對二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究

[摘 要]：本文推導(dǎo)二階變系數(shù)線性微分方程的一般解法.從特殊型和一般型的二階變系數(shù)線性微分方程進(jìn)行研究，首先研究某些特殊型的二階變系數(shù)線性微分方程.本文研究了三種滿足特殊條件的二階變系數(shù)微分方程，在此基礎(chǔ)上，研究一般型的二階變系數(shù)線性微分方程.從方程的自身特點出發(fā)，巧妙構(gòu)造結(jié)構(gòu)，利用降階法把二階變系數(shù)線性微分方程的求解問題轉(zhuǎn)嫁為一階線性微分方程的求解問題. 首先構(gòu)造結(jié)構(gòu)系數(shù)函數(shù)，然后利用構(gòu)造結(jié)構(gòu)的系數(shù)函數(shù)，通過降階法得到求二階變系數(shù)線性微分方程通解或特解的一般方法.

[關(guān)鍵詞]：二階變系數(shù)齊次線性微分方程 二階變系數(shù)非齊次線性微分方程 一階線性微分方程 通解 特解

一、引言

在微分方程的理論中，二階線性微分方程占有十分重要的位置.國內(nèi)外現(xiàn)行 《高等數(shù)學(xué)》中的方程[1]，只是對常系數(shù)微分方程的情況做了詳細(xì)的討論，《常微分方程》也未對二階變系數(shù)微分方程的解作進(jìn)一步的闡述.一般的變系數(shù)微分方程的通解沒有普遍的求法.在高等數(shù)學(xué)中，只有對歐拉方程這種特殊的變系數(shù)微分方程研究了它的解法[2].本文通過研究幾種特殊的二階變系數(shù)線性微分方程通解的求法，推導(dǎo)二階變系數(shù)線性微分方程的通解的一般求法，包括二階變系數(shù)齊次線性微分方程和二階變系數(shù)非齊次線性微分方程.詣在解決二階變系數(shù)線性微分方程的求解問題，并得出成規(guī)的求解的方法與結(jié)論，以便適應(yīng)在工程技術(shù)的實際領(lǐng)域或?qū)W生在學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)中的需要.

二、一些特殊型二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法

考慮如下的二階變系數(shù)微分方程

（1）

其中 都是連續(xù)函數(shù)，當(dāng) 滿足一定條件時，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，方程（1）可化為歐拉方程，進(jìn)而求出其通解.

引理1[3] 假如方程

中 .

只需引進(jìn)變量 ，則方程可化為

.

定理1當(dāng) 時，方程（1）可通過變量代換 化成歐拉方程且通解為

（Ⅰ） 時， .

（Ⅱ） 時， .

（Ⅲ） 時， .

證明：設(shè) ，這里 為待定的連續(xù)可微函數(shù)，此時有

將 代入方程（1），得

（2）因為

所以（2）式化為

. （3）

若設(shè) ，則（3）為歐拉方程，將其代入（3）得

. （4）

或

. （5）

令 ，則 ，（5）式化為

（6）

（6）式變成為常系數(shù)線性微分方程未知函數(shù)為 ，自變量換成 .求解（6），再由 代回 ，得到 ，從而得到方程（1）的解.具體解法如下：

方程（6）對應(yīng)的特征方程為

，

判別式 .分以下三種情況討論：

（Ⅰ）當(dāng) 即 時，特征方程有兩個相異實根

， .

方程（6）的通解為

.

將 代入上式，得

.

所以方程（1）的通解為

.

若 ，即 時，方程（1）的通解為

.

（Ⅱ）當(dāng) 即 時，特征方程有兩個二重根

.

方程（6）的通解為

.

將 代入上式有

.

所以方程（1）的通解為

.

（Ⅲ）當(dāng) 即 時，特征方程有一對共軛復(fù)根

， .

方程（6）的通解為

.

將 代入上式，有

.

所以方程（1）得通解

.

例1 求方程 的通解.

解：這里 ， ，且 .此處 .符合情況（Ⅰ）.將 ， 代入通解公式并化簡得方程的通解為

.

例2 求方程 的通解.

解：這里 ， ，此處 .符合情況（Ⅲ），將 ， 代入通解公式并化簡得方程的通解為

.

可見，在方程（1）的系數(shù)滿足條件 時，便可由定理的公式直接求出這類方程的通解，避免了繁瑣的變量代換求通解的過程.

設(shè) 階變系數(shù)線性非齊次微分方程

（1）

對應(yīng)的齊次方程為

（2）

定理2 若方程（2）的特解為 則方程（1）的通解為

引理2[4] 對于 階變系數(shù)線性微分方程

有以下結(jié)論：

（1）若 ，則特解為 ；

（2）若 ，則特解為 ；

（3）若 ，則特解為 ；

（4）若 ，則特解為 .

上述尋找特解的方法要求系數(shù)要滿足一定的條件，有時并不好實現(xiàn).但對于一些二階變系數(shù)線性微分方程可通過變量代換化為常系數(shù)方程，從而很容易求解.

考慮二階變系數(shù)齊次線性微分方程

（3）

其中 都是連續(xù)函數(shù)，當(dāng) ， 滿足一定條件時，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，方程（3）可化為常系數(shù)微分方程，進(jìn)而求出其通解.

定理4 若存在常數(shù) ，使得方程（3）的系數(shù) 滿足：

，

其中 為常數(shù)，則方程（3）可以化為二階常系數(shù)線性齊次方程

， （4）

進(jìn)而可求得原方程的通解.

證明：令 ，則 ， ，代入方程（3），得

. （5）

又因為 ，所以 且 ，代入

（5），得 ，再將 代入此二階常系數(shù)線性齊次方程的通解，便得原方程的通解.

注：一般情況下，可令 .

