汽車盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性及非線性動(dòng)力學(xué)分析

劉富豪， 蔣漢軍， 朱龍英

(1.鹽城工學(xué)院汽車工程學(xué)院， 江蘇 鹽城 224051； 2.江蘇安捷汽車配件有限公司， 江蘇 鹽城 224002；3.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400044)

引 言

在汽車行業(yè)中，由于客戶對(duì)舒適性的需求，使得降低制動(dòng)器振動(dòng)和噪聲成為重要的研究課題。到目前為止，還沒有統(tǒng)一的理論能解釋制動(dòng)器振動(dòng)和噪聲產(chǎn)生的機(jī)理和動(dòng)力學(xué)特性。制動(dòng)器產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲主要是由于制動(dòng)盤和摩擦片之間相互摩擦導(dǎo)致的。影響制動(dòng)器制動(dòng)噪聲的因素非常復(fù)雜，除了摩擦副材料參數(shù)及其匹配性外，其剛度及質(zhì)量等結(jié)構(gòu)參數(shù)也是非常重要的因素，特別是高頻噪聲，大多在摩擦過程中發(fā)生，其機(jī)理在很大程度上取決于摩擦副的接觸穩(wěn)定性。根據(jù)Ibrahim，Oden，Sinou和Hoffmann等的研究成果[1～5]，主要有4種機(jī)理闡示摩擦導(dǎo)致的不穩(wěn)定性現(xiàn)象：斜滑、粘滑、變動(dòng)態(tài)摩擦和耦合機(jī)理。耦合機(jī)理是內(nèi)共振和拍擊導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。然而，制動(dòng)器噪聲發(fā)生在1～16 kHz的高頻[6]，很難被辨識(shí)。劉獻(xiàn)棟等搭建了汽車盤式制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)架，對(duì)制動(dòng)噪聲進(jìn)行了試驗(yàn)研究，從而揭示汽車盤式制動(dòng)器制動(dòng)噪聲產(chǎn)生的機(jī)理[7]。雖然制動(dòng)器振動(dòng)和噪聲問題從20世紀(jì)30年代就開始進(jìn)行研究，并獲得了一些重要成果。但由于問題的復(fù)雜性，制動(dòng)器振動(dòng)和噪聲目前仍處于研究階段，還沒有得到圓滿解決。這些不足的一個(gè)重要原因是還沒有統(tǒng)一的模型通過使用具有物理意義的參數(shù)值來解釋振動(dòng)和噪聲問題產(chǎn)生的機(jī)理。另一個(gè)原因是大部分關(guān)于制動(dòng)器振動(dòng)的研究工作采用的是恒定的摩擦系數(shù)模型以及有限元模型，沒有探索更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[5，8～12]。

對(duì)于制動(dòng)系統(tǒng)來說，其振動(dòng)和噪聲與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系[2]。在現(xiàn)研究階段，對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究成為一個(gè)熱點(diǎn)問題。本文通過參數(shù)識(shí)別，獲得了具有物理意義的制動(dòng)器參數(shù)值。使用變摩擦系數(shù)，并考慮到制動(dòng)力和接觸剛度，克服了先前研究的不足。對(duì)提出的考慮時(shí)變摩擦系數(shù)的制動(dòng)盤和摩擦片耦合的兩自由度簡約模型，采用勞斯赫爾維茨標(biāo)準(zhǔn)，辨識(shí)了制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定域，分析了制動(dòng)器主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率的影響，闡述了模型中不同角度與極限環(huán)穩(wěn)定性和幅值的關(guān)系。通過兩個(gè)參數(shù)的分岔圖、三個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)的霍普夫分岔和龐加萊截面，分析了該制動(dòng)器系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

