論齊民友的數(shù)學觀與數(shù)學教育觀

鄭隆炘，巴 英

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論齊民友的數(shù)學觀與數(shù)學教育觀

鄭隆炘，巴 英

（江漢大學數(shù)學與計算機科學學院，湖北武漢 430056）

齊民友是著名數(shù)學家、數(shù)學教育家．他對數(shù)學與數(shù)學教育領域中的一些重要問題，都發(fā)表過深刻而獨到的論述．在研究這些論述的基礎上，總結概括出他“科學、有哲理、強調理性精神”的數(shù)學觀，以及“強調基礎，重視創(chuàng)造，突出對探索精神培養(yǎng)”的數(shù)學教育觀．

齊民友；數(shù)學觀；數(shù)學教育觀；理性精神

齊民友（1930—）是中國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家，曾任國務院學位委員會數(shù)學組成員，中國數(shù)學學會副理事長，湖北省數(shù)學學會理事長，武漢大學校長，湖北省科協(xié)副主席．齊民友在偏微分方程領域，特別在“偏微分方程算子理論”、“Fuchs型和奇性偏微分方程”等方面取得了一系列重要的研究成果，曾榮獲國家自然科學獎獎勵．他長期擔任大學本科與研究生的教學任務，為國家培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學人才．他出版了二十多種數(shù)學專著、譯著、教材，發(fā)表了許多優(yōu)秀的學術論文，為數(shù)學的發(fā)展與數(shù)學教育作出了重要貢獻．他在各類數(shù)學學術會議上作學術報告，經常發(fā)表許多深刻而精辟的見解．他還參與中學教師的培訓，主持高中新教材的編寫，給大學生開設數(shù)學或科學知識講座．他對數(shù)學與數(shù)學教育的許多問題都做過深層次的思考，形成自己獨特的數(shù)學觀與數(shù)學教育觀．對于這些，目前研究得甚少．這里試從若干側面進行初步探索，論述齊民友的數(shù)學觀與數(shù)學教育觀．

1 科學 有哲理 強調理性精神的數(shù)學觀

數(shù)學觀是對數(shù)學整體的看法，是對數(shù)學的特征、地位與作用、研究對象、發(fā)展動力與規(guī)律、與實踐的關系等問題的深層次的思考，屬于數(shù)學哲學的范疇．數(shù)學家、數(shù)學工作者、數(shù)學教育工作者在這些數(shù)學哲學問題上都會自覺或不自覺作出一定的回答．齊民友在他的論文、著作、演講中，對數(shù)學哲學中的這些關鍵問題都作過深刻的研究，闡述了他“科學、有哲理、強調理性精神”的數(shù)學觀．

1.1 數(shù)學根本的特征是它表達了一種理性精神

齊民友在《數(shù)學與文化》一書的緒言中論述了數(shù)學學科的3個特征：首先，它是一種完全確定、完全可靠的知識，就其影響人類文化講，它的邏輯方法是最突出的；其次，它不斷追求最簡單、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本；第三，它不僅研究宇宙的規(guī)律，也研究它自己，它對自己的概念、方法、成果總是不斷地進行反思，在理性思維中使問題得到改變．齊民友在此基礎上指出，數(shù)學是人類理性發(fā)展最高的成就，“數(shù)學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神．”他認為，數(shù)學把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致，它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標準，給人類的思想解放打開了道路．

齊民友從精神與探索的角度論述數(shù)學學科的特征，使人們對經典的數(shù)學特征論述的“高度的抽象性，嚴密的邏輯性，應用的廣泛性”的理解加深，其思路得到進一步拓展．經典的數(shù)學特征論述雖然是必要的，但只有從多角度、多方面進行深刻的探索，并適當?shù)赝卣褂懻?，才能顯示出數(shù)學本質的力量．這項工作是非常重要且必不可少的．實際上，齊民友論述的3個特征，更加強調與突出了數(shù)學抽象性與理性精神的地位，以及不斷對自己的概念、方法、成果進行反思的作用．

齊民友還特別指出：我在《數(shù)學與文化》這本書里提到的理性精神都不是中國固有的，中國需要這種對我們頗為陌生的文化，即以理性思維為主要內容的文化，這是以一整套數(shù)學為重要內容的文化，它起的作用比孔夫子影響大得多．他提出表達一種探索的理性精神是數(shù)學最根本的特征，是西方數(shù)學長期形成的本質特征，是中國過去在文化與數(shù)學發(fā)展史中所不足的，今后在文化與數(shù)學發(fā)展中應該予以高度重視．這是非常有創(chuàng)見的觀點，也抓到數(shù)學特征的根本，在過去很少有人有這樣深刻闡述過．齊民友對西方近代數(shù)學的理性思維的高度評價與肯定，對于廣大研究者研究數(shù)學文化、以至整個文化的發(fā)展，有著前瞻性的重要意義．

