三角函數(shù)在解題中的應(yīng)用舉例

[摘 要]：高考對本部分內(nèi)容的考查，一般主要是小題，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進行求值、變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進行求值、參數(shù)、值域、單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數(shù)的定義、圖象、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等。本文主要介紹在平時教學(xué)中，有意識培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，舉例說明求三角函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間、解析式等在解題中常見的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]：三角函數(shù) 值域 單調(diào)區(qū)間 解析式

一、求三角函數(shù)的值域與最值問題

求三角函數(shù)的值域（最值）可分為：

（1）類型的，應(yīng)利用其圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解；

（2）可化為以三角函數(shù)為自變量的二次函數(shù)類型，應(yīng)確定三角函數(shù)的范圍，再用二次函數(shù)求解.

應(yīng)用1 已知函數(shù)y=+b在x≤上的值域為[-5，1].求a，b的值.

提示：先由x的范圍確定的范圍，再根據(jù)a的符號，討論a，b的取值.

解：∵x∈，

∴2x+∈，≤.

∴當(dāng)a>0時，解得

當(dāng)a<0時，解得

∴a，b的取值分別是4，-3或-4，-1.

應(yīng)用2 設(shè)a≥0，若的最大值為0，最小值為-4，試求a，b的值.

提示：通過換元化為二次函數(shù)最值問題求解.

解：原函數(shù)變形為

當(dāng)0≤a≤2時，- ∈[-1，0]，

∴①

.②

由①②，得a=2，b=-2，舍a=-6（與0≤a≤2矛盾）.

當(dāng)a>2時，- ∈（-∞，-1），

∴.③

.④

由③④，得a=2，不適合a>2，∴應(yīng)舍去.

綜上可知，只有一組解

應(yīng)用3已知是第三象限角，且=.

（1）化簡；

（2）已知，求的值.

解：（1）=

==.

（2）∵cos=，

∴

∵是第三象限角，

∴==-=-.

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考考查的重點內(nèi)容之一.此類題目應(yīng)以正弦函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為基礎(chǔ)，利用整體思想求解.

應(yīng)用單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）.

A. （k∈Z）

B. （k∈Z）

C. （k∈Z）

D. （k∈Z）

解析： =-2sin

=2sin=2sin，

把2x+看成一個整體，令），

解得

即.

答案：D

三、由三角函數(shù)圖象求解析式

已知三角函數(shù)的圖象求出其解析式，解此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和把握參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，A影響函數(shù)的最值，ω影響函數(shù)的周期，影響函數(shù)的相位.有時還要根據(jù)所給的圖象經(jīng)過的特殊點，利用點的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式來求解.

應(yīng)用1 已知函數(shù)的簡圖，如圖所示，那么（ ）.

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

解析：函數(shù)圖象與y軸的交點為（0，1），說明當(dāng)x=0時，函數(shù)值y=1，則即.

由，知.

又曲線與x軸的一個交點是，說明當(dāng)x=時，函數(shù)值y=0，

則，解得ω=2，即ω=2，.

答案：C

應(yīng)用2 如圖是一彈簧振子做簡諧運動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子的位移.

求：（1）該振動的函數(shù)解析式；

（2）在t=0.4 s時的位移.

解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為，A>0，ω>0.

由圖象，得A=2，周期T=2（0.5-0.1）=0.8.

∴0.8=，∴ω=.∴y=2sin.

又當(dāng)x=0.1時，y=2，∴2sin=2.

∴sin=1，取φ=.∴y=2sin.

（2）f（0.4）=2sin=2sin

=-2sin=-，即當(dāng)t=0.4時，y=-，

∴在0.4 s時的位移是- cm.