1 物理模型及方程

本文以盤式制動(dòng)器為研究對(duì)象，其制動(dòng)原理示意圖如圖1所示：在活塞的推動(dòng)下，摩擦片在左右支架及襯塊作用下和制動(dòng)盤相接觸，在制動(dòng)盤上面產(chǎn)生一個(gè)阻力矩，促使制動(dòng)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。該制動(dòng)器可簡化成如圖2所示的簡約模型，制動(dòng)盤和摩擦片通過滑動(dòng)摩擦界面連結(jié)在一起，傳輸帶代表制動(dòng)盤，質(zhì)量塊m代表摩擦片的質(zhì)量。在這個(gè)模型中，襯塊和摩擦片之間的連接可以等價(jià)于在兩個(gè)角度α1，2方向上的剛度為k1，2的兩個(gè)線性彈簧。摩擦片和制動(dòng)盤之間的連接可以等價(jià)于一個(gè)在垂直于制動(dòng)盤方向上剛度為k3的線性彈簧，Vb為制動(dòng)盤的轉(zhuǎn)速。摩擦片在固定坐標(biāo)系(X,Y)中任意時(shí)刻T的坐標(biāo)為(X(T)，Y(T))。在制動(dòng)過程中，為了防止質(zhì)量塊和傳輸帶脫離接觸，在質(zhì)量塊上加了一個(gè)初始的預(yù)緊力F。因此，整個(gè)模型受到了三個(gè)彈簧力、一個(gè)預(yù)載荷和摩擦力的作用。考慮到在穩(wěn)定，滑動(dòng)狀態(tài)下的小擾動(dòng)，該模型的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

(1)

(2)

式中k11=k1cos2α1+k2cos2α2，k12=k21=k1sinα1cosα1+k2sinα2cosα2，k22=k1sin2α1+k2sin2α2+k3。其中，k11，k12，k21和k22為耦合剛度系數(shù)。

圖1 盤式制動(dòng)器原理示意圖

圖2 制動(dòng)器簡約模型

對(duì)振動(dòng)微分方程(1)和(2)進(jìn)行歸一化處理得

(3)

(4)

圖3 Stribeck摩擦模型

非線性摩擦力是速度的函數(shù)，產(chǎn)生于制動(dòng)盤和摩擦片之間，并激勵(lì)摩擦片振動(dòng)。摩擦系數(shù)隨著相對(duì)滑動(dòng)速度增加而相應(yīng)變化，因而出現(xiàn)振動(dòng)和噪聲的可能性也會(huì)增加。當(dāng)克服靜摩擦力后，在低速下隨著速度的增加而摩擦力減小，呈現(xiàn)為速度的連續(xù)函數(shù)。為了研究制動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性，本文采用如下的Stribeck摩擦模型[13，14]

(5)

(6)

把摩擦模型方程(6)代入歸一化方程(3)和(4)，可得兩自由度的系統(tǒng)模型為：

(7)

(8)

根據(jù)方程(7)和(8)，可知該系統(tǒng)存在一個(gè)平衡點(diǎn)于(x，y)=(x*，y*)，即

(9)

(10)

方程(10)可用于數(shù)值求解系統(tǒng)在變化參數(shù)情況下的穩(wěn)定域及吸引子等。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率分析

對(duì)于非線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由其線性系統(tǒng)決定的。穩(wěn)定性主要通過計(jì)算在平衡點(diǎn)的雅可比行列式來研究。根據(jù)勞斯赫爾維茨標(biāo)準(zhǔn)[15]，如果系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的雅可比行列式的特征值的實(shí)部為正值，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時(shí)意味著系統(tǒng)將會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲。反之，特征值的實(shí)部為負(fù)值時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。特征值的虛部代表系統(tǒng)的頻率。

在固定點(diǎn)，方程(10)的雅可比行列式為

(11)

雅可比行列式(11)的特征方程為

λ4+p3λ3+p2λ2+p1λ=0

(12)

式中ρ0=-a2a3-a4，p1=a1a4，p1=1-a4，p3=-a1。

特征值實(shí)部的符號(hào)可通過多項(xiàng)式(12)的系數(shù)確定，根據(jù)勞斯赫爾維茨標(biāo)準(zhǔn)，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使特征值實(shí)部為負(fù)，因此需定義如下條件：

(a)p3>0

(b)p2p3-p1>0

(c)p1(p2p3-p1)-p0p2>0

表1 基于試驗(yàn)的物理參數(shù)

圖4 簡易制動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)：①帶有剎車片的簡易制動(dòng)器;②導(dǎo)桿;③傳感器;④導(dǎo)氣管1;⑤導(dǎo)氣管2

