基于有限元法的周期壓電智能梁濾波特性分析

丁 蘭， 朱宏平

(華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

引 言

近年來，國內(nèi)外關(guān)于壓電材料和智能結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)蓬勃發(fā)展起來，尤其是壓電周期結(jié)構(gòu)在振動控制研究和工程應(yīng)用方面引起了人們廣泛的興趣[1]。實際工程中動態(tài)載荷經(jīng)常出現(xiàn)，因此研究壓電周期智能結(jié)構(gòu)中的波傳播問題很有必要。不同于非周期結(jié)構(gòu)，周期結(jié)構(gòu)具有通頻和禁頻等特殊的力學(xué)性質(zhì)。當(dāng)波動頻率處于結(jié)構(gòu)通頻區(qū)域時，波動會無限制地傳遍整個結(jié)構(gòu)，其幅值和能量不會發(fā)生衰減；而當(dāng)波動頻率處于結(jié)構(gòu)禁帶范圍內(nèi)時，其不會傳遍整個結(jié)構(gòu)[2]。為了利用該性質(zhì)研究周期結(jié)構(gòu)中的波傳播，通常采用傳遞矩陣特征值的方法，但對于多個特征值的多耦合周期結(jié)構(gòu)，Romeo和Paolone采用傳遞矩陣幾何不變量的方法對其進行研究[3]。除此之外，局部化因子的方法可方便地研究波在多耦合周期結(jié)構(gòu)中的傳播特性[4,5]。

針對周期壓電結(jié)構(gòu)中的波動傳播問題，Baz采用傳遞矩陣特征值法對周期壓電質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的振動主動控制進行了研究，指出可以通過改變結(jié)構(gòu)的參數(shù)來調(diào)整通禁帶的寬度和位置[2]。Li等綜合傳遞矩陣特征值法及Lyapunov指數(shù)法對周期嵌有壓電材料的桿狀結(jié)構(gòu)中的波傳播和局部化進行了分析[6]。Li和Wang通過計算局部化因子研究了層狀周期壓電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的波動局部化問題，得到了一些有意義的結(jié)論[7]。隨后他們研究了Rayleigh表面波在隨機失諧壓電聲子晶體中的傳播，為此類壓電周期結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和振動控制提供了理論參考和指導(dǎo)[8]。以往的研究多數(shù)都針對的是周期性地嵌有壓電材料的智能結(jié)構(gòu)，而Thorp等對周期性地粘貼壓電片桿結(jié)構(gòu)中的波動傳播和局部化問題進行了研究[1]，Spadoni等探討了周期粘貼壓電片板結(jié)構(gòu)的振動主動控制問題[9]。Chen等提出了一種改進的周期粘貼壓電片桿結(jié)構(gòu)的波傳播模型，利用傳遞矩陣特性值法對其頻帶特性進行了分析[10]。但是，對表面粘貼壓電片的軸-彎耦合智能周期梁結(jié)構(gòu)的波傳播問題尚未涉及，因此有待于深入研究。

本文基于Timoshenko梁理論，研究了周期性地粘貼壓電片的軸-彎耦合梁的波傳播特性。采用有限單元和傳遞矩陣相結(jié)合的方法，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的動態(tài)剛度矩陣，建立了結(jié)構(gòu)相鄰胞元間的傳遞矩陣，給出了局部化因子的表達(dá)式，分析了幾何尺寸和材料特性對結(jié)構(gòu)頻帶性質(zhì)的影響，對壓電周期結(jié)構(gòu)的濾波特性和振動控制研究提供了理論參考。

1 壓電智能Timoshenko梁的傳播模型

1.1 壓電梁的勢能和動能

考慮一周期粘貼有壓電片的智能梁，如圖1所示。設(shè)壓電周期結(jié)構(gòu)中含有n個胞元，每個胞元中含有兩個子結(jié)構(gòu)，分別稱為子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2。設(shè)壓電層和基梁完好聯(lián)結(jié)無滑移，且具有相同的橫向位移w1(x,t)和轉(zhuǎn)角ψ1(x,t)。圖2給出了壓電梁的局部變形圖，其中基梁和壓電層均考慮為Timoshenko梁。