關于數(shù)學學科抽象性與邏輯推理，以及理性精神在數(shù)學學科中的核心地位，齊民友在很多著述中都進行過深刻的論述．齊民友認為，數(shù)學的本質是探求一種規(guī)律性，這種規(guī)律通常都是極為抽象的．“數(shù)學是一個有嚴格結構的整體，其特點是強調邏輯推理．數(shù)學又是具有高度抽象的科學，其特點是脫離具體的實踐經驗，脫離具體的物質運動形式．”齊民友指出：“數(shù)學要為經濟發(fā)展的要求服務、為技術服務之外，還有更深刻的任務，即探討宇宙的規(guī)律．正因為它是科學，所以它又能更好地適應技術和經濟發(fā)展的要求．”把探討宇宙的規(guī)律的科學的理性精神，作為數(shù)學的最重要的本質特征，正是齊民友數(shù)學觀的核心內容之一．

1.2 沒有現(xiàn)代的數(shù)學就不會有現(xiàn)代的文化 沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰落的

關于數(shù)學在文化中的地位與作用，齊民友在分析了數(shù)學史上事例的基礎上，提出嶄新的重量級觀點．他深刻地指出：“歷史已經證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有發(fā)達的數(shù)學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的．”“沒有現(xiàn)代的數(shù)學就不會有現(xiàn)代的文化，沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰落的．”現(xiàn)在，這兩句話已經成為經典名言，常被許多數(shù)學家、數(shù)學工作者、數(shù)學教育工作者引用．齊民友是怎么提出這個論點的？依據(jù)是什么？應該如何理解？結合齊民友的著作、講話，可以從以下幾方面進行闡述．

第一，從歷史上看，數(shù)學大大促進了人類思想的解放，提高與豐富了人的精神水平．數(shù)學促進人類思想解放有兩個階段，第一階段從數(shù)學開始成為一門科學到18世紀中葉，在這個時期中，數(shù)學幫助人類從宗教和迷信的束縛下解放出來，從物質上、精神上進入了現(xiàn)代世界．第二階段從18世紀末至近代，這個時期數(shù)學最突出的事件是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)與關于無限的研究，這些成果后來成為相對論與量子力學的數(shù)學基礎，這是人類思想的一個大的解放，提高與豐富了人的精神水平．每一次新的劃時代的創(chuàng)造成果與新的重要數(shù)學分支的出現(xiàn)，都大大地促進了人類思想的解放，提高與豐富了人的精神水平．

第二，從自身的特征看，數(shù)學把理性思維發(fā)揮得淋漓盡致，提供了認識世界的最有力的工具．數(shù)學是向兩個方向生長的，一個研究宇宙規(guī)律，另一個研究自己．探索宇宙，也研究自己——所達到的理性思維的深度，從邏輯性與理性思維的角度講，是任何其它科學所不及的．數(shù)學提供了一種思維的方法與模式，不僅僅是認識世界的工具，而實際上成為一種思維合理性的重要標準，成為一種理念、一種精神．可以這么說，近代數(shù)學是邏輯的科學語言，數(shù)學這種語言與人類的語言已經成為人類認識與改造世界的兩大重要武器，相互補充，相互促進．

第三，從和科學技術與文化的關系看，數(shù)學成為現(xiàn)代科學技術的基礎之一，成為文化的一個重要組成部分．齊民友在《數(shù)學與文化》一書中用數(shù)學史的事實反復闡述了數(shù)學和科學技術與文化的關系．他列舉了非歐幾何與相對論、量子力學的關系之后，又分析了布爾代數(shù)、哥德爾定理、數(shù)學基礎與電子計算機的關系，深刻指出，數(shù)學是人類全部技術的最重要的基礎．他在湖北省數(shù)學學會1999年年會上作的報告《關于發(fā)展數(shù)學科學的一點看法》中，論述了新的世紀數(shù)學將起著重要的作用，指出數(shù)學很早就不限于應用到物理學、力學、傳統(tǒng)的工業(yè)技術，不僅應用到生命科學、醫(yī)學、經濟學，而且還應用到許多新的分支．科學新的、綜合的“粘合劑”正是數(shù)學．不但運籌帷幄要用數(shù)學，決勝千里也要用數(shù)學，生意的組織管理，股市行情都少不了數(shù)學．需要數(shù)學的人越來越多，需要數(shù)學的程度也越來越深，數(shù)學已經成了綜合國力的重要因素，也成了在新時代里有無文化的重要標志．

1.3 數(shù)學的對象從人類的直接經驗向“人類悟性的自由創(chuàng)造物”的轉化以及數(shù)學發(fā)展的“竹子哲學”

齊民友在給朱永銀等寫的《組合積分法》一書的序中指出，數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，它的產生和發(fā)展經歷了由實踐到理論、再指導實踐的過程．這是對數(shù)學對象開始的總看法．在分析與論述19世紀到當代數(shù)學的發(fā)展的歷史時，齊民友指出，非歐幾何的出現(xiàn)是一個標志，到這個時期，人們才真正依靠自己的理性突破自己直接經驗的束縛提出完全創(chuàng)新的理論和概念．數(shù)學對象在開始都是些非常具體的東西，但隨著生產與社會的發(fā)展，數(shù)學研究的深入，各種抽象的對象也進入了數(shù)學研究的領域，如虛數(shù)、代數(shù)結構、四元數(shù)、矩陣、高維幾何空間等，這些都是人們“完全自覺應用自己的抽象能力創(chuàng)造出種種新的數(shù)學對象”．因此，關于數(shù)學的對象的歷史演進，他認為是“數(shù)學的對象從人類的直接經驗向‘人類悟性的自由創(chuàng)造物’的轉化”．

