LDPC碼譯碼算法及性能分析

摘 要： 為了進(jìn)一步降低低密度奇偶校驗(yàn)（LDPC）碼譯碼算法的復(fù)雜度，基于經(jīng)典置信傳播（BP）譯碼算法，給出了對(duì)數(shù)域迭代后驗(yàn)概率對(duì)數(shù)似然比（APP LLR）算法。通過(guò)概率域的和積算法（SPA）和對(duì)數(shù)域的迭代APP LLR算法的性能仿真及分析可見(jiàn)，迭代APP LLR算法能以較小的性能損失換取復(fù)雜度的大幅降低。進(jìn)一步選用迭代APP LLR算法，結(jié)合不同地形條件下的VHF頻段信道模型，仿真了LDPC碼編譯碼系統(tǒng)的性能。理論分析及仿真結(jié)果均表明，基于迭代APP LLR算法的LDPC碼，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，性能優(yōu)異，具有良好的工程應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞： LDPC碼； 迭代APP LLR； 和積算法； VHF頻段

中圖分類號(hào)： TN91?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）01?0001?04

0 引 言

信道編譯碼技術(shù)可以檢測(cè)并且糾正信號(hào)在傳輸過(guò)程中引入的錯(cuò)誤，能夠保證數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠的傳輸[1]。LDPC碼的校驗(yàn)矩陣具有稀疏的特性，因此存在高效的譯碼算法，其糾錯(cuò)能力非常強(qiáng)。1981年，Tanner提出了基于圖模型描述碼字的概念，將LDPC碼的校驗(yàn)矩陣對(duì)應(yīng)到Tanner圖的雙向二部圖上。采用Tanner圖構(gòu)造的LDPC碼，通過(guò)并行譯碼可大大降低譯碼復(fù)雜度。Mackay和Neal利用隨機(jī)構(gòu)造的Tanner圖研究了LDPC碼的性能，發(fā)現(xiàn)采用和積算法（SPA）的LDPC碼具有優(yōu)異的譯碼性能，在長(zhǎng)碼時(shí)甚至超過(guò)了Turbo碼[2]。本文采用Mackay基于二分圖提出的改進(jìn)方案構(gòu)造LDPC碼的校驗(yàn)矩陣。基于置信傳播（BP）算法，給出了一種簡(jiǎn)化的BP算法——對(duì)數(shù)域迭代APP LLR算法，復(fù)雜度大大降低。目前，LDPC碼是最有希望在廣泛的信道范圍取得香農(nóng)容量的誤差糾正技術(shù)[3]，在保證LDPC碼糾錯(cuò)性能的前提下，降低編譯碼器實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度是研究的重點(diǎn)，引發(fā)了信道編碼界的研究熱潮。

1 LDPC碼編碼

LDPC碼是一種性能非常接近香農(nóng)極限的“好”碼，它是惟一用校驗(yàn)矩陣來(lái)表示的線性分組碼。LDPC碼的編碼主要分兩步進(jìn)行，首先構(gòu)造奇偶校驗(yàn)矩陣，然后是基于奇偶校驗(yàn)矩陣的編碼算法。

1.1 校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造

根據(jù)式子[n*j=m*k]可知，規(guī)則的LDPC碼[（n，j，k），]當(dāng)參數(shù)[n， j， k]確定后，可以得到校驗(yàn)方程的數(shù)目[m，]則校驗(yàn)矩陣[H]的大小就可以定為[m×n。]構(gòu)造LDPC碼校驗(yàn)矩陣的一般步驟為：先生成一個(gè)[m]行[n]列的全0矩陣，然后隨機(jī)地將每列中的[j]個(gè)0換成1，每行中的[k]個(gè)0換成1。但在隨機(jī)置l的過(guò)程中，必須避免出現(xiàn)長(zhǎng)度為4的環(huán)[4]。如果最小環(huán)長(zhǎng)為4，在迭代中非常容易造成錯(cuò)誤信息的擴(kuò)散傳播，從而導(dǎo)致譯碼性能的下降[5]。

Mackay為了消除校驗(yàn)矩陣中長(zhǎng)度為4的環(huán)，基于Tanner圖提出了改進(jìn)的構(gòu)造方案。采取的準(zhǔn)則是：在構(gòu)造時(shí)必須保證任意兩列間的交疊重量不超過(guò)1。本文采用的是Mackay的1A構(gòu)造方法，按照此方法構(gòu)造的一個(gè)LDPC碼（3，6）碼如圖1所示。

圖1 Mackay的1A構(gòu)造方法

Mackay的1A構(gòu)造方法是最基本的一種構(gòu)造方法，它要求保證固定列重為[γ]，而行重盡可能均勻的保持為[ρ]。利用Mackay構(gòu)造方法得到的LDPC碼距離特性很好，且沒(méi)有短環(huán)。

