改進(jìn)的變步長LMS改進(jìn)算法

摘 要： 在基于Lorentzian函數(shù)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，提出了一種新的自適應(yīng)LMS濾波算法，通過建立新的誤差信號[e（n）]與變步長因子[μ（n）]之間的關(guān)系，消除不相關(guān)噪聲的影響。并用Matlab對其進(jìn)行仿真驗(yàn)證，表明該算法解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，在保證算法的計算復(fù)雜度較低的同時，使得算法的抗干擾能力進(jìn)一步提高，適用于低信噪比條件下的信號提取及濾波，為實(shí)際應(yīng)用提供了更大的靈活性。

關(guān)鍵詞： 自適應(yīng)濾波； 噪聲抵消； 收斂速度； 抗干擾能力

中圖分類號： TN91?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）01?0011?03

1960年Widrow和Hoff提出了最小均方誤差（Least?Mean?Square，LMS）算法，該算法可以將自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的參數(shù)自動調(diào)整到最佳狀態(tài)。同時，在設(shè)計濾波系統(tǒng)時，只需要知道很少的或不需要任何信號與噪聲之間的先驗(yàn)統(tǒng)計知識，具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)能力、自跟蹤能力和算法簡單易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。因此，自適應(yīng)信號處理技術(shù)在軍事、醫(yī)學(xué)、勘探、圖像處理、振動工程等各個領(lǐng)域都有著極其深遠(yuǎn)的應(yīng)用[1]。

1 固定步長LMS算法

固定步長LMS算法是基于最陡下降法的，其迭代公式為：

[X（n）=x（n）x（n-1）x（n-2）…x（n-L+1）T] （1）

[e（n）=d（n）-XT（n）W（n）] （2）

[W（n+1）=W（n）+2μe（n）X（n）] （3）

式中：[X（n）]表示自適應(yīng)濾波器[n]時刻的輸入信號矢量；[W（n）]表示自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)矢量估值；[d（n）]是期望信號矢量；[e（n）]是誤差信號矢量；[L]是濾波器的階數(shù)；[μ]是步長因子，用來控制穩(wěn)定性和收斂速度。為了保證LMS算法收斂，步長[μ]的取值范圍為：[0<μ<1/λmax，][λmax]是輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值[2]，自適應(yīng)時間常數(shù)為：[τmse=1/（4μλn），]總失調(diào)為：[M=μtr（R）。]

由以上公式可以看出，在選擇步長時，穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度二者之間存在著矛盾，即步長越小，失調(diào)越小，但收斂速度越慢；步長越大，收斂速度越快，但是失調(diào)越大。

2 改進(jìn)的變步長LMS算法

為了克服穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度二者之間的矛盾，人們曾提出了許多種變步長LMS算法，即在算法收斂的過程中，動態(tài)的調(diào)整步長因子[μ]的大小。其中，在文獻(xiàn)[3]中，提出了一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法（SVSLMS），其步長因子[μ（n）]與誤差信號[e（n）]呈Sigmoid函數(shù)的關(guān)系，公式為：

[μ（n）=β11+e-αe（n）-0.5] （4）

該算法解決了收斂速度、跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，但在誤差接近零的時候，步長變化太大，使得在穩(wěn)態(tài)時有較大的步長。文獻(xiàn)[4?5]中給出了改進(jìn)的算法，使得在穩(wěn)態(tài)時誤差變化較小。文獻(xiàn)[6]中提出了一種新的基于Lorentzian函數(shù)的變步長LMS算法，采用Lorentzian函數(shù)作為步長因子[μ（n）]，即：

[μ（n）=αlog1+12e（n）δ2] （5）

其收斂速度和跟蹤速度得到了進(jìn)一步的提高。本文是在基于Lorentzian函數(shù)的變步長LMS算法的基礎(chǔ)上，做了進(jìn)一步的改進(jìn)，提出了一種新的自適應(yīng)LMS算法，更好地消除了不相關(guān)噪聲的影響，且具有較好的抗噪聲性能。改進(jìn)后的步長因子[μ（n）]與誤差信號[e（n）]的關(guān)系式為：

