自由衰減振動(dòng)的一種振動(dòng)，是工程實(shí)際當(dāng)中的一種常見(jiàn)的振動(dòng)現(xiàn)象。例如，放置在支架上的電動(dòng)機(jī)如圖1所示，因電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)而引起離心力的作用 F=mω2e，F(xiàn) 在垂直方向上投影為一簡(jiǎn)諧力作用 Py=Fsinωt=mω2esinωt。

因此，只要電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)起來(lái)，就始終有一個(gè)簡(jiǎn)諧激振力作用于振動(dòng)系統(tǒng)之中，是一種強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象。

2 數(shù)模建立

圖1 離心力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)模型

2.1 力學(xué)模型的建立 強(qiáng)迫振動(dòng)是受到持續(xù)性的外激勵(lì)作用下而產(chǎn)生的一種振動(dòng)運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)以雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為例，討論強(qiáng)迫振動(dòng)的一般性質(zhì)。

如圖2所示在m1和m2上分別作用有簡(jiǎn)諧激振力F1sinωt和 F2sinωt，取廣義坐標(biāo)為（x1，x2），以靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)。列運(yùn)動(dòng)微分方程為：

由此可見(jiàn)：

①系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)是與簡(jiǎn)諧干擾同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅的大小取決于系統(tǒng)本身的物理特性F1和F2激振力的幅值和以及激振力的頻率ω，特別是與激振頻率和固有頻率之比有很大關(guān)系，而與初始條件無(wú)關(guān)[5,6]。

上式中，令F1=F2=0時(shí)，求得頻率方程：

圖2 二自由度強(qiáng)迫振動(dòng)模型

②兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頻率。由式（2）求得兩質(zhì)量塊的振幅比：

當(dāng)干擾力幅值和頻率一定情況下，振幅比是確定的，即系統(tǒng)具有一定的振型。特別是當(dāng)ω=ωn1時(shí)：

即共振時(shí)振型就是相應(yīng)的主振型。

2.2 應(yīng)用MATLAB的振動(dòng)分析 兩自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)分析程序如圖3。

圖3 兩自由度強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)

2.3 結(jié)論 在實(shí)際中大多數(shù)情況下機(jī)械振動(dòng)是有害的，機(jī)械振動(dòng)特別是在共振情況下，可使機(jī)器和儀器的功能受影響，結(jié)構(gòu)和構(gòu)件損壞或產(chǎn)生變形，因此必須進(jìn)行有效的控制。為了避免振動(dòng)危害，利用振動(dòng)進(jìn)行工作，應(yīng)了解結(jié)構(gòu)振動(dòng)的規(guī)律，并在實(shí)際工作中應(yīng)用這些規(guī)律。

本選題就是對(duì)機(jī)械振動(dòng)進(jìn)行分析，通過(guò)MATLAB軟件調(diào)試程序進(jìn)行圖像分析，通過(guò)不同參量數(shù)值的改變，清晰明確地分析出各個(gè)階段狀態(tài)的振動(dòng)狀況，這樣就可以有針對(duì)性地進(jìn)行控制。

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