周向?qū)Рㄔ诓煌B續(xù)性條件多層圓筒中的傳播

張慧玲， 何 斌， 宋林輝， 尹曉春

(1.南京工業(yè)大學(xué)力學(xué)部，江蘇 南京 211816；2.南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210094)

引 言

多層厚壁圓筒結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)使用環(huán)境和使用功能的要求，對(duì)各層材料和結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，滿足耐壓、耐磨、耐高溫、耐腐蝕等高性能要求，同時(shí)又可以節(jié)省高品質(zhì)材料和制造費(fèi)用。因此，多層圓筒是常用的一類工程結(jié)構(gòu)件，在核反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)中的腐蝕監(jiān)測(cè)、水下設(shè)備，智能結(jié)構(gòu)，薄涂層結(jié)構(gòu)和生物結(jié)構(gòu)模擬等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1～6]。多層圓筒的疲勞裂紋往往萌生于層間界面。由于它具有曲面邊界形式，波的反射特性復(fù)雜，導(dǎo)致“超聲-回響”等傳統(tǒng)的裂紋和缺陷的超聲檢測(cè)方法不能有效地進(jìn)行檢測(cè)。因此，需要提出新的有效的無損檢測(cè)手段，避免裂紋擴(kuò)展造成嚴(yán)重的后果。

超聲導(dǎo)波是一種替代方法，它可以沿著層的方向傳播，并在層厚方向形成駐波，具有較遠(yuǎn)距離、實(shí)時(shí)檢測(cè)、充分利用結(jié)構(gòu)幾何特性的優(yōu)勢(shì)。目前梁、板等結(jié)構(gòu)中導(dǎo)向波的傳播已經(jīng)得到廣泛研究[7]，單層圓筒類結(jié)構(gòu)中軸向?qū)Рǖ膫鞑ヒ惨驯谎芯縖8]。Qu等也研究了圓環(huán)、軸筒結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)單筒體類結(jié)構(gòu)中周向?qū)Рǖ膫鞑9,10]。考慮到層間界面缺陷，本人已經(jīng)研究了雙層碳納米管和雙層圓筒等雙層圓筒結(jié)構(gòu)中的周向?qū)Р▊鞑11,12]。然而，多層圓筒結(jié)構(gòu)的使用工況，更容易造成層間界面處萌生徑向裂紋。從外層表面激發(fā)的的非軸對(duì)稱型的周向?qū)Рǎ梢栽谀承┘?lì)頻率下，使若干特定的波模態(tài)，在層間界面附近集中能量，從而能夠檢測(cè)出清晰的波群信號(hào)(反映波的能量傳播特征)。因此，有必要仔細(xì)研究多層厚壁圓筒的周向?qū)Рú▓?chǎng)的物理特性。本文研究了不同連續(xù)性條件的多層厚壁圓筒結(jié)構(gòu)中周向?qū)Рǖ膫鞑ヌ匦裕疾炝瞬煌B續(xù)性條件對(duì)頻散曲線和位移曲線的影響，為多層圓筒結(jié)構(gòu)中，采用周向?qū)Рǖ臒o損檢測(cè)方法來檢測(cè)界面特性，提供理論依據(jù)。

1 周向?qū)Р▎栴}的理論推導(dǎo)

不考慮體力時(shí)，第i層筒的位移運(yùn)動(dòng)方程為[13]

(1)

式中ui為第i層筒的位移矢量，Vi表示該層筒結(jié)構(gòu)占有的空間區(qū)域，cLi和cTi分別是第i層筒的縱波波速和剪切波波速, 兩波速依賴于第i層筒的材料質(zhì)量密度ρi、Lamé常數(shù)λi和μi。第i層筒的邊界條件為

=Fi在Si上

(2)

式中Si表示Vi的邊界，n為邊界上的外法線單位應(yīng)力，▽ui表示位移梯度，T表示轉(zhuǎn)置。

圖1 多層圓筒結(jié)構(gòu)橫截面示意圖

由矢量的Helmholtz分解，第i層筒的位移矢量場(chǎng)ui可分解為包含集散波標(biāo)量勢(shì)φi和等容波矢量勢(shì)ψi的表達(dá)式

ui=▽?duì)読+▽×ψi

(3)

式中 勢(shì)函數(shù)φi和ψi滿足如下波動(dòng)方程

(4a)

(4b)

在平面運(yùn)動(dòng)中，矢量勢(shì)ψi的只有z方向的分量，即

(4c)