齊民友在《數(shù)學與文化》第二章第§4節(jié)數(shù)學——人類悟性的自由創(chuàng)造物？中，引用了恩格斯在《反杜林論》一書關于數(shù)學來源的一段話，并加以說明與闡述．他認為這中間最了不起的成就是數(shù)學的抽象能力，這也是數(shù)學對人類的重大貢獻．齊民友指出，恩格斯說的“悟性的自由創(chuàng)造物”虛數(shù)，其實對于現(xiàn)在的高中生也沒有什么神秘了．現(xiàn)在幾乎每一個數(shù)學家都會提出某種“悟性的創(chuàng)造物”作為自己的研究對象，設計一套公理系統(tǒng)，推出種種結論．數(shù)學對象的這種轉化與演進，既反映了人類理性思維的深度，又反映了數(shù)學發(fā)展的必然，同時，在更高層次、更廣的范圍、更新的前景上反映了自然界與社會數(shù)學范疇與形態(tài)方面的內在規(guī)律．

齊民友在多次作報告中，把數(shù)學發(fā)展用“竹子哲學”來比喻，數(shù)學好比竹子，它的根生在實踐的土壤之中，然后一節(jié)一節(jié)地獨立生長，長到一定的時候，會爆出新筍，產生出新的分支；長成熟了，它會開花結子，種子又重回大地，發(fā)展為全新的數(shù)學．這種比喻非常貼切、深刻，首先，數(shù)學來源于直接經驗，或者說數(shù)學之根來源于自然界，但是，它在“一節(jié)一節(jié)地獨立生長”時，暫時又脫離了“直接經驗”，獨立地開展理性思維，“惟有數(shù)學，時常是在理性思維感到有了問題時就要變”，這種變就是數(shù)學內部理論的矛盾運動，是理性思維與探索精神，并由此發(fā)展成為新數(shù)學分支的動力之一，新分支發(fā)展、成熟了，它又與其它學科知識結合，產生更新的數(shù)學分支．

齊民友在《數(shù)學與文化》中對數(shù)學發(fā)展還提出“參天大樹理論”．他闡述道：“總之，數(shù)學是一株參天大樹，它向天空伸出自己的樹葉，吸收陽光．它不斷擴展自己的領域，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學科提供支持，也從越來越多的學科中吸取營養(yǎng)．它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立．”研究者理解的是，“參天大樹”是數(shù)學，“陽光”是實踐與理論，“鳥巢”是新的數(shù)學分支，“學科”是數(shù)學中的分支與其它自然科學、人文社會科學等，“土地”不再僅僅是實踐，主要指的是理性思維．這種強調理性思維的土地也是數(shù)學發(fā)展的來源之一，是符合數(shù)學發(fā)展歷史事實的，也反映了數(shù)學區(qū)別于物理、化學、生物學等自然科學而獨有的特點．數(shù)學的發(fā)展往往要依靠內部理論的矛盾運動，通過嚴密的邏輯推理，探討出數(shù)學形態(tài)的抽象規(guī)律，這決不是“自由編造”的或“隨意杜撰”的，而是會更深刻地揭示宇宙的規(guī)律．

1.4 直覺是數(shù)學思想的來源之一 數(shù)學思想方法是數(shù)學重要的基礎與精華

齊民友對數(shù)學直覺與數(shù)學思想、方法在數(shù)學中的作用是充分肯定的，并有許多精彩的分析與闡釋．

齊民友在《重溫微積分》中指出：“從數(shù)學的教學和研究來看，我們還只能說，這么多世紀的數(shù)學發(fā)展證明了人們的直覺還是可靠的，需要的只是深入分析．直覺仍是數(shù)學的思想與理論的來源之一．”齊民友關于“直覺是數(shù)學的思想的來源之一”的論點，是建立在嚴格剖析數(shù)學發(fā)展規(guī)律基礎上的，他認為數(shù)學的發(fā)展需要兩個方面的工作，一個是嚴格的邏輯推理，另一個是幾何直覺，兩者缺一不可，且相互依存、相互補充與相互促進．