圖1 周期壓電梁示意圖

圖2 壓電雙層梁的變形圖

子結(jié)構(gòu)1中基梁位移為

ubx=u1b-zψ1，uby=0，ubz=w1

(1)

壓電層位移為

(2)

由界面處位移連續(xù)條件知

(3)

式中Hb和Hp分別為基梁和壓電層的厚度。

子結(jié)構(gòu)1中基梁和壓電層的應(yīng)變分別為

(4)

子結(jié)構(gòu)2中基梁的應(yīng)變可以表示為

(5)

式中u2b，ψ2和w2分別為子結(jié)構(gòu)2的軸向位移、轉(zhuǎn)角和橫向位移。

壓電材料在軸向力荷載作用下的本構(gòu)方程為[11]

(6)

在零電場下(U=0)，可得到電位移

(7)

由于壓電片很薄，電位移D沿厚度方向可視為一常數(shù)。利用式(3)和(4)，電位移D可表示為位移u1b和ψ1的函數(shù)，即

(8)

子結(jié)構(gòu)1的勢能V1和動能T1可以表達(dá)為：

(9)

(10)

式中Eii，Aii，Iii，ρii，Gii和κii分別為基梁和壓電層的楊氏模量、橫截面面積、慣性矩、密度、剪切模量和橫截面抗剪形狀系數(shù)。

子結(jié)構(gòu)2的勢能V2和動能T2可以表達(dá)為

(11)

(12)

1.2 有限單元法形函數(shù)

將各子結(jié)構(gòu)的運動表示為位移自由度和形函數(shù)的級數(shù)：

uib(x,t)=Niu(x)δi(t)， (i=1,2)

(13)

wi(x,t)=Niw(x)δi(t)， (i=1,2)

(14)

ψi(x,t)=Niψ(x)δi(t)， (i=1,2)

(15)

式中i代表子結(jié)構(gòu)編號。

利用有限元法，梁的形函數(shù)Niu(x)，Niw(x)和Niψ(x)可以表示為[12]：

(16)

(17)

(18)

式中

(19)

1.3 解析解形函數(shù)

對于子結(jié)構(gòu)1，由高階導(dǎo)數(shù)的泛函變分原理，可推導(dǎo)其振動控制方程為：

式(20)～(22)的解可表示為

(23)

式中αn，r1n和r2n為系數(shù)；kn(n=1,2,…,6)為波數(shù)。

將式(23)代入式(20)～(22)中可得到波數(shù)kn及其系數(shù)r1n和r2n，進而利用節(jié)點位移邊界條件可得到子結(jié)構(gòu)1的解析解形函數(shù)，即

(24)

式中

(25)

其中，εn=e-iknl1。

對于子結(jié)構(gòu)2，其控制方程可由式(20)～(22)消去壓電項即可，其解析形函數(shù)表達(dá)式N2u，N2w和N2ψ見參考文獻[13]。

1.4 傳遞矩陣

節(jié)點自由度向量為

(26)

式中 下標(biāo)L和R分別代表子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的左右節(jié)點。

將式(13)～(15)代入式(9)和(10)，并利用式(3)消除up，可得子結(jié)構(gòu)1的勢能和動能

(27)

(28)

同理，將式(13)～(15)代入式(11)和(12)可得子結(jié)構(gòu)2的勢能和動能

(29)

(30)

式中K1，K2，M1和M2分別為子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：

(31)

(32)

(33)

(34)

當(dāng)周期結(jié)構(gòu)以頻率ω振動時，利用式(31)～(34)可得子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的動態(tài)剛度矩陣：

Kd1=K1-ω2M1

(35)

Kd2=K2-ω2M2

(36)

根據(jù)動態(tài)剛度矩陣，第j個胞元中各個子結(jié)構(gòu)的動態(tài)運動方程可表示為

(37)

(38)

經(jīng)調(diào)整，式(37)和(38)可表達(dá)為

(39)

(i=1,2)

(40)

兩個子結(jié)構(gòu)界面處滿足

(41)

式(41)可以表示為如下矩陣形式

(42)