采用分離變量法，可得

φi=fi(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(5a)

ψZi=gi(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(5b)

式中

(6a)

(6b)

式中Jn(x)和Yn(x)分別為n階第1類和第2類Bessel函數(shù)。

采用極坐標(biāo)系，第i層筒的位移分量為

(7a)

(7b)

由線彈性材料的Hooke定律，第i層筒的應(yīng)力分量為

(8a)

(8b)

給定多層圓筒結(jié)構(gòu)的內(nèi)外表面都為自由表面，則邊界條件為

(9)

在多層圓筒這一部分中，變量中的上標(biāo)1表示內(nèi)層圓筒， 上標(biāo)i表示第i層圓筒，上標(biāo)N表示外層圓筒。

對(duì)于光滑連接的多層筒，在接觸面上，法向應(yīng)力和法向位移都連續(xù)，切向應(yīng)力為零，所以連續(xù)性條件表述為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

對(duì)于固結(jié)連接的多層筒，在接觸面上，應(yīng)力和位移都連續(xù)，所以連續(xù)性條件表述為

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

將方程(6)代入方程(5)，然后代入方程(7)～(9)和(10)，或和(11)，得到一個(gè)含有4N個(gè)未知常量A=[A1,B1,C1,D1,…,Ai,Bi,Ci,Di,…,AN,BN,DN，CN]T的4N階齊次方程組。為了分析問題方便，對(duì)變量采取無量綱化處理，令

最后得到表達(dá)式

[dmn]A=0

(12)

(13)

這就是多層圓筒中周向?qū)Рǖ念l率方程。

頻率方程(13)求解之后，代入方程(12)，就可以求出非零特征矢量A=[A1,B1,C1,D1,…,Ai,Bi,Ci,Di,…,AN,BN,CN,DN]T。然后把特征矢量A代入方程(6)，再代入方程(5)和(3)，得到周向?qū)Рǖ奈灰撇ㄐ头至?/p>

ur(r,θ,t)=Ur(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(14a)

uθ(r,θ,t)=Uθ(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(14b)

其中

(15)

式中W(r)為一個(gè)2×4N階矩陣。

2 數(shù)值計(jì)算及討論

考慮到計(jì)算量太大，以表1和2中的參數(shù)為數(shù)值算例，研究周向?qū)Рㄔ诓煌愋投鄬雍癖趫A筒中的傳播特性。

表1 材料參數(shù)

表2 幾何參數(shù)

2.1 頻散曲線的基本特征

圖2 三層光滑連接鋼筒中周向?qū)Рl散曲線的最初10階模態(tài)和Rayleigh波

2.2 連續(xù)性條件對(duì)頻散曲線的影響

以表2中的光滑連接和固結(jié)連接兩種連續(xù)性條件的三層鋼筒TSST和TWST為例，并將它們和三組單層鋼筒STST，SIST和SOST的頻散曲線一起比較，研究連續(xù)性條件對(duì)頻散曲線的影響。

圖3(a)，(b)，(c)，(d)分別為三層圓筒與單層圓筒的頻散曲線第1～4階模態(tài)比較，從圖3(a)～(d)可以看到，固結(jié)三層圓筒TWST的頻率始終高于光滑連接三層圓筒TSST，可見光滑連接方式降低了多層圓筒的頻率。而對(duì)于固結(jié)多層圓筒，由其連續(xù)性條件特點(diǎn)可知，它在層間界面上的位移與應(yīng)力均應(yīng)保持連續(xù)一致。也就是說，固結(jié)的多層筒實(shí)際上就應(yīng)該和一個(gè)同材料、同尺寸的單層圓筒性質(zhì)完全一致，而圖3中的曲線完全印證了這一點(diǎn)，即所有模態(tài)中固結(jié)三層鋼筒TWST與同尺寸同材料的單層鋼筒STST的頻散曲線完全一致。

