利用Excel講解參數估計中的區間估計

盧方芳

（湖北文理學院 數計學院，湖北 襄陽 441053）

理工科專業均開設概率與統計作為公共必修課，要求是掌握關于原理的證明還有模型的構造過程。 根據二類本科院校的實際情況， 應該進行適當的應用性教學， 而不是按照原來的要求，掌握邏輯證明過程。

在完成概率論部分及統計基本概念的教學后，就進入參數估計。在本校使用的教材中主要是點估計和區間估計兩種，中間還有點估計的評判標準[1]。 點估計一般課本中介紹兩種方法：矩估計和極大似然估計。 這兩種方法需要進行積分、級數和求導，Excel 不能解決這類問題，所以這部分仍然需要運用高等數學的知識進行理解和解答。本文主要是利用Excel 中的函數簡化區間估計的計算過程。

正態總體有兩個參數，均值μ 和方差σ2。

1 正態總體均值的區間估計

總體X～N（μ，σ2），均值的估計有兩種情況，（1）σ2已知，均值μ 置信度1-α 的置信區間為σ2未知，均值μ 置信度1-α 的置信區間為其中為樣本均值，s 為樣本標準差，n 為樣本容量為標準正態分布的分位數為自由度為n-1 的T 分布的分位數。

來自正態總體的樣本為x1，x2，…xn在數理統計的基本概念中關于樣本均值、 樣本方差的計算還有分位數的查找都已進行了說明，但是如果樣本容量較大的話計算比較麻煩。 在理解原理的基礎上，利用軟件計算可以簡化過程，減少學生學習的抵觸情緒。

大部分實際情況下σ2都是未知的，主要介紹這部分。

例：設某種磚頭的抗壓強度X～N（μ，σ2），今隨機抽取20 塊磚頭，測得數據（單位：kg·cm-2）如下:64，69，49，92，55，97，41，84，88，99，84，66，100，98，72，74，87，84，48，81。 求μ 置信度為的95%置信區間，α=0.05。

分析：首先需要計算樣本均值xˉ和樣本標準差s，在Excel 中輸入20 個數據，利用統計函數AVERAGE，STDEV[2]計算出xˉ=76.6，s=18.14 097。 然后根據函數TINV（α，n-1）得出本題的分位數t0.025（19）=2.093 024，再就是按照區間估計的公式計算相應的結果。 利用計算公式76.6-2.093 024*18.140 97/SQRT（20），算出置信區間的下限為68.109 77， 將上面公式里的減號改成加號得到上限85.090 23， 所以μ 置信度為95%的置信區間是（68.11，85.09）。

如果是σ2已知的情況，就不用計算樣本標準差，使用標準正態分布的分位數，使用的函數為NORMSINV（α/2）。 當樣本容量大于46 時，T 分布近似于標準正態分布，也就是說這個時候公式里的T 分布分位數由標準正態分布的分位數代替。

2 正態總體方差σ2 的區間估計

總體X～N（μ，σ2），對于方差σ2的估計，一般理工科課本都只涉及到μ 未知的情況，已知方差σ2置信度1-α 的置信區間為其中分別是自由度為n-1 的χ2分布的分位數。

使用1 中例題的數據，計算σ2置信度為95%的置信區間，α=0.05。

分析：按照公式，需要計算樣本方差，也就是樣本標準差的平方，這部分已經計算得s2=329.094 7。 再就是需要χ2分布的兩個分位數，利用函數CHIINV（，自 由 度），得 出（19）=32.852 33，χ20.975（19）=8.906 517。再利用計算公式得出置信區間下限190.330 5，上限702.047 8，所以σ2置信度為95%的置信區間是（190.330 5，702.047 8）。 如果是要σ 的置信區間，只需要將上限下限開方就可以。

統計學部分的公式其實比較容易理解，但是通常計算起來比較麻煩，利用軟件計算，可以簡化過程，省掉大量的計算時間，那么就可以在課堂上增加更多的知識點， 或者給出更為實際的例題給學生練習，提高學生的學習興趣。 數理統計對大部分的理工科專業來說是一種工具，如果學習過于枯燥，會降低學生學習的積極性，這樣也不利于后面知識的掌握。 課堂中使用Excel 教學，也可以提高學生的應用能力。 對于數學專業的學生，需要學習的內容會更多，計算量也會更大，使用軟件同樣可以提高學習的效率，而不會使他們覺得統計學就是不停地簡單計算，一點實用性都沒有。

[1]韓旭里，謝永欽．概率論與數理統計[M].復旦大學出版社，2010.

[2]李朋編.Excel 統計分析實例精講[M].科學出版社，2006.