軸對稱橫觀各向同性飽和土中單樁豎向振動的簡化模型求解

高洪波

(信陽師范學院土木工程學院，河南 信陽 464000)

引 言

樁基在許多工程領域有著廣泛的應用。由于樁基承受地震激勵、風荷載等動態激勵的作用，對于樁基在動態荷載作用下力學特性的研究就顯得十分重要，不少學者相繼對樁基的振動特性進行了研究。目前針對均質單相土介質和均質飽和土中樁基振動問題已有不少的研究，Nogami T等將土層視為均質黏彈性介質研究了樁-土之間的豎向動力相互作用[1,2]，并在時域內研究了單樁的軸向動態響應；Novak M等對線黏彈性土層中樁基的水平振動進行了研究[3]；Militano G等在考慮瞬態扭轉和軸向力的作用下[4]，研究了層狀土體中樁基的動態響應問題；李強等和Wang JH等基于Biot飽和土理論[5，6]，分別對飽和土中單樁和群樁的縱向振動特性進行了研究；Orlando M等提出了兩相飽和土中群樁的三維有限元模型[7]，并對飽和土中群樁的振動特性進行了研究；張智卿等研究了三維飽和土中端承樁的扭轉耦合振動問題[8]。

天然土體由于其粘土顆粒及其組構單元排列造成了土體的各向異性，土體在沉積過程中，由于扁平介質顆粒排列的取向性，土體豎向和水平向的性質存在著差異，往往會形成層狀結構的粘土層，相互交錯的薄層礦物成分及物理力學性質各不相同，橫觀各向同性力學模型比較符合天然土體的這一特性[9]。因此，為了較為合理準確地研究天然土體中樁基的動態特性，需要考慮土體的橫觀各向同性效應。然而，針對橫觀各向同性飽和土中樁基振動問題的研究較少，張智卿等利用Biot飽和土理論描述土體的力學特性[10]，對軸對稱橫觀各向同性土體中樁基的扭轉振動進行了初步研究。由于當樁-土體系作豎向振動時，飽和土層固相骨架的徑向位移和環向位移相對較小[1]，參照單相土-樁的研究假定，這里忽略土體徑向位移和環向位移的影響。本文借助飽和多孔介質理論研究橫觀各向同性飽和土中單樁的豎向振動問題。

1 橫觀各向同性飽和土層豎向振動簡化模型及控制方程

樁周土視為橫觀各向同性飽和土，忽略流相和固相間的質量及能量交換，則飽和土的流固混合物動量方程，孔隙流體動量方程及體積分數方程可分別表示為[11,12]

(1)

TS=-nSpI+TSE,TF=-nFpI+TLE,pF=-pS=pgradnF+pLE

(2)

式中TSE,TLE為固相土骨架和液相的有效應力張量，pLE為額外數量，p為飽和土的有效孔隙水壓力。通常假設TLE=0，體積分數nS和nF滿足平衡方程nS+nF=1。

對于橫觀各向同性介質，其應力應變關系為[13]

σr=C11εr+C12εθ+C13εz

(3)

σθ=C12εr+C11εθ+C13εz

(4)

σz=C13εr+C13εθ+C33εz

(5)

τθz=C44γθz，τrz=C44γrz，τrθ=C66γrθ

(6)

(7)

同時，額外數量pLE滿足

(8)

式中sν為耦合系數, 它描述固相和液相的耦合作用。

由式(1)～(8)可得橫觀各向同性飽和土層的豎向振動控制方程為

(9)

(10)

(11)

2 橫觀各向同性飽和土層豎向振動的求解

在樁頂簡諧荷載的作用下，樁-土作簡諧振動，由于方程左右兩邊都存在eiωt項，在以后的計算中去掉eiωt項，由式(9)～(11)得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

考慮到無窮遠處應力和位移為零的條件，可知B=0。由飽和土體表面應力為零得D=0。由此可得

(20)

(21)

對方程(20)，(21)兩邊積分，并考慮土層水平方向無窮遠處位移為零，得

(22)

(23)

由式(13)，(14)求得

(24)

綜上所述，可以將位移和剪應力寫成級數的形式

(25)

(26)

3 樁的豎向振動求解

考慮式(26)，很容易建立無量綱化的橫觀各向同性飽和土中單樁的豎向振動控制方程為

(27)

(28)

E1,E2為待定系數，可由樁端的邊界條件求得。設樁端的邊界條件為

(29)

由此可得

(30)

假設樁土完全接觸，則接觸面處樁基和土體的位移相等，則有

(31)

利用三角函數的正交性

(32)

可得

則非齊次方程(27)的解為

(33)

由樁的豎向位移可以求出樁身任一點的分布力，進而可以得到樁頂位移頻率響應函數為

(34)

由樁頂復剛度的定義可得樁的復剛度為

(35)