1.2 基于奇偶校驗(yàn)矩陣的編碼算法

LDPC碼的直接編碼方法就是利用高斯消去法，產(chǎn)生一個(gè)下三角矩陣，然后進(jìn)一步初等變換得到右邊單位陣形式[H=[P|I]]，由[G=[I|P]]得到生成矩陣，再利用信息碼元向量[u]和生成矩陣[G]相乘可得到完整碼字[C，]即[C=M*G]直接編碼[5]。

2 LDPC碼譯碼[4，6?7]

BP算法是在Gallager提出的概率譯碼算法基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。BP算法每次迭代包括2步：變量節(jié)點(diǎn)的處理和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的處理。概率域就是在節(jié)點(diǎn)間傳遞的是概率信息，采用很多乘法運(yùn)算，運(yùn)算量大；而對(duì)數(shù)域的和積算法實(shí)現(xiàn)是將概率值通過(guò)對(duì)數(shù)似然比變化為軟信息值（LLR），再進(jìn)行傳遞，這樣就將大量乘法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了譯碼復(fù)雜度，利于硬件實(shí)現(xiàn)。下面重點(diǎn)介紹對(duì)數(shù)域迭代APP LLR譯碼算法。

2.1 迭代APP LLR譯碼算法的變量定義

對(duì)于[（N，K）]LDPC碼，定義變量[U]取值為0和1時(shí)的對(duì)數(shù)似然比（LLR）為：

[LUdef=logP（U=0）P（U=1）] （1）

設(shè)發(fā)端發(fā)送的碼字為[u=[u1，u2，…，uN]]，接收碼字為[y=[y1，y2，…，yN]]，由此可以得出在迭代中傳遞的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和信息節(jié)點(diǎn)的軟信息為：

[λmn（un）def=log（qmn（0）qmn（1））] （2）

[Λmn（un）def=log（rmn（0）rmn（1））] （3）

2.2 迭代APP LLR譯碼算法

迭代APP LLR譯碼算法的迭代過(guò)程如下：

（1） 初始化：設(shè)每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)[n]的軟信息為：

[L（un）=ln{P（un=0yn）P（un=1yn}] （4）

對(duì)于矩陣中[H（m，n）=1，]相應(yīng)的變量節(jié)點(diǎn)的軟信息初始化為信道輸出的軟信息，即[λmn（un）=L（un），][Λmn（un）=0。]

（2） 校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)更新：根據(jù)每個(gè)變量節(jié)點(diǎn)[n，]向與該變量節(jié)點(diǎn)相連的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞更新的軟信息，計(jì)算校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)信息：

[Λmnun=2tanh-1n∈Nm＼ntanhλmnun2] （5）

（3） 變量節(jié)點(diǎn)更新：根據(jù)每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)[m，]向與該校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的所有變量節(jié)點(diǎn)傳遞更新的軟信息：

[λmn（un）=L（un）+m∈M（n）＼mΛmn（un）] （6）

對(duì)變量節(jié)點(diǎn)[n]進(jìn)行判決時(shí)，變量節(jié)點(diǎn)軟信息應(yīng)為：

[λn（un）=L（un）+m∈M（n）Λmn（un）] （7）

（4） 判決：當(dāng)[λn（un）≥0，]則[un=0]，否則[un=1，]此時(shí)判決出的碼為：[u={u1，u2，…，uN}。]最后根據(jù)校驗(yàn)矩陣來(lái)判斷所譯出的碼字是否正確。如果[uHT=0，]那么譯碼正確，此時(shí)，停止迭代；否則繼續(xù)迭代進(jìn)行譯碼，直到迭代次數(shù)達(dá)到所設(shè)定的最大次數(shù)。如果此時(shí)仍未正確譯碼，則譯碼失敗。

由以上所述可見(jiàn)，在變量節(jié)點(diǎn)更新時(shí)只有加法運(yùn)算，但是還可以再進(jìn)一步降低算法的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。采用迭代APP LLR算法，將LLR BP算法中的[λn（un）]代替[λmnun]參與校驗(yàn)信息的迭代。即[λn（un）]不僅用于硬判決，還用于校驗(yàn)信息的更新。這樣所傳遞的變量消息之間便引進(jìn)了相關(guān)性，傳遞的變量消息就不再是外部消息，僅僅需要計(jì)算和存儲(chǔ)一個(gè)變量消息的數(shù)值，可以大大地降低算法的復(fù)雜度。

3 LDPC碼在高斯信道下不同譯碼算法的仿真

結(jié)果和分析

基于Matlab按照上述的編譯碼方法，在高斯信道下分別對(duì)LDPC碼概率域的SPA和對(duì)數(shù)域的迭代APP LLR譯碼算法進(jìn)行了誤碼性能仿真。然后由所得到的性能仿真圖形進(jìn)行分析比較。