齊民友翻譯了美國數(shù)學家尼達姆（Tristan Needhamam）著的《復分析：可視化方法》一書，他在譯后記中對直覺、數(shù)學思想、方法等的地位與作用分析得很透，后來，在作了適當?shù)难a充之后，以《數(shù)學基礎課是通向數(shù)學主流的門戶》為題發(fā)表在《高等數(shù)學教學研究》2009年第1期上．齊民友在此文中介紹了著名數(shù)學家F·克萊因提出的數(shù)學的發(fā)展和教學有3個進程，即進程A、進程B和進程C．“進程A的特點是強調概念的明確性，邏輯上的無懈可擊，方法的單純性，逐步演繹，環(huán)環(huán)相扣，絕無不必要的引伸，總之，使數(shù)學成為嚴格的體系．其陳述方式則是：定義、定理、證明、推論，等等，每句話，每個式子都要有根據(jù)．進程B，這是克萊因特別推崇的進程，則強調數(shù)學概念的生成和發(fā)展，強調各個分支的相互聯(lián)系，強調邏輯推理后面的直覺和物理內涵．其陳述方式則主張夾敘夾議，娓娓道來，生動活潑，發(fā)人深?。饼R民友肯定了這種進程的區(qū)分與探析，并作了深入的論述，他認為F·克萊因揭示的進程A與進程B相互切磋，相互補充的同時，突出了進程B的作用．而尼達姆從幾何與物理角度審視問題，強調了幾何直覺的一面，把“洞察力”放在嚴格性之前，使復分析理論與方法適合于可視化．齊民友指出：“必須從數(shù)學問題的直覺的經驗的側面去‘體會’數(shù)學，才能有真正的掌握，才能‘悟’出真諦．”這個觀點與他多次強調嚴格的邏輯推理與幾何直覺是推進數(shù)學發(fā)展的兩個不可缺少的方面的論述是一致的．

齊民友在對譯后記的補充中專門介紹了進程C．關于進程C，涉及到一種叫算法的方法，它與進程A，B或平行發(fā)展，或含于其中．“數(shù)學既然從形式上看是對符號進行的各種操作，則可以設想，符號本身有著其內在規(guī)律，也就是上面說的算法．研究這種規(guī)律與算法，自然是數(shù)學不可推卸的責任．”“克萊因的進程C的說法，至少會使我們感受到數(shù)學的思想、方法、技巧是何等豐富多彩，使我們的眼界放得更開些．”盡管前人在數(shù)學的思想，方法方面探討不多，但其地位、作用卻是非常大的，齊民友在這里認為那些“最為基礎，影響又最為深遠的思想、方法，等等，可以說是其精華．”這是個重要的結論，而且這個結論是他翻譯尼達姆65萬字的著作，以及雄視現(xiàn)代數(shù)學的全局與總結自己教學科研經歷基礎上提出來的，這使研究者感到非常親切．作為數(shù)學家，他提出來的這個結論非常有力，數(shù)學思想與方法的確是數(shù)學的精華與最重要的基礎．

齊民友在他翻譯的《數(shù)學在19世紀的發(fā)展（第一卷）》（F·克萊因著）中譯本序中對數(shù)學思想的范疇作了更廣泛的理解，他認為：“真正重要的是要有思想，越深刻越好．克萊因這部書的一個特點是有突出的思想性，不僅他本人富有真知灼見，他對其他人的評論也是從思想角度出發(fā)，而且不止是評論個人的思想，還包括對一個時代的風格的評論，使您感到他評論的就是今天的事．”這里說的數(shù)學思想不僅是指數(shù)學知識本身概括總結出來的精華，就是通常所說的“知識的知識”，更指是數(shù)學家研究數(shù)學整體的思想性，是他們寫的書表達的思想性與時代氣息，是數(shù)學家群體或學派的哲學思想與研究風格．這些，當然是數(shù)學重要的基礎與精華．

2 強調基礎 重視創(chuàng)造 突出對探索精神培養(yǎng)的數(shù)學教育觀

數(shù)學教育觀是對數(shù)學教育整體的看法，是對數(shù)學教育的目的、地位、數(shù)學教學的規(guī)律與法則、數(shù)學教學方法、書本知識與實踐的關系等問題的深層次的思考，屬于數(shù)學教育哲學、數(shù)學教育學的范疇．齊民友的數(shù)學教育觀可以用“強調基礎，重視創(chuàng)造，突出對探索精神的培養(yǎng)”作出概括．

2.1 數(shù)學教育的目的有3個層次 特別突出了對探索精神的培養(yǎng)

齊民友提出數(shù)學教育的目的有3個層次：第一層次，是提供作為一個公民，想要參加任何一個行業(yè)工作必備的數(shù)學知識，即是作為當代人生活在社會中的必備數(shù)學訓練；第二層次，是為了適應經濟文化和科技的發(fā)展，數(shù)學作為進一步掌握某種知識的工具，其中包括升入高一級學校的準備；第三層次，數(shù)學作為一種文化，把數(shù)學教育作為提高人民文化素質的手段，數(shù)學在人們品質的形成上其作用是不可替代的（包括精神、思想、方法的培養(yǎng)），特別是在培養(yǎng)追求真理、熱愛科學、為崇高理想獻身的精神上的作用是巨大的．

