Lagrange中值定理在伏安法測電阻實驗數據中的應用

豆銓煜，王勵冰，宋 瑩

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

0 引言

拉格朗日中值定理則是微分中值定理的核心，在導數應用中起著橋梁作用，揭示了函數整體與局部的關系，是研究函數變化的紐帶。本文主要討論Lagrange中值定理在伏安法測電阻的實驗數據中的應用，文獻［1］采用平均值方法，為了體現微分中值定理方法的精確度，本文又利用Matlab描點法繪出原始數據的U－I曲線，通過比較得出Lagrange中值定理方法具有較小的誤差，即Lagrange中值定理方法在處理數據時具有較高的精度。

引理 1(Lagrange 中值定理［2］［3］):若 f(x)在［a，b］上連續，在 (a，b)內可導，則至少存在一點 ξ∈(a，b)，使得

1 伏安法測電阻概述

伏安法測電阻的具體實驗方法和實驗內容詳見文獻［1］，其中所測電阻的阻值R≈10KΩ，通過實驗測得數據如表:

表1 實驗所測電阻兩端的電壓值和電流值

對于此實驗的數據處理，文獻［1］采用了平均值方法對實驗數據進行了處理.具體方法是根據所測的電壓U和電流I，利用公式，算出每次實驗對應的電阻值，再對這些電阻值求平均值，所得值即為所測電阻阻值R1。

為了體現微分中值定理方法的精確度，本文采用Matlab描點法，根據電壓和電流的數據描出U－I散點圖，因為所測電阻為一個恒定電阻，故大部分散點會落在一條直線上，在圖中繪出這條直線并求出直線斜率即為所求電阻值。然后利用求得三種方法對應的誤差度σ，比較它們的誤差i度，可以看出各自的精確性。

2 Lagrange中值定理應用

2.1 平均值方法

根據表(1)中的數據計算出相應的電阻值，如表2所示:

表2 實驗數據和計算的電阻值

由上表第三行的電阻值，可計算出電阻平均值為9470.58，故該電阻R1=9.47KΩ。此方法的誤差度為

2.2 微分中值定理方法

(1)計算實驗測得值的平均值。具體的數據結果如圖2所示，利用Excel中的(A2:A11)和(B2:B11)分別計算出“電壓計算用值”一列

(C2==AVERAGE(A2:A3)，其中C3～C10采用Excel公式拖拽功能即可)

和“電流計算用值”一列(D2==AVERAGE(B2:B3)，其中D3～D10采用Excel公式拖拽功能即可)。

(2)計算U－I曲線斜率。利用微分中值定理計算U－I曲線在“電壓計算用值”和“電流計算用值”下的斜率，即，E～E采用Excel公式拖拽功能即可)。39

(3)計算斜率的平均值和誤差度。計算U－I曲線斜率的平均值9958.4125，故所測電阻值R2=9.958KΩ.此方法的誤差度為

數據結果在Excel中的截圖如圖2所示:

圖2 Excel中的截圖

2.3 Matlab 描點法

利用Matlab描點作圖3如下:

圖3 Matlab繪制的U－I曲線

利用Matlab所測得直線斜率為0.0099，即所測電阻的電阻R1=9.9KΩ.此方法計算的誤差度為

由σ2＜σ3＜σ1可知，利用Matlab描點法和求平均值法誤差稍大，而Lagrange中值定理方法處理數據誤差度較小，因此在誤差允許范圍內，Lagrange中值定理方法具有較高的精度.Lagrange中值定理方法和平均值方法實質是對斜率進行了不同的處理，因此在研究處理斜率的問題時，可以考慮利用Lagrange中值定理方法，它具有一定的理論意義和實踐價值。

［1］常加忠，吳定允.大學物理實驗［M］.石家莊:河北教育出版社，2006:161－168.

［2］華東師范大學數學系.數學分析:上冊［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001:119－135.

［3］歐陽光中，朱學炎.復旦大學數學系.數學分析:上冊［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007:184－225.