例3 求方程 的通解.

解：因為 ，則方程有特解 .于是，方程有形如

的通解.將 代入方程得 .

即

. （4）

解方程（4）得

，

得

.

即

（5）

解方程（5）得

.

于是，原方程的通解為

.

例4 求方程 的通解.

解：因為 ， .顯然，存在常 數(shù)，使得 .令 ，則 ， ，代入方程得

，

即

（6）

方程（6）為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為

.

故原方程的通解為

.

例5 求方程 的通解.

解： ， .顯然，存在常數(shù) ，使得 .令 ，則

， ，

代入方程得

，

即

. （7）

方程（7）為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，其通解為

.

故原方程的通解為 .

定理5 對于二階變系數(shù)線性非齊次微分方程

， （1）

若 ，和實數(shù) 滿足

， （2）

則（1）的通解為

（3）

其中積分 ， 和 都表示一個原函數(shù)， 和 為任意常數(shù).

證明：設(shè)方程（1）的解為 ，求導(dǎo)得

， ，

將 代入（1）化簡得

（4）

在（4）中，不妨令

（5）

方程（5）為二階變系數(shù)線性齊次微分方程，文獻(xiàn)[4]給出一類若 滿足（2），則方程（5）的一個特解必為

（6）

將（5）代入（4）整理得

（7）

顯然（7）為可降階的微分方程.利用可降階的微分方程的求解方法可求得（7）的通解（即求得 ）為

.

其中積分 ， 和 都表示一個原函數(shù)， 和 為任意常數(shù).由此得（1）的通解為

例6 求方程 的通解.

解：文獻(xiàn)[4]中給出 =-3，所以對應(yīng)齊次方程 的一個特解為 .又 ， ，代入（7）得方程的通解為

= =

=

例7 求方程 的通解.

解：文獻(xiàn)[4]中給出 =-1，所以對應(yīng)齊次方程 的一個特解為 .又 ， 代入（7）得方程的通解為

= =

注意：定理中的條件 非常苛刻，只有在特殊條件下才能滿足.但通過分析可以發(fā)現(xiàn)，定理中的這個條件并不一定必須滿足，只要能知道方程（1）對應(yīng)齊次方程的一個非零特解 ，則由公式（7）同樣可以求出方程（1）的通解.

例8 求方程 的通解.

解：已知對應(yīng)齊次方程 的一個特解為

.

又 ， ，代入（7）得方程的通解為

=

=

= 1

三、一般型二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法

定義[5] 若 、 為連續(xù)非常數(shù)的函數(shù)，則稱方程

（1.1）

為二階變系數(shù)線性微分方程. 如果 恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)齊次線性微分方程；如果 不恒等于零，那么該方程稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程.

假設(shè)二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中 具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)、 連

續(xù).令

， （1.2）

， （1.3）

則方程（1.1）變形為

（1.4）

即

令 （1.5）

那么原方程（1.1）就化簡為

.

解之，得 ，將之代入（1.5）式，則方程（1.5）通過上述變換可降階為

此一階線性非齊次微分方程的解就是我們所要求的二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的解[6]，而方程

的解為

即

（1.6）

故式（1.6）為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程

的通解公式.

另外由（1.2）式又得

或

將其代入式（1.6）可得二階變系數(shù)非齊次線性微分方程（1.1）通解的另兩種形式為

（1.7）

或 （1.8）

特別地1 當(dāng) 時，方程（1.1）就轉(zhuǎn)化為二階變系數(shù)齊次線性微分方程，而式（1.6）、（1.7）、（1.8）分別為

， （1.9）

， （1.10）

， （1.11）

它們是對應(yīng)的二階變系數(shù)齊次線性微分方程 的通解公式. 以上的求解過程或方式就是二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法，（1.6）、

（1.7）、（1.8）均為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程

的通解公式. 公式（1.9）、（1.10）、（1.11）均為二階變系數(shù)齊次線性微分方程

的通解公式，.在具體應(yīng)用時，應(yīng)依據(jù)問題靈活使用.

特別地2 形如

型的方程可化為伯努利方程.

原方程變形為

令

則原方程就化為伯努利方程

，

即可求得其解[7] .

四、舉例

運用二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解法求二階變系數(shù)線性微分方程的解時，其重點是構(gòu)造（1.2）和（1.3）式，難點或關(guān)鍵點是從（1.2）式和（1.3）式，求出 和 . 或由（1.2）式和（1.3）式變形得

（1.12）

和 ， （1.13）

再從中求得 和 ，然后用上述方法或上述公式，可求得二階變系數(shù)線性微分方程的解.

注：方程（1.12）或（1.13）是黎卡提（Riccati）方程，見《常微分方程》教[8].求二階變系數(shù)線性微分方程解時，必須觀察二階變系數(shù)線性微分方程的特

征.如果是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程，就用特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法求之；如果不是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程，就用二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解方法求之.

二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解步驟：

第一步：構(gòu)造（1.2）式和（1.3）式；

第二步：計算出 ， ；

第三步：將第二步的結(jié)果代入上述公式求出通解來.

例9 求 的通解

解：由方程特征可知，

， ，

則 的通解為

.

例10 求 的通解.

解：令 ，解之得

由以上公式，所求方程的通解為

.

五、總結(jié)

對一般的二階變系數(shù)線性微分方程而言，由《常微分方程》 教材[5] 知，只要能求出二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一個特解，則二階變系數(shù)線性齊次或非齊次微分方程的解即可求得.盡管專家學(xué)者目前的研究給出了一些特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法，然而，如何求出其中的某一特解是無法可循的.通過研究特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法，深入研究了一般二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法，包括二階變系數(shù)齊次線性微分方程和二階變系數(shù)非齊次線性微分方程.

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