表1中的參數(shù)是在簡易制動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)上測(cè)量的。如圖4所示，導(dǎo)桿通過氣缸產(chǎn)生的拉力在帶有剎車片的簡易制動(dòng)器中運(yùn)動(dòng)，其速度可以通過傳感器測(cè)量出來，簡易制動(dòng)器通過氣缸產(chǎn)生的壓力對(duì)導(dǎo)桿進(jìn)行制動(dòng)，氣缸產(chǎn)生的拉力和制動(dòng)所需的壓力均可通過導(dǎo)氣管中的氣流大小來控制。通過模態(tài)識(shí)別法獲得簡易制動(dòng)器系統(tǒng)在各個(gè)方向上的剛度值。使用表1中的基本參數(shù)，隨著角度α1的變化，相應(yīng)的特征值的實(shí)部及頻率如圖5～7所示。在使用庫侖摩擦模型的情況下，當(dāng)α1∈(1.57±1.57，4.06±1.57)rad，特征根是一對(duì)純虛數(shù)。在這種情況下，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，其動(dòng)力性行為取決于非線性條件。霍普夫分岔產(chǎn)生的極限環(huán)將會(huì)出現(xiàn)于該系統(tǒng)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附件的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)周期解穩(wěn)定性的問題。當(dāng)α1∈(4.06±1.57，4.71±1.57)rad，兩個(gè)模態(tài)耦合，形成復(fù)雜的一對(duì)，系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)內(nèi)共振。這就表明即使摩擦系數(shù)為常數(shù)，對(duì)于盤式制動(dòng)器來說，振動(dòng)和噪聲仍然可以發(fā)生[16]。在圖5和6中，由于負(fù)斜率摩擦的存在，當(dāng)α1∈(1.57±1.57，2.25±1.57)∪(3.22±1.57，4.06±1.57)rad，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的，這與負(fù)斜率摩擦-速度曲線導(dǎo)致的負(fù)阻尼不穩(wěn)定相一致[17]。另外，由于有兩個(gè)模態(tài)非常接近，拍擊振動(dòng)將會(huì)發(fā)生在系統(tǒng)中。在這里，共振頻率使系統(tǒng)不穩(wěn)定，非共振頻率使系統(tǒng)出現(xiàn)拍振。這一結(jié)果證實(shí)，分離共振頻率及拍振是在設(shè)計(jì)階段降低制動(dòng)器出現(xiàn)振動(dòng)和噪聲現(xiàn)象的重要途徑。同時(shí)，系統(tǒng)在不同角度下所表現(xiàn)出來的穩(wěn)定性特征表明了制動(dòng)器的結(jié)構(gòu)因素在制動(dòng)振動(dòng)的產(chǎn)生過程中起到了關(guān)鍵的作用[18]。

圖5 庫侖摩擦模型特征值實(shí)部和頻率隨角度α1的變化

圖6 Stribeck摩擦模型特征值實(shí)部和頻率隨角α1的變化

圖7 Stribeck摩擦模型特征值的實(shí)部局部放大圖

穩(wěn)定性是一個(gè)復(fù)雜的問題，圖8(a)～圖11(a)顯示了隨不同參數(shù)組合時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定域。其中，實(shí)心點(diǎn)代表穩(wěn)定域，空心點(diǎn)表示不穩(wěn)定域。為了分析共振頻率，特征值在復(fù)平面上的實(shí)部和虛部如圖8(b)～圖11(b)所示。橫坐標(biāo)為系統(tǒng)阻尼或等效阻尼，復(fù)平面右邊模態(tài)是負(fù)阻尼，為不穩(wěn)定域。相反，左邊模態(tài)是解耦的，代表穩(wěn)定域。從圖5～7和圖8(b)～11(b)可知，耦合模態(tài)出現(xiàn)于正負(fù)模態(tài)同時(shí)存在的情況下。

圖8 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨質(zhì)量m和靜摩擦系數(shù)μs的變化

圖9 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨質(zhì)量m和轉(zhuǎn)速Vb的變化

圖10 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨角度α1和α2的變化

從圖8(a)和9(a)可知，在小質(zhì)量摩擦片、大轉(zhuǎn)速和大的摩擦系數(shù)或大質(zhì)量摩擦片、小轉(zhuǎn)速和小的摩擦系數(shù)情況下，制動(dòng)器更容易產(chǎn)生振動(dòng)和嘯叫。從圖10(a)和11(a)可知，當(dāng)摩擦片的兩個(gè)支撐角度同時(shí)取值較小或較大時(shí)，或者摩擦片剛度k1較大時(shí)，系統(tǒng)更容易趨向不穩(wěn)定。從圖8(b)和11(b)可得出，各參數(shù)組合情況下，出現(xiàn)耦合共振頻率的范圍。

圖11 穩(wěn)定域和耦合共振頻率隨剛度k1和k2的變化

值得注意的是，系統(tǒng)穩(wěn)定性極大地依賴于所選擇的參數(shù)值，設(shè)計(jì)者可通過調(diào)整摩擦片質(zhì)量和剛度、制動(dòng)盤轉(zhuǎn)速和材料的摩擦系數(shù)等參數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，降低制動(dòng)器振動(dòng)。

