層狀彈性場地基巖斜入射地震動二維反演

梁建文, 張愛娟, 何 穎

(1.天津大學土木工程系， 天津 300072； 2.天津市土木工程結構及新材料重點實驗室， 天津 300072；3.天津大學仁愛學院， 天津 301636)

引 言

基巖地震動求解是進行場地地震響應和結構抗震計算的必要步驟，基巖地震動反演是由場地參數和地表地震記錄推求基巖輸入運動。20世紀80年代初胡聿賢、謝君斐等就開展了基巖地震動非線性反演的研究[1，2]。陳厚群等通過自由場地表運動的反演分析和正演計算[3]，確定壩址河谷自由場地震運動。蔡袁強等采用非線性土層平穩隨機地震反應分析的等價線性化方法反演分析了非線性成層地基基巖的地震動[4]。陳清軍和劉拓對地震波反演的波動法和有限元法進行了比較[5]，并對頻率截斷問題進行了探討。

值得指出的是，上述基巖地震動反演均是僅根據地表水平地震動加速度記錄來推求基巖面水平地震動，是一維反演問題；而實際上，地表某點的水平加速度記錄只是該地表點地震記錄的一個方向，在該點同時還有豎向加速度記錄和另外一條水平加速度記錄，或者說該地表點的實際地面運動是三維的；雖然地震記錄通常均是以三個正交方向的地震動來表示，但三個方向的地震動自基巖到地表的傳播過程中卻是耦合的，或者說，斜入射的波自基巖向地表傳播過程中，每遇到一個土層界面均存在波型轉換，因此可以設想，僅根據地表水平加速度記錄來推求該方向的基巖面水平地震動無疑存在一定的誤差。

不失一般性，以二維反演問題為例，本文提出了層狀彈性場地基巖斜入射地震動反演的一個方法，方法根據地表一點的水平和豎向的兩個加速度記錄，進行基巖輸入地震動和入射角的反演，并以剪切波斜入射為例對方法進行了驗證。最后對文獻中一維反演的誤差進行了分析。

1 斜入射地震動反演方法

圖1所示層狀彈性半空間場地，由基巖半空間和其上的N個土層組成。本文的目的是根據地面水平加速度記錄uL和豎直加速度記錄wL來反演基巖斜入射地震動aSV和斜入射角φ。圖中，uR和wR分別表示基巖面運動，uR0和wR0則分別表示基巖露頭運動。

圖1 斜入射地震動二維反演模型

利用土層動力剛度矩陣和半空間動力剛度矩陣[6]，第m(m=1,2,…,N)個土層和基巖半空間在頻域內的動力平衡方程可以分別寫為

(1)

(2)

將各土層和半空間的動力剛度矩陣集整，得到場地的動力剛度矩陣K，自由場的動力平衡方程可寫為

(3)

上式兩邊同時左乘K的逆矩陣(柔度矩陣)Δ，得到

(4)

式中 矩陣Δ只與場地動力特性和波入射角度φ有關，右邊位移向量中的U1，W1可由地表加速度記錄uL和wL的Fourier變換并積分求得。

式(4)展開后得

(5)

方程兩邊分別相除，并將等號右邊項左移，可得如下方程

(6)

反演的目的在于求解基巖入射地震動和入射角，使得地表加速度時程響應等于地表加速度記錄。由于場地動力特性已知，則式(6)為僅含未知量φ的方程，最優求解即可得到基巖入射角φ，進而求得基巖斜入射地震動。

2 斜入射地震動二維反演步驟

以基巖半空間上N個土層場地為例進行反演分析，其主要步驟如下。

(2)求解方程(6)，得出地震波入射角φ。求解的關鍵在于尋找一個合適的角φ，在所有頻率上滿足式(6)，可采用最小二乘法最優尋解。即考慮M個頻率點的殘差均方根

(7)

求取使e取得最小值的角度值φ作為方程的解。值得指出的是，當入射角為0°時方程(6)無意義，自然也無需最優尋解。

(3)將求得的入射角φ代入整體柔度矩陣Δ，求解方程組(5)得到半空間荷載幅值P0和R0。

(5)頻域內基巖處入射波由下式可得

(8)

3 方法驗證與算例分析

首先，通過模擬產生地表水平和豎向加速度記錄。在層狀彈性場地(場地土參數資料見表1)基巖處斜入射幅值為0.1g的El Centro波(圖2)，斜入射角分別為0°，5°，10°，15°，20°，25°，30°，35°和40°，求得地表水平和豎向加速度響應作為地表水平加速度記錄和豎向加速度記錄，圖3給出了斜入射角φ=0°，10°，20°，30°和40°情況下地表水平加速度記錄uL和豎向加速度記錄wL。