[μ（n）=αlog1+12e（n）e（n-1）δ2] （6）

3 改進(jìn)算法的理論分析

在步長因子[μ（n）]與誤差信號[e（n）]的關(guān)系式中，參數(shù)[α]用于控制收斂速度，其值越大，收斂速度越快；參數(shù)[δ]用于控制穩(wěn)態(tài)階段函數(shù)的形狀，即誤差信號接近零時步長因子的變化程度，合理設(shè)置[α]和[δ]的值，可以使得算法在最佳步長附近緩慢變化，避免由于獨(dú)立噪聲干擾而產(chǎn)生的較大影響。[α]和[δ]的具體取值方法參考文獻(xiàn)[4]，本文不再詳細(xì)敘述。

誤差[e（n）]的計算公式為[e（n）=d（n）-XT（n）W（n），]可以改寫成：

[d（n）=e（n）+XT（n）W（n）] （7）

由式（7）可以看出，誤差信號[e（n）]與輸入信號[X（n）]相關(guān)，為了便于做進(jìn)一步分析，將期望信號用另一種形式表示[7]：

[d（n）=XT（n）W*（n）+N（n）] （8）

其中[N（n）]為干擾噪聲信號，是與輸入信號無關(guān)的均值為零的高斯白噪聲；[W*（n）]為最佳權(quán)系數(shù)矢量。令：

[ΔW（n）=W（n）-W*（n）] （9）

其中[ΔW（n）]表示權(quán)系數(shù)偏差矢量， 由此可得：

[e（n）=N（n）=XT（n）ΔW（n）] （10）

[e2（n）=N2（n）-N（n）XT（n）ΔW（n）-XT（n）ΔW（n）N（n）+XT（n）ΔW（n）?XT（n）ΔW（n）] （11）

[e（n）e（n-1）=N（n）N（n-1）-N（n）?XT（n-1）ΔW（n-1）-XT（n）ΔW（n）?N（n-1）+XT（n）ΔW（n）XT（n-1）?ΔW（n-1）] （12）

由于噪聲[N（n）]與輸入信號[X（n）]無關(guān)且均值為零，故對式（11）和式（12）同時取期望，化簡可得：

[E[e2（n）]=E[N2（n）]+E[XT（n）ΔW（n）?XT（n）ΔW（n）]] （13）

[E[e（n）e（n-1）]=E[XT（n）ΔW（n）XT（n-1）?ΔW（n-1）]] （14）

根據(jù)統(tǒng)計的觀點(diǎn)，從式（13）和（14）中可以看出，由于式（13）中存在[E[N2（n）]]項(xiàng)，即[e2（n）]的期望值與干擾信號[N（n）]的大小相關(guān)，因此干擾較大時，算法的穩(wěn)定性較差。而在式（14）中，[e（n）e（n-1）]的期望值僅與輸入信號[X（n）]相關(guān)，不受干擾噪聲[N（n）]的影響，即抗干擾能力較強(qiáng)。因此本文采用的步長因子與誤差信號的迭代公式與改進(jìn)前相比，可以使穩(wěn)態(tài)誤差更小，尤其在信噪比較低的條件下，仍然具有較好的性能。

4 計算機(jī)仿真

以自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)為平臺，用Matlab軟件[9?10]編程對改進(jìn)后的LMS算法的濾波效果、收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差以及抗干擾能力進(jìn)行了仿真驗(yàn)證[8]。自適應(yīng)噪聲抵消結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，在主輸入端輸入原始正弦信號[x（n）=sin（2πn/10）]，加性干擾信號[n0（n）]為白噪聲，信噪比為20 dB，被噪聲污染的信號[d（n）=x（n）+n0（n）]。在參考輸入端輸入與[n0（n）]相關(guān)的另一個噪聲信號[n1（n）]，經(jīng)過自適應(yīng)抵消濾波系統(tǒng)處理后輸出信號[y（n），]通過[d（n）]與[y（n）]的差值[e（n）]來自動調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器的系數(shù)，濾除原始信號中的噪聲干擾。

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