齊民友的這些論述是非常深刻和全面的．他認為數(shù)學教育的目的，既包括知識層面的要求，又包括提高人的綜合素質上的要求，既有獲得作為一個當代社會的人所應該具備的數(shù)學知識，又包括追求真理、熱愛科學的精神的培養(yǎng)．特別是后者，是他反復強調應該重視的．他在《美國數(shù)學教育改革的一點聯(lián)想》一文中對這一點闡述得更詳細，在分析了美國數(shù)學教育現(xiàn)代化改革中，關于“新數(shù)學”運動的爭論的歷史后，聯(lián)系中國數(shù)學教育的實際，他指出：“美國數(shù)學教育改革很注意使之與科技經濟的進步相聯(lián)系，并使之對社會進步有推動作用，這一點很值得我們學習．但另一方面，爭論的雙方對于數(shù)學在人的素質的提高上都講得很少．這自然與教育思想的根本著眼點有關．美國教育一向強調‘實用’，使學生能在未來得到一個好的工作，并且勝任工作．中國教育方針則出發(fā)點在人，在培養(yǎng)合格的社會主義現(xiàn)代化的建設者和接班人，因此必須認真探討數(shù)學在形成青少年的素質上的作用．首先是通過數(shù)學教學和學生自己的創(chuàng)造活動培養(yǎng)熱愛科學，追求真理的精神．”“數(shù)學教育在形成人的素質上一個不可代替的作用是科學方法的培養(yǎng)．這是數(shù)學教育的一個不可代替的功能．”這里，他突出了數(shù)學教育在培養(yǎng)熱愛科學，追求真理的精神和科學方法涵養(yǎng)的功能．

從齊民友關于數(shù)學教育的目的的論述中，就可以看出他倡導的“強調基礎、重視創(chuàng)造、突出對精神的培養(yǎng)”的數(shù)學教育觀．必備的數(shù)學知識與必備訓練指的就是數(shù)學基礎知識與基本訓練，是基礎性的，必須反復強調；重視創(chuàng)造與培養(yǎng)精神，則是在教師的教學活動與學生自己從事創(chuàng)造的實踐中才能實現(xiàn)的．

2.2 要轉變觀念 認為基礎教育的數(shù)學教學方法“3個方面必須兼顧”

齊民友在多本著作中，有一個一直堅持的論點：深化數(shù)學教育改革就要轉變觀念，認為數(shù)學教學方法“3個方面必須兼顧”．

他在《世紀之交話數(shù)學》一書中用了整整一章，即第九章“根本在于教育”論述了數(shù)學教育問題，這中間用了較大篇幅談“轉變觀念”．他看到數(shù)學教學中實行題海戰(zhàn)術，偏題難題如潮水洶涌，各種補習班，各種家教，名目繁多，層出不窮，青少年的身心健康受到嚴重的傷害，很為痛心．認為改變這種現(xiàn)狀，首先必須轉變觀念．齊民友指出：“我們的教育的根本出發(fā)點與歸宿就是人，就是提高人的素質．所以，我們的教育只能是素質教育．”“確實要轉變不利于社會發(fā)展，不利于青少年成長的教育觀念．”如數(shù)學教育是面向所有的學生，而不是為了少數(shù)人；數(shù)學教育不能推向市場，而要按自己發(fā)展與學生認識的規(guī)律辦事；數(shù)學是科學的工具，同時也是一種文化，是提高人的素質的重要手段；應該處理好初、高中數(shù)學升學復習與深化數(shù)學教育改革的關系等等．要花極大的力量轉變舊的觀念，逐步樹立素質教育的新觀念．

關于基礎教育教學方法的研究，齊民友認為“3個方面必須兼顧”．第一，必須同時兼顧基礎訓練與學生認識規(guī)律．應該理直氣壯地同時又是合情合理地強調基礎訓練．數(shù)學中最基本的東西，該記的就要記，該背的就要背．沒有這個基礎，一切數(shù)學教育都根本無從談起．這中間真正要注意的是，一個要符合青少年的年齡特征，符合中國社會文化的情況；另一個是不能停留在這一步．第二，必須同時兼顧已經完成了的數(shù)學與正在創(chuàng)造中的數(shù)學的不同特征與要求．數(shù)學雖然有著嚴格的邏輯結構體系，但這是指完成了的數(shù)學，而正在創(chuàng)造之中的數(shù)學并不是這樣．數(shù)學教學應該實行啟發(fā)式，常常由特殊到一般，進行必要的歸納與類比，對可能的結果作初步猜測，而且不斷尋找并改正錯誤，可對已有的結果作由此及彼、由表及里的討論與改進，通過聯(lián)想進行比較、推廣等．“這種教學方法的核心是激起學生們的創(chuàng)造欲望，把解決數(shù)學問題作為一個創(chuàng)造過程，而學生們只有在創(chuàng)造的過程中才能提高自己創(chuàng)造的能力．”第三，必須同時兼顧數(shù)學知識與邏輯訓練的要求．僅僅有歸納、類比等是遠遠不夠的，應該在邏輯訓練方面有具體要求．對學生們的要求，至少在表述自己的結果時，必須符合邏輯的要求．要解決的是什么問題，解決這個問題時所給的條件是什么，最后的結果又是什么．關于這一點，齊民友在另一篇文章中指出：“我是主張在中學階段對學生進行適當?shù)臄?shù)學推理方法的訓練的，而且也認為它是體現(xiàn)了一種理性主義的精神，正是應該提倡的．”

