基于Hamilton 體系對燃料電池燒結變形的分析

2014-04-14 02:02:34羅淇任張勁夫

電子測試 2014年2期

羅淇任，張勁夫

（西北工業大學， 710072）

0 前言

由于固體氧化物燃料電池的陽極、電解質、陰極結構中各層的熱膨脹系數不一樣，在制造過程中，當溫度從燒結溫度降低至室溫時，會造成熱應力和翹曲。為了緩解這種現象，必需發展合適的材料和優化設計電池組以便使它們能夠承受熱機械的工作量而不產生裂紋。因此復合材料得到了廣泛應用。

工程實踐中將大量用到復合材料層合板結構，而起橫向剪切變形的影響將越來越重要而不能被忽略。復合材料力學研究的一項重要課題就是復合材料熱應力分析。文獻[1]推導了各向異性熱彈性體的基本方程，文獻[2]等研究了耦合熱彈性問題的一般解。

在彈性力學中Hamilton 體系有著非常重要的作用。文獻[3]給出波動方程周期性問題的辛差分算法。文獻[4]則導出了條形域平面彈性問題的Hamilton 體系及其本征解。文獻[5，6]從三維彈性力學的基本方程出發，建立了Hamilton 正則方程的一般形式。

本文在層合板的熱應力分析之中引入Hamilton 體系，在一階層合板理論的基礎上，建立了以一個空間方向為展開方向的Hamilton 正則方程。在辛幾何數學框架下，采取共軛辛正交關系給出層合板熱應力的辛精確解。

一階層合板理論的平衡方程為.

其中有

層合板的總厚度為H。在溫度載荷作用下，層合板的本構方程為

其中

將坐標y 模擬時間以建立Hamilton 體系，選擇狀態變量為

得到層合板熱應力分析的Hamilton 正則方程

其中F，C，K 的表達式見附錄。

H 為Hamilton 算子矩陣，再引入辛幾何度量矩陣.

考慮x 軸對邊簡支的矩形層合板，它的邊界條件為

除此之外還要考慮交界面位移連續條件及力的平衡條件

考慮正則方程的齊次解

采用分離變量法[4].，拉維型全狀態變量假設為

將（11）式代回（6）式，變為如下形式

設下標i，j 分別表示為（12）的兩個本征解，則有

將上面兩式聯立得到

這說明對于全部的滿足式（8），（9）的全狀態向量是不會線性相關的，它們構成有限維空間的基底，所以任一狀態向量展開為

將其代回（12）得到

則有

代回到（12）得到

解得

這樣得到全狀態變量的通解為

將Hamilton 體系導入到層合板熱應力的分析中，所提供的解嚴格滿足問題的微分方程，邊界條件以及層間位移連續性條件和應力平衡條件。

沿著厚度上的（0，b/2）的分布

沿著厚度上的(a/2,b/2)的分布

[1] Ting T C T.Anisotropic elasticity theoy and applications[M].New York, Oxford University Press, 1996.506-507

[2] 丁皓江，國風林，侯鵬飛。耦合熱彈性問題的一般解[J]，應用數學和力學，2000，21（6）：573-577

[3] 馮康，泰孟兆。Hamilton 動力體系的Hamilton 算法，自然科學進展一國家重點實驗室通訊，1991，（2）：104-112

[4] 鐘萬勰。條形域平面彈性問題與哈密頓體系。大連理工大學學報，1991，31（4）：373-384

[5] 唐立民。彈性力學的混合方程和Hamilton 正則方程。計算結構力學及其應用。1991，8（4）：433-450

[6] 鄒貴平，唐立民。各向異形彈性力學問題Hamilton 正則方程的一般形式，計算結果力學及其應用。1994，11（2）：140-146

[7] Tauchert T R.Thermally induced flexure, buckling and vibration of plates.Appl.Mech.Rev.1991,44(8):347-359

[8] 鄒貴平。反對稱鋪設層合板動力問題的Hamilton 體系及辛幾何解法。固體力學學報。1996，17（4）：312-319

附錄

沿著厚度上的(0,0)的分布

沿著厚度上的(0,b/2)的分布