4 數值算例與討論

圖1 各向異性參數δ對樁頂復剛度的影響

圖2 長徑比對樁頂復剛度的影響

圖3 模量比對樁頂復剛度的影響

5 結束語

為了考慮橫觀各向同性效應對飽和土體中單樁豎向振動的影響，將樁周土體視為橫觀各向同性介質，針對橫觀各向同性飽和土中單樁的豎向振動問題進行了研究分析，得到的結論主要有：1)橫觀各向同性參數對樁頂豎向復剛度的影響較為復雜，在低頻和高頻時對動剛度的影響存在差異，在低頻時各向同性參數對動剛度幾乎沒有影響，在高頻時各向同性參數越大，動剛度越小；而動阻尼隨著各向同性參數的增大則減小；2)長徑比的大小對樁基的振動影響規律不一樣，當長徑比小于臨界長度時，長徑比對樁基振動有較大的影響，而當長徑比超過臨界長度時，由于長徑比較大，樁基抵抗共振的能力較強，所以長徑比較大時對樁基振動影響不大；3)由于土體的橫觀各向同性對飽和土中單樁的豎向振動有影響，所以，對于天然地基中樁基的抗震設計和檢測，應盡量考慮土體的各向異性對樁振動特性的影響。

[1] Nogami T, Novak M. Soil-pile interaction in vertical vibration[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976, 4(3): 277—293.

[2] Nogami T, Konagai K. Time domain axial response of dynamically loaded single piles[J]. Journal Engineering Mechanics, 1986, 12(11):1 241—1 252.

[3] Novak M, Nogami T. Soil-pile interaction in horizontal vibration [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2006, 5(3): 263—281.

[4] Militano G,Rajapakse R K N D. Dynamic response of a pile in a multilayered soil to transient torsional and axial loading[J].Geotechnique, 1999, 49(1): 91—109.

[5] 李強,王奎華,謝康和,飽和土中端承樁縱向振動特性研究[J].力學學報,2004, 36(4):435—442.Li Qing, Wang Kuihua, Xie Kanghe. Vertical vibration of an end bearing pile embedded in saturated soil [J]. Acta Mechanical Sinica,2004, 36(4):435—442.

[6] Wang J H, Zhou X L, Lu J F. Dynamic response of pile groups embedded in a poroelastic medium [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2003, 23(3): 235—242.

[7] Orlando Maeso, Juan J Aznarez, Fidel Grcia. Dyanmic impedances of piles and groups of piles in saturated soils [J]. Computer & Structures, 2005, 83(10/11): 769—782.

[8] 張智卿,王奎華,謝康和. 飽和土層中樁的扭轉振動響應分析[J].浙江大學學報(工學版),2006, 40(7): 1 211—1 218.Zhang Zhiqing, Wang Kuihua, Xie Kanghe. Study on torsional vibration of pile embedded in saturated soil[J].Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2006,40(7): 1 211—1 218.

[9] 蔡袁強, 占宏, 鄭灶峰, 等. 橫觀各向同性飽和土體振動分析[J]. 巖土力學,2005,26(12):1 917—1 920.Cai Yuanqiang,Zhang Hong, Zheng Zaofeng, et al. Vibration analysis of transversely isotropic saturated soils[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(12):1 917—1 920.

[10] 張智卿,王奎華,靳建明. 軸對稱橫觀各向同性土體中樁的扭轉振動響應研究[J]. 振動工程學報,2011, 24(1):60—66.Zhang Zhiqing,Wang Kuihua,Jin Jianming. Torsional vibration of pile embedded in axisymmetric transversely isotropic soil[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(1):60—66.

[11] R de Boer, Ehlers W, Liu Z. One-dimensional transient wave propagation in fluid-saturated incompressible porous media[J]. Archive of Applied Mechanics,1993, 63(1): 59—72.

[12] 楊驍,張燕.一維流體飽和粘彈性多孔介質層的動力響應[J].力學季刊,2005, 26(1):44—52.Yang Xiao,Zhang Yan.Dynamical response of one dimension liquid saturated viscoelastic porous medium layer[J]. Chinese Quarterly Mechanics, 2005, 26(1): 44—52.

[13] 黃小崗,黃義. 橫觀各向同性飽和層狀地基的三維穩態動力響應[J].工程力學,2006, 23(5):132—138.Huang Xiaogang, Huang Yi. 3-D dynamic response of transversely isotropic saturated layered soils to an arbitrary harmonious source[J]. Engineering Mechanics,2006, 23(5): 132—138.

[14] 段靚靚,梁鍇,方理剛.巖石各向橫觀同性參數試驗研究[J].土工基礎,2008, 22(3):80—85.Duan Liangling, Liang Kai, Fang Ligang. Test research for transverse isotropy parameter of rock[J].Soil Engr. and Foundation, 2008, 22(3):80—85.