關于數(shù)學競賽，齊民友很早就發(fā)表過很好的看法．他認為數(shù)學競賽面向的是少數(shù)對數(shù)學有濃厚興趣、基礎較好的青少年，而不是讓大多數(shù)學生去參加培訓，被動、強制地去學．對社會上把數(shù)學競賽成績與升初中、升高中掛鉤，他是不贊成的．1997年8月29日長江日報下午版報導了齊民友教授在“奧賽”表彰會上的講話，他當時就指出：“能在‘奧賽’這樣的全球性較量中獲獎，表明這些孩子的素質實有特殊之處．但同齡人中最終拿諾貝爾獎的，卻不是他們．因為一個成熟的科學家，必需具備多方面的素質．”“長期不重視‘奧賽’成績的美國，卻拿走了近年來的大部分諾貝爾獎，因為諾貝爾獎是一個國家綜合科技實力的反映．能在‘奧賽’上獲獎的畢竟只是個別學生，而一個國家綜合科技實力的提高，要靠全體國民的素質的積累．”齊民友以后多次發(fā)表這樣的看法，事實證明他的看法是正確的．

2.3 向大師們學教基礎課 注意基本思想和關鍵細節(jié)及結果前景的闡釋

關于大學數(shù)學課程教學，齊民友鮮明地提出“向大師們學教基礎課”的觀點．

2006年10月，在武漢大學召開的大學數(shù)學課程報告論壇上，齊民友應邀作了《向大師們學教基礎課》的報告．報告之前言的引語是物理學家費曼的經典語錄：“首先要弄清為什么要讓學生學這個主題，您想要學生知道些什么，而教的方法多多少少會來自常識．”在報告中，齊民友花了較大的篇幅，詳細地介紹了費曼通過實際推演與闡釋，探討萬有引力定律如何發(fā)現(xiàn)的，努力做到了真正關心學生，把物理學的精華交給學生．在報告的最后，專門講了一節(jié)“向大師們學習什么？”在這節(jié)中，他全面而深刻地闡述了自己“注意基本思想、關鍵細節(jié)及結果的前景的闡釋”的數(shù)學教育思想．

第一，既注意推導，更注意基本思想的介紹．齊民友指出：“教數(shù)學不可能沒有推導，但是，更要注意基本思想的介紹．要使得基本思想與具體推導緊密地結合起來．”很多情況下是教師自己沒有真正掌握基本思想，因此在授課中，具體的計算與思想的闡述互相分離．作為一個教師，應該讓學生理解、掌握與應用基本思想．如齊民友在《現(xiàn)代偏微分方程引論》引言中談到微局部分析這個偏微分方程的分支時，強調微局部分析就是一種觀點、一種思想、一種方法，它的出現(xiàn)使整個線性偏微分方程理論改變了面貌．第二，注意細節(jié)，尤其是注意關鍵細節(jié)．任何一門學問，必須是由細節(jié)構成的，其中關鍵細節(jié)是掌握概念、定理、法則等的核心，因此攻克關鍵細節(jié)是最為重要的．應該從始至終去尋求關鍵細節(jié)的解法．不應該看不起具體的推算，“正如一些數(shù)學家一再強調的，數(shù)學是‘算’懂的，而不是‘看’懂的”．推導、計算、解法等其實是解決數(shù)學問題的“手藝”，而掌握這種“手藝”，則需要長期艱苦的努力．第三，不僅是看到當前的結果，而且注意這些結果的前景．教微積分，就要注意它的發(fā)展與變化，從而我們的教學也隨之變化．齊民友指出，如果有朝一日微積分停止了發(fā)展，得到例如今天歐幾里得幾何那樣的地位，又一定會有新的東西取而代之，我們又得面對那一個蓬勃發(fā)展的新科學，還得不斷改變自己的教學與之適應．基礎課說難教就難教，難就難在這里．聯(lián)系前景進行教學，還應結合本人的實際，具體選擇，如有人重于分析，有人重于幾何，有人重于自己認為有前途的某些問題，只有充分發(fā)揮專長，才會奏效．

齊民友在自己漫長的教學生涯中就是努力這么去做的．文章作者之一曾是武漢大學數(shù)學系的學生，在20個世紀60年代初學的《數(shù)學分析補充》課（現(xiàn)在叫數(shù)學分析2），就是齊先生教的．記得是每周4節(jié)課，上一個學期，內容包括實數(shù)理論、極限理論、定積分理論、無窮級數(shù)收斂理論、隱函數(shù)理論等．齊先生講課的特點是講重點，講要害，語言簡練有力、引人入勝，生動中有嚴謹，比喻中有嚴格．聽齊先生的課你很快會著迷，再往下聽，感到回味無窮．他特別注重對數(shù)學思想的揭示，對關鍵之處思路的剖析與推演非常過細，要求非常嚴格，如實數(shù)的分劃，“”、“”語言，定積分的兩個任意（區(qū)間的任意分劃與點的任意選?。?，一致收斂的概念與性質等，一定要牢固掌握．他反復強調數(shù)學分析在數(shù)學中的基礎地位，掌握好這些內容將會終生受益．后來的歷史事實證明，真的是讓人終生受益．齊先生用自己上課的實踐，證明了他就是向大師們學教基礎課的最好范例．