圖2 輸入地震波加速度時程

3.1 基巖斜入射地震動二維反演

圖4給出了基巖斜入射地震動時程二維反演結果和入射角最優尋解結果。值得指出的是，對于入射角為0°的情況，入射角無需最優尋解，僅憑地表無豎向運動即可判斷地震波的入射角度(圖4(a))。可以看出，在不同(斜入射角情況)地表水平加速度記錄和豎向加速度記錄情況下(圖4(b))，均可以準確反演出基巖斜入射地震動的入射角和時程。說明本文方法是正確的，計算精度是非常高的。

表1 場地基本資料

3.2 基巖垂直入射地震動(一維)反演

圖5給出了入射角為0°，10°，20°，30°和40°情況下，一維反演得到的基巖面運動和基巖露頭運動分別與實際基巖面運動和基巖露頭運動的比較，表2和3則分別給出了入射角為0°，5°，10°，15°，20°，25°，30°，35°和40°情況下，基巖面運動和基巖露頭運動時程的峰值及峰值出現時刻的反演值和實際值的比較。可以看出，斜入射角φ=0°時，反演的基巖面運動和基巖露頭運動與實際基巖面運動和基巖露頭運動完全重合；隨著斜入射角的增大，差別(誤差)逐漸增大。可以看出，當入射角φ=25°時，基巖面運動反演誤差為9.71%，基巖露頭運動反演誤差為7.35%，而φ>25°時誤差將顯著增加。原因在于，雖然地震記錄均采用相互正交的地震動來表示，但斜入射地震動自基巖到地表的傳播過程中卻是耦合的，每遇到一個土層界面均存在波型轉換，因此，僅根據地表一條水平加速度記錄來推求該方向的基巖面水平運動必然存在一定的誤差，且該誤差隨著實際地震動斜入射角的增大而增大，誤差的本質在于忽略了豎向地震動的影響。由于實際地震動無疑是三維的，或者說豎向地震動不可忽視(有時豎向地震加速度峰值甚至大于水平地震加速度峰值)，因此，文獻中的一維反演可能存在較大的誤差，值得重視。

為了進一步說明誤差的影響，圖6分別給出了入射角為0°，10°，20°，30°和40°情況下，基巖面運動反應譜和基巖露頭運動反應譜分別與實際基巖面運動反應譜和基巖露頭運動反應譜的比較。可以看出，當入射角φ≥30°時，基巖面運動反應譜和基巖露頭運動反應譜均與實際相差已非常明顯，此時采用一維反演將造成較大的誤差。

圖3 模擬的地表水平和豎向加速度記錄

圖4 基巖斜入射地震動二維反演結果

圖5 一維反演的基巖面水平運動和基巖露頭運動(左圖)與實際二維基巖面水平運動uR和基巖露頭水平運動uR0(右圖)的比較

表2 基巖面運動水平加速度時程反演誤差

表3 基巖露頭運動水平加速度時程反演誤差

圖6 按垂直入射(一維)反演加速度反應譜對比圖

4 結 論

本文提出了層狀彈性場地基巖斜入射地震動二維反演的一個方法，方法利用半空間和土層的精確動力剛度矩陣，根據地表某一點的水平和豎向的兩個地震加速度記錄，進行基巖斜入射地震動和入射角的反演，并以SV波斜入射為例對方法進行了驗證。研究表明，根據水平和豎向兩個地震加速度記錄可以準確進行基巖地震加速度時程和入射角的反演。論文并分析指出了文獻中一維反演存在的誤差及出現誤差的原因。

參考文獻:

[1] 胡聿賢，朱鏡清，朱莉,等.頻域中的結構振動輸入反演[J].地震工程與工程振動,1981,1(1):41—53.Hu Yuxian, Zhu Jingqing, Zhu Li, et al. Identification of input to vibrational structure in frequency domain[J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1981,1(1):41—53.

[2] 謝君斐,石兆吉.地面運動的反演及其在震害分析中的應用[J].地震工程與工程振動,1981,1(2):9—24.Xie Junfei, Shi Zhaoji. The inverse calculation of ground motion with application to earthquake damage analysis[J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1981,1(2):9—24.

[3] 陳厚群,侯順載，王均.拱壩自由場地震輸入和反應[J].地震工程與工程振動,1990,10(2):53—64.Chen Houqun, Hou Shunzai, Wang Jun. Earthquake input and free-field motion response of arch dams[J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1990,10(2):53—64.

[4] 蔡袁強，凌道盛，周迪永,等.非線性分層地基地面運動反演分析[J].振動工程學報,2000,13(3):426—432.Cai Yuanqiang, Ling Daosheng, Zhou Diyong, et al. Inverse calculational analysis of ground motion in non-linear layered soil[J]. Journal of Vibration Engineering, 2000,13(3):426—432.

[5] 陳清軍，劉拓.地震波反演兩種計算方法比較與頻率截斷問題的探討[J].力學季刊，2010,31(3):388—394.Chen Qingjun, Liu Tuo. Comparison of two methods of ground motion inversion and discussion on question of freqnency cut-off[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2010,31(3):388—394.

[6] Wolf J P. Dynamic Soil-structure Interaction[M]. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1985.