多個體系統(tǒng)的二分蜂擁一致性

摘 要：文章研究了無虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的二分蜂擁一致性問題。提出的算法保證了二分蜂擁行為，同時取消了隱函數(shù)。通過把運(yùn)動的集合分成兩族，只要在不同族里的個體以近似相同的速率往相反的方向運(yùn)動，兩族就能各自實現(xiàn)一致性。

關(guān)鍵詞：多個體；二分蜂擁；一致性

引言

經(jīng)常在生物蜂擁和人類集體行動中遇到個體有不同的運(yùn)動目標(biāo)，或者不同的運(yùn)動方向，這些可能是由利益沖突、內(nèi)部不同意見或外部干擾等等所引起[3，4]。Couzin[5]研究整體集合選擇的方向，當(dāng)有些個體在優(yōu)先權(quán)上不同，而且會發(fā)現(xiàn)當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者意見相差不多時，跟隨者將會平均方向。隨著意見分歧的加大，所有的跟隨者會從原來的一個方向到兩個完全不同的方向。Conradt[6]調(diào)查在整體行為上的內(nèi)部利益沖突的機(jī)制，特別是同步速率和分裂。整體分裂成兩個族，發(fā)生在整體的大的沖突上[1]。整體分裂會有許多有利的例子，如災(zāi)難逃離[6]和自然界捕食者和被捕者的情景。但是在二分機(jī)制的深入研究也在進(jìn)行，而且對于二分蜂擁設(shè)計一個分裂控制方法也是具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。這些促使我們分析性地調(diào)查研究在生物集體運(yùn)動和社會整體行為的分裂現(xiàn)象背后的物理規(guī)則。

1 基本知識

令G（V，？著，A）代表一個符號圖，其中，V={1，…，n}為節(jié)點集合；？著？哿V×V為邊集合；A∈Rn×n是圖G的鄰接矩陣，其中aij=±1？圳（j，i）∈？著，否則aij=0。有自環(huán)的圖，文章不考慮。G（A）的路徑？籽是邊集合的連通 ，其中 所有節(jié)點k1，…，kp互相不同的。文章中Rm是一個m維的實矢量空間；Im是一個m×m的單位矩陣，而且1n=[1，…，1]T∈Rn。另外，符號||·||，？茚分別代表歐幾里德范數(shù)，克羅內(nèi)克積。

2 問題描述

考慮下面的二階多個體系統(tǒng)：

（1）

假定位置和速率是的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，分別用 ，時變網(wǎng)絡(luò)有相同的半徑R，那么個體i的鄰居可以表示為Ni={j|||qi-qj||

定義1[1，2]如果多個體系統(tǒng)（1）作為一個整體最后分成兩族，以同樣的速率，其中一族中的個體往相同的方向運(yùn)動；同時，另一族中的個體往相反方向運(yùn)動，稱多個體系統(tǒng)（1）是一個二分蜂擁。也就是對于任意的i，j∈E，limt→∞pi（t）=±limt→∞Pj（t）。更進(jìn)一步，在整個進(jìn)程中，不存在任何沖突，即對于任意的i，j∈E有 。

3 一致性分析

設(shè)計一個控制協(xié)議：

（2）

在ui中，不僅給出了個體的位置關(guān)系，也考慮了個體的速度關(guān)系。同時取消了隱函數(shù)，不同于文獻(xiàn)[1]的情形。

定理1假設(shè)網(wǎng)絡(luò)Gp（A）是一個連通的無向圖，圖G1（t）和G2（t）都是連通的。在（2）作用下，如果GP（A）是平衡圖，網(wǎng)絡(luò)G1（t）和G2（t）是連通的， ，則多個體系統(tǒng)（1）實現(xiàn)二分蜂擁一致性。

證明：由于GP（A）是平衡圖，從引理1中得出存在一個正規(guī)變換D∈D，D=diag（[？滓1，？滓2，…，？滓n]），？滓i∈{±1}，那么DTAD是非負(fù)的。考慮變換z=（D？茚Im）p，p=[p■■，…，p■■]T，z=[z■■，…，z■■]T，系統(tǒng)（1）可以重新寫為 。

構(gòu)造一個李雅普諾夫函數(shù)函數(shù)：

，得：

由于■（t）是半負(fù)定的，zi（t）是有界的，因此，從第二個方程看出，如果個體i和個體j在同一個族Gl，l∈{1，2}；||qij||∈（0，R）；個體間的沖突可以避免，G1（t）和G2（t）是連通的， ，而且■（t）也是有界的。由于 有 。多個體系統(tǒng)（1）在（2）的作用下，實現(xiàn)二分蜂擁一致性。

4 結(jié)束語

文章設(shè)計一個二分蜂擁控制協(xié)議，使得整體分裂為兩個向相反方向運(yùn)動的族。用平衡圖譜理論，可以使系統(tǒng)實現(xiàn)蜂擁一致性。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：季亞雷（1987-），男，江蘇淮安人，安徽理工大學(xué)碩士生，研究方向：多個體系統(tǒng)的一致性。