從圖3(a)～(b)中可以看出，在低階模態(tài)時(shí)，三層鋼筒TSST和TWST，都比較接近于內(nèi)層鋼筒SIST的頻散曲線，特別是光滑連接三層鋼筒TSST，在第1階模態(tài)時(shí)，頻散曲線非常接近于內(nèi)層鋼筒SIST。說明此時(shí)內(nèi)層筒對(duì)多層筒的低階模態(tài)頻散曲線起主導(dǎo)作用，特別對(duì)于光滑連接的多層圓筒來說，用具有第1階模態(tài)的外激勵(lì)周向?qū)Рz測(cè)內(nèi)層筒的裂紋和缺陷更加有效。圖3(c)和(d)還顯示，對(duì)于第3階和第4階模態(tài)，三層鋼筒TSST和TWST的頻率始終低于單層內(nèi)筒和外筒的頻率。特別是在比較高的頻率時(shí)，三層鋼筒TSST和TWST都與具有相同內(nèi)外徑的單層筒STST頻率非常接近，說明層間界面效應(yīng)開始弱化，對(duì)于同一高階模態(tài)，與雙層筒相比[12]，多層筒和同厚度的單層筒曲線要在較高波數(shù)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)重合，因此多層筒比雙層筒的層間弱化要慢。但是同樣像雙層筒一樣[12]，對(duì)于三層筒及至多層筒，也可以得出一個(gè)重要結(jié)論，檢測(cè)層間界面裂紋的周向?qū)Рǖ倪x擇范圍，應(yīng)該集中于低階模態(tài)上。

圖3 三層圓筒與單層圓筒的頻散曲線第1～4階模態(tài)比較

2.3 壁厚對(duì)頻散曲線的影響

以表3中的變壁厚的三層鋼筒為例，每層鋼筒(表1中材料參數(shù))取相同的厚度，層間光滑接觸，研究壁厚對(duì)多層圓筒頻散曲線的影響。

表3 幾何參數(shù)

圖4(a)～(f)分別為不同壁厚三層圓筒的頻散曲線第1～6階模態(tài)比較，從圖4中可以看出，在1階模態(tài)時(shí)，壁越厚頻率越大，而且差別很大。對(duì)于2至4階模態(tài)，頻散曲線比較接近，壁厚對(duì)頻散曲線影響很小；而對(duì)于5階以上模態(tài)，隨著筒壁越來越薄，頻率越來越高。因此，對(duì)于周向?qū)Рǖ臒o損檢測(cè)方法，選用受壁厚影響較小的2至4階模態(tài)的周向?qū)Рǎ瑏頇z測(cè)多層筒界面的裂紋和缺陷更加有效。

2.4 連續(xù)性條件對(duì)位移曲線的影響

(16)

并作正規(guī)化處理，即除以各自的最大位移值得

(17)

圖4 不同壁厚三層圓筒的頻散曲線第1～6階模態(tài)比較

圖5 光滑連接位移波型圖

圖6 固結(jié)連接位移波型圖

由前面的工作知，檢測(cè)多層圓筒層間界面裂紋的周向?qū)Рㄟx擇范圍，可能應(yīng)該集中于低階模態(tài)上。再由圖5(b)和圖6(b)合成位移分布，無論是光滑連接還是固結(jié)連續(xù)性條件，多層筒第2階模態(tài)能量同樣也集中在界面附近，進(jìn)一步證實(shí)了第2階模態(tài)最具有檢測(cè)界面裂紋的應(yīng)用價(jià)值。因此，像雙層筒一樣[12]，應(yīng)該將變頻器設(shè)置成優(yōu)先激發(fā)具有第2階模態(tài)頻率的周向?qū)Рǎ詫?shí)現(xiàn)對(duì)界面裂紋的無損檢測(cè)目的。

3 結(jié) 論

(1)周向?qū)Рㄔ诙鄬雍癖趫A筒中傳播時(shí)，雖然理論公式和雙層筒不一樣，但是進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)發(fā)現(xiàn)了許多相同和不同的地方。多層筒同樣也會(huì)發(fā)生明顯的頻散現(xiàn)象和模態(tài)干涉現(xiàn)象，但是多層筒的模態(tài)干涉現(xiàn)象更為頻繁。

(2)通過和同厚度的單層筒頻散曲線比較，發(fā)現(xiàn)高階模態(tài)時(shí)兩者都出現(xiàn)層間界面弱化現(xiàn)象，但是對(duì)于同一高階模態(tài)，多層筒和同厚度的單層筒曲線要在較高波數(shù)時(shí)才出現(xiàn)重合，因此多層筒比雙層筒的層間弱化要慢。

(3)從合成位移曲線來看，多層筒進(jìn)一步說明了第二階模態(tài)具有檢測(cè)界面裂紋的重要價(jià)值，因?yàn)樗诙鄬油驳乃薪缑嫣幎季哂屑心芰康奶攸c(diǎn)。

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