3 非線性分析

非線性分析可以提供極限環(huán)大小和混沌信息，以及對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響和共振現(xiàn)象的關(guān)系。穩(wěn)定的極限環(huán)是非常重要的，即使在沒有周期外力的情況下，也會(huì)使模型系統(tǒng)表現(xiàn)出自激振動(dòng)。然而，由于系統(tǒng)中存在拍振，很難在不同角度的情況下比較極限環(huán)的大小。為了更好地理解角度對(duì)極限環(huán)振幅的影響，極限環(huán)的半徑將由位移的均方值(RMS)代替，由方程(10)進(jìn)行數(shù)值積分得到。

圖12 當(dāng)(α1，α2)=(π，0)rad時(shí)x和y方向上的振動(dòng)

圖12示出了極限環(huán)在不同角度下的演變。首先，根據(jù)表2中的實(shí)例，當(dāng)(α1，α2)=(3.14，0.63)rad時(shí)，第一李雅普諾夫系數(shù)是負(fù)的，所以有一個(gè)超臨界Hopf分岔。并且負(fù)的Lyapunov指數(shù)意味著從失穩(wěn)后變成穩(wěn)定的周期分叉，所以這個(gè)極限環(huán)是穩(wěn)定的。隨著角度α1和α2的減少，Hopf分岔變成次臨界的，極限環(huán)出現(xiàn)了不穩(wěn)定。其次，由圖12可看出，極限環(huán)在兩個(gè)方向上的大小是不一樣的。隨著角度α1和α2的增大，極限環(huán)的半徑在x方向上是增加的，直到到達(dá)實(shí)例3的情況，然后又減少。最后，隨著角度α1和α2的增大，拍振頻率也相應(yīng)增大。由圖12和表2可知，在這個(gè)非線性系統(tǒng)中，彈簧的角度影響了極限環(huán)的振幅和穩(wěn)定性。

表2 極限環(huán)的三個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)：第一李雅普諾夫系數(shù)(α)，第一李雅普諾夫指數(shù)(L1)，李雅普諾夫維數(shù)(dL)

圖13 關(guān)于角度的兩個(gè)參數(shù)分岔曲線圖(+:雙Hopf分叉點(diǎn);·: 廣義Hopf分岔點(diǎn))

圖14 李雅普諾夫指數(shù)(實(shí)例3)和龐加萊截面圖(x2=0)

圖15示出了x1方向振動(dòng)位移的吸引子隨接觸剛度k3的變化，當(dāng)接觸剛度k3的值接近2×107N/m附近時(shí)，相對(duì)于其他條件下，在x1方向上運(yùn)動(dòng)的幅度變得越來越大，這意味著該系統(tǒng)的振蕩很顯著。這為制動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化提供了一個(gè)基本參考。

圖15 接觸剛度k3的吸引子

4 結(jié) 論

制動(dòng)器振動(dòng)和噪聲機(jī)理復(fù)雜，在不同的工況下可能存在不同的產(chǎn)生機(jī)理。基于變摩擦系數(shù)，本文采用了針對(duì)制動(dòng)器振動(dòng)的簡約模型，分析了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和共振頻率的影響。可得出以下結(jié)論：

(1)對(duì)比庫侖摩擦模型，負(fù)斜率摩擦模型更容易導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定；

(2)分離共振頻率和拍振是在設(shè)計(jì)階段降低制動(dòng)器出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象的重要途徑。

(3)摩擦片的質(zhì)量、剛度及制動(dòng)盤的轉(zhuǎn)速對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很大。在小質(zhì)量摩擦片、大轉(zhuǎn)速和大的摩擦系數(shù)或大質(zhì)量摩擦片、小轉(zhuǎn)速和小的摩擦系數(shù)情況下，以及摩擦片的兩個(gè)支撐角度同時(shí)取值較小或較大時(shí)，或者摩擦片剛度k1較大時(shí)，系統(tǒng)更容易趨向不穩(wěn)定，使制動(dòng)器產(chǎn)生振動(dòng)。

(4)角度不僅影響了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，還會(huì)影響到周期解的穩(wěn)定性和極限環(huán)的幅值。隨著角度增大，極限環(huán)從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

(5)制動(dòng)盤和摩擦片等零件的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)剛度經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)，合理匹配，可以降低制動(dòng)振動(dòng)。

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