2.4 提出“在創(chuàng)造中學會創(chuàng)造 創(chuàng)造性地去教與學”并重視對優(yōu)秀人才的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)鼓勵他們不斷探索與創(chuàng)新

“在創(chuàng)造中學會創(chuàng)造，創(chuàng)造性地去教與學”是齊民友的一貫主張．他在1989年就提出；“只有在創(chuàng)造的過程中才能學會創(chuàng)造．創(chuàng)造性地去教數(shù)學或學數(shù)學，與被動地、刻板地去教和學是完全不同的．”以后，多次提出并強化這個論點．1997年他在講到G·波利亞的數(shù)學思想時，說道：正如Ploya所說：解一個題目就是一種創(chuàng)造，解一個大一點的問題就是大的創(chuàng)造．只有在創(chuàng)造過程中才能學會創(chuàng)造，既然要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，又不去實際創(chuàng)造，這是不行的．他在多次報告中強調，應該給學生更多的時間和空間，讓他們去探索數(shù)學的奧秘，而不僅是接受有限的知識．他認為，教和學實質上都是一種再創(chuàng)造的過程，希望學生學會創(chuàng)造，可能最好的辦法就是看一下大師們是如何創(chuàng)造的，然后自己體驗、摸仿，終于自行創(chuàng)造．這就清晰地指出，教和學實質上都是一種再創(chuàng)造的過程，因此，應該讓學生通過自己體驗、摸仿、創(chuàng)造，在實踐中學會創(chuàng)造．

2009年齊民友在西南大學以《基礎課教學與創(chuàng)新精神》為題作的報告中，以日本數(shù)學家小平邦彥的教材為例，比較全面地闡述了他的“創(chuàng)造地教與學”的數(shù)學教育觀．齊民友指出：“應該從教學活動的內在特點來理解如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性．創(chuàng)造性不是‘教’出來的，而是在整個教與學的全過程中自然形成，或者說，熏陶而成的．”齊民友對創(chuàng)造的概念、性質、動力與過程都作了簡明的闡釋，他認為，創(chuàng)造性寧可說是一種心理素質，一種為人處事的態(tài)度或者習慣，是一種最為寶貴的素質．創(chuàng)造始于不滿足，始于否定，創(chuàng)造始于自信，創(chuàng)造始于腳下的每一步．創(chuàng)造成于從心所欲不逾矩．

小平邦彥如何創(chuàng)造性地做好基礎課教學的呢？齊民友仔細分析了小平邦彥教材的3個特點：其一，抓住了數(shù)學內容的不斷發(fā)展的實質，而不是把它看成固定不變的，不可逾越的，也不停留在形式推導的表面上；努力建立數(shù)學各個部分的發(fā)展和相互聯(lián)系，而不是把作為一個整體的數(shù)學過度地劃分為互不相關的“分支”；其二，提供了許多問題新的處理方法，使我們不會誤認為“數(shù)學（具體地說：微積分）”只能有我們熟悉的那一種理解，那一種講法；其三，體現(xiàn)了高度的個性，正如小平邦彥可以“反常人之道而行”，我們也可以“反小平邦彥之道而行”．沒有多樣性，就沒有創(chuàng)造性．應該鼓勵教師和學生走自己的路．總之，一方面要去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里達到對數(shù)學的規(guī)矩的認識，做到中規(guī)中矩，另一方面，可以根據(jù)自己的具體情況以及學術上的愛好、習慣、長處與短處等等來教好（或學好）一門課程，從中得到對于數(shù)學科學的真意的理解．綜合這兩個方面，就是前面說的“從心所欲不逾矩”．因此，齊民友認為，從這個意義上說，教與學都是一種“再創(chuàng)造”——從創(chuàng)造中學創(chuàng)造．

齊民友非常重視對少數(shù)優(yōu)秀人才的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)，他指出：“數(shù)學是為個人才能的發(fā)揮提供了最充分場所的學科之一．優(yōu)秀人才的出現(xiàn)對于數(shù)學的發(fā)展有著特殊的意義．”“要在中國發(fā)展數(shù)學科學，就必須特別重視優(yōu)秀人才及時的發(fā)現(xiàn)與培養(yǎng)．”他認為希望寄托在年輕一代身上，他積極引導學生們盡快進入科學前沿，鼓勵他們不斷探索與創(chuàng)新，始終把創(chuàng)造性與深刻性作為最重要的標準．2007年4月在武漢大學舉辦的“大學數(shù)學教育珞珈論壇”上，他就講道，“數(shù)學最重要的就是idea，我們應該讓學生往前走．教育保底，但是決不封頂．應該給學生更多的時間和空間，讓他們去探索數(shù)學的奧秘，而不是僅接受有限的知識”．

