正弦定理

教學(xué)內(nèi)容：《必修5》§1.1正弦定理

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：

（1）通過對(duì)任意三角形各邊長(zhǎng)和所對(duì)角的度量關(guān)系，探究、發(fā)現(xiàn)任意三角形的邊與所對(duì)角之間的必然規(guī)律 — 正弦定理并證明定理方法；

（2）會(huì)運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

2、過程與方法：

讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，結(jié)合初中學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理或公式的獲得需要經(jīng)過大量的探索、發(fā)現(xiàn)并加以論證才能成功，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過對(duì)任意三角形各邊長(zhǎng)和所對(duì)角的度量關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理，并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)并證明。

三、教學(xué)過程

（一）教師活動(dòng)：

1、創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：

[幻燈片1]

[問題1]在三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，不等邊對(duì)不等角，那么這種邊和角是如何“對(duì)應(yīng)”的呢？（設(shè)疑---這種“對(duì)應(yīng)”意味著什么呢？如何去找這個(gè)“對(duì)應(yīng)”？）

[幻燈片2]

[問題2] 回顧初中學(xué)習(xí)過的三角形與它的外接圓之間的關(guān)系，并畫出兩個(gè)特殊三角形（一個(gè)等邊三角形、一個(gè)為有一個(gè)銳角是30°的直角三角形）的外接圓的圖形，并標(biāo)出兩個(gè)三角形各邊長(zhǎng)，由學(xué)生根據(jù)三角形的各邊長(zhǎng)算出兩個(gè)三角形的外接圓的直徑（這個(gè)直徑值備用）

[幻燈片2′] 如圖（1-1）～（1-2）

[幻燈片3]

[問題3] 回顧初中學(xué)習(xí)過的解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，計(jì)算出圖（1-3）中三角形的三個(gè)內(nèi)角的正弦值和余弦值，并觀察各角的正弦值、余弦值的大小與所對(duì)邊的長(zhǎng)短的關(guān)系。

教師引導(dǎo)學(xué)生：不斷地觀察、分析，特別是邊和角如何“對(duì)應(yīng)”？采取從特殊到一般推理的方法發(fā)現(xiàn)三角形的邊和角的度量關(guān)系。

（二）學(xué)生活動(dòng)：（按上述各問題要求計(jì)算出所需的值，并找到所需的數(shù)量關(guān)系）

1、對(duì)于問題1，對(duì)應(yīng)關(guān)系難以找到，暫時(shí)放下！

2、對(duì)于問題2，如圖（1-1）外接圓直徑d=2R=

如圖（1-2）外接圓直徑d=2R=2，就是斜邊AB之長(zhǎng)！

3、對(duì)于問題3，如圖（1-3）有：

（1） SinA=1 sin30°=

SinB= Sin60°= =

SinC=2×Sin90°=2×1=2

（2）

結(jié)論：三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦或余弦之積不等，即： SinA≠ SinB≠ SinC，

（3）

師生互動(dòng)：這個(gè)比值“2”與此三角形的外接圓的直徑有什么關(guān)系？是不是巧合？各邊和它所對(duì)角的余弦值的比又如果何呢？

學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦：（按（3）的方法試算，并與（3）比較）

教師提示學(xué)生：按方法（3）對(duì)圖1-1的三角形試算一下，是否滿足上面關(guān)系？再將圖1-2換成任意直角三角形、任意三角形呢？

通過這四組值的比較，發(fā)現(xiàn)有且只有一組值相等，并由此猜測(cè)：是否任意三角形的邊和角之間都具有這種關(guān)系呢？由此引出正弦定理——點(diǎn)明課題：正弦定理

（三）講解課題：§1.1正弦定理

1、正弦定理：在三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等（且比值為該三角形外接圓直徑），即

（外接圓直徑）

教師和學(xué)生一起感受探究成功的喜悅！！

① 欣賞正弦定理表達(dá)式的完美結(jié)構(gòu)，具有對(duì)稱和諧的美！

②正弦定理反映了三角形的邊和所對(duì)角之間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系：大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，且比值為該三角形外接圓直徑，真是絕妙！

2、正弦定理的證明：

下面給出一種簡(jiǎn)單而又科學(xué)的證明方法：見教材上的證明，此處略。

3、正弦定理的應(yīng)用：

作為正弦定理的主要應(yīng)用于解三角形，那么它能解決哪些類型的三角形問題呢？

由 可分離成如下三個(gè)等式：

① ； ② ； ③

由此可看出，每個(gè)等式都是由兩邊和它們所對(duì)角組成的比例式，從而可知對(duì)每個(gè)式子而言，只要知道兩邊和其中一邊所對(duì)角，即可求第二個(gè)角及剩余邊和角或已知兩角和任一邊，可求剩余邊和角，即用正弦定理能解決的三角形類型有兩類：

（1）已知兩邊和其中一邊所對(duì)角，求第二個(gè)角及剩余邊和角；

（2）已知兩角和任一邊，可求剩余邊和角。

示例講解：略。

設(shè)計(jì)意圖：

1、通過對(duì)問題1的思考，尋求三角形的邊和所對(duì)角是如何的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系？

2、從學(xué)生已有知識(shí)出發(fā)，潛意識(shí)地按老師設(shè)計(jì)的問題方向不斷探索：

（1）找出邊和所對(duì)角的正弦之積、邊和所對(duì)角之余弦之積、邊和所對(duì)角的正弦之比、邊和所對(duì)角的余弦之比，通過這四組值的比較，發(fā)現(xiàn)有一組值相等，并由此猜測(cè)：是否任意三角形的邊和角之間都具有這種關(guān)系呢？

（2）通過問題2，對(duì)這組相等比值與三角形外接圓直徑比較，得出正弦定理的完美表達(dá)式，并指導(dǎo)學(xué)生欣賞正弦定理的完美表達(dá)式

3、論證方法：（1）在探究過程中，已經(jīng)體現(xiàn)了一些幾何證明思想，稍加整理過程，就是幾何證明；（2）論證方法最科學(xué)的是用向量法，書中已列出，這里不再重復(fù)！

4、關(guān)于應(yīng)用，本設(shè)計(jì)主要體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)和探索正弦定理并論證它，故此處略之。

教學(xué)設(shè)計(jì)反思：

1、本設(shè)計(jì)從學(xué)生已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一系列數(shù)學(xué)問題情境來引起學(xué)生思考，讓學(xué)生在思考疑問中探究學(xué)習(xí)。

2、本設(shè)計(jì)是在教師的指導(dǎo)下，根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)和為了發(fā)現(xiàn)正弦定理，由教師提供特定素材（幻燈片2、3），讓學(xué)生從特殊三角形的邊長(zhǎng)和所對(duì)角的大小中去找關(guān)系（這里列出四組數(shù)量關(guān)系），找到相關(guān)關(guān)系之后，再猜測(cè)這種關(guān)系是否對(duì)所有三角形都成立呢？最后是給出結(jié)論——正弦定理證及論證方法。

3、本設(shè)計(jì)主要是體現(xiàn)如何發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程及論證，關(guān)于應(yīng)用略之。

說明：

1、本設(shè)計(jì)為教學(xué)過程的主要部分，是否符合出版要求，請(qǐng)聯(lián)系本人（13885670986）

2、我校現(xiàn)為新建的一所高級(jí)中學(xué)，但目前教學(xué)條件很差，暫時(shí)還是用傳統(tǒng)方法教學(xué)。

聯(lián)系地址：貴州省印江一中教師任達(dá)茂。