齊民友總是要求他的學生們注意科學發(fā)展的規(guī)律和趨勢，學習國際最新、最先進的理論，并與時俱進，迎頭趕上．作為數(shù)學家、博士生導師，齊民友對培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學人才傾注了全部的身心與精力，他先后指導碩士生、博士生、博士后數(shù)十人．在現(xiàn)代偏微分方程研究領域里，齊民友為國家培養(yǎng)出了一大批高級專門人才，如徐超江、陳化、王維克、李先清、汪更生、陳群、陳文藝、鄧引斌等，現(xiàn)在他們在不同的偏微分方程研究領域，已成為一批活躍在國際、國內學術舞臺上的數(shù)學家．他善于因材施教，重視“學術個性”的培養(yǎng)，盡量發(fā)揮他們的興趣與專長，并取得明顯的效果．如博士生陳建華喜歡研究數(shù)論，齊民友不光不去阻止他，而是為他提供指導與幫助，后來，陳建華在數(shù)論方面做出了很好的成績，現(xiàn)已成為密碼學領域有成就的專家，曾以第一完成人榮獲國家密碼科技進步一等獎．又如支持和鼓勵博士生王橋發(fā)展自己的研究興趣，去學習小波理論和信息論，現(xiàn)在，王橋已是東南大學無線電系教授，成為了一名通訊工程方面的優(yōu)秀專家．

從上論述，可以看到，齊民友的數(shù)學觀與數(shù)學教育觀有著開拓的視野、獨特的論點、豐富的內容與精辟的闡述，是數(shù)學哲學與數(shù)學教育領域的一筆寶貴財富，值得研究者們進一步去學習、探討與研究．

[1] 齊民友．數(shù)學與文化[M]．長沙：湖南教育出版社，1991．

[2] 齊民友．世紀之交話數(shù)學[M]．武漢：湖北教育出版社，2000．

[3] 齊民友．重溫微積分[M]．北京：高等教育出版社，2004．

[4] 齊民友．數(shù)學基礎課是通向數(shù)學主流的門戶[J]．高等數(shù)學研究，2009，（1）：7-8，10．

[5] F·克萊因．數(shù)學在19世紀的發(fā)展（第一卷）[M]．齊民友譯．北京：高等教育出版社，2010．

[6] 齊民友．美國數(shù)學教育改革的一點聯(lián)想[J]．武漢教育學院學報，1997，（增刊）：7-8．

[7] 齊民友．從徐光啟的兩篇短文談起[J]．數(shù)學通報，1999，（12）：5-6．

[8] 齊民友教授表彰會上說“奧賽”獲獎理當祝賀，目的須弄正確[N]．長江日報，2007-8-29，下午版（1）．

[9] 齊民友．向大師們學教基礎課[A]．大學數(shù)學課程報告論壇論文集[C]．北京：高等教育出版社，2007．

[10] 齊民友，徐超江，王維克．現(xiàn)代偏微分方程引論[M]．武漢：武漢大學出版社，1994．

[11] 鄭隆炘．形象·靈感·審美與數(shù)學創(chuàng)造[M]．武漢：湖北教育出版社，1990．

[12] 轉引http://blog.sina.com.cn/s/blog_54a2cbcf0100fz31.html

附注此文寫完后，曾通過郵箱發(fā)給齊先生，齊先生回了信．現(xiàn)按先生的要求把他的意見附在文后：“謝謝您的好意寫了這一篇文章．我沒有打算再“補正”什么了，因為作這樣的補正、就無異于承認我真有什么值得別人去寫的‘思想’．‘思想’（包括‘數(shù)學思想’）是大字眼．夠格讓人說有什么思想的人不多，我肯定不在其列．如果在我和師友的涉及數(shù)學的交往中，能夠使人去思考有關數(shù)學的問題或‘思想’，這既是我作為教師的職責所在，也是我的愿望．我唯一能夠借此機會向大家提的建議，是去讀一下真正有資格談得上思想的人的著作，或者聽一下他們的教課，甚至更密切的接觸，只不過這樣的機會不是太多．如果您這篇文章真要發(fā)表的話，請把這封信的意思加進去．祝春節(jié)愉快．齊民友，2013年01月22日 08:52”

[責任編校：周學智]

On QI Min-you’s View of Mathematics and Mathematics Education

ZHENG Long-xin, BA Ying

(Department of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Hubei Wuhan 430056, China)

QI Min-you is a famous mathematician and mathematics educators. He has expounded his profound and original opinions on some important issues in the field of mathematics and mathematics education. Based on the study of these opinions, this article summarizes Qi Min-you’s view of mathematics with science, philosophy and rational spirit, as well as his view of mathematics education which follows these principles: strengthen the foundation, emphasize on creativity, focus on exploration spirit cultivation.

QI Min-you; view of mathematics; view of mathematics education; rational spirit

G40-09

A

1004–9894（2014）04–0007–06

2014–03–05

鄭隆炘（1941—），男，安徽旌德人，教授，主要從事微分方程穩(wěn)定性理論、數(shù)學方法論與數(shù)學教育的研究．