其中，

(43)

式中I為3階單位矩陣。

利用式(39)和(42)，可得到第j個胞元左右兩端狀態(tài)向量間的關(guān)系式為

(44)

第(j-1)個胞元右端和第j個胞元左端界面處滿足

(45)

代入式(44)得第(j-1)個胞元和第j個胞元狀態(tài)向量間的關(guān)系式為

(46)

2 Lyapunov指數(shù)和局部化因子

Lyapunov指數(shù)用來度量相空間中相鄰相軌線的平均指數(shù)發(fā)散程度或收斂程度，是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標(biāo)。研究周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播和局部化時，引用Lyapunov指數(shù)的概念，可以給出關(guān)于彈性波幅值衰減程度的度量指標(biāo)。彈性波在失諧周期結(jié)構(gòu)中傳播時，波動幅值將以空間指數(shù)形式衰減，而相應(yīng)的空間指數(shù)衰減常數(shù)稱為局部化因子[14]。

根據(jù)周期結(jié)構(gòu)的對稱性，Lyapunov指數(shù)總是以互為相反數(shù)的關(guān)系成對出現(xiàn)。若結(jié)構(gòu)傳遞矩陣的階數(shù)2d×2d,(d>1)，則可將Lyapunov指數(shù)按從大到小的順序排列為

λ1≥λ2≥…≥λd≥0≥λd+1(=-λd)≥λd+2(=-λd-1)≥…≥λ2d(=-λ1)

(47)

最小正的Lyapunov指數(shù)定義為局部化因子[7,8]，它代表了幅值衰減程度最弱的波，其在結(jié)構(gòu)中傳播的距離最遠(yuǎn)，刻畫了系統(tǒng)中彈性波的主要衰減特性。

Wolf給出了計算連續(xù)型動力系統(tǒng)中Lyapunov指數(shù)的方法[15]，借鑒此方法，可以給出離散型系統(tǒng)中Lyapunov指數(shù)的計算方法。設(shè)系統(tǒng)傳遞矩陣的階數(shù)為2d×2d，第m(1≤m≤2d)個Lyapunov指數(shù)的表達(dá)式為[7,8]

(48)

(49)

…

(50)

利用式(48)，可以計算出d對互為相反的Lyapunov指數(shù)，第d個Lyapunov指數(shù)λd即為局部化因子。對于本文中的諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)，相鄰胞元間的傳遞矩陣T(j)保持不變，且其維數(shù)為6×6，因此局部化因子為λ3。利用局部化因子即可分析周期結(jié)構(gòu)的頻帶特性，進而得到其波動傳播規(guī)律。

3 壓電智能梁的濾波特性

利用局部化因子考慮不同參數(shù)對周期壓電梁濾波特性的影響。本文中基梁彈性材料采用鋁和鋼兩種，壓電材料采用PKI 502[11,16]，子結(jié)構(gòu)的長度l2=5l1=0.5 m，所用到的幾何和材料參數(shù)如表1所示。

表1 基梁和壓電層的幾何和材料參數(shù)表

3.1 有限元解和解析解的對比分析

為了證實上述有限元分析模型的正確性，圖3比較分析了有限元解和解析解的計算結(jié)果，其中彈性材料取鋁。通過比較發(fā)現(xiàn)，對于諧調(diào)周期壓電智能梁，兩種方法計算結(jié)果吻合良好。因此，利用有限元方法局部化因子同樣可以描述諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)的波傳播行為。

圖3 有限元法解和解析解的對比

3.2 厚度比μ=Hb/Hp對頻帶的影響

在彈性材料為鋁、壓電材料厚度不變的情況下，考慮基梁與壓電層厚度比μ=10，20，30和40對周期結(jié)構(gòu)頻帶特性的影響，并將計算結(jié)果與基于Bernoulli-Euler梁理論得到的結(jié)果進行了對比。圖4給出了局部化因子隨頻率的變化曲線。

圖4 厚度比對周期結(jié)構(gòu)濾波特性的影響

由圖4可觀察到，周期結(jié)構(gòu)的厚度比對波傳播的頻率范圍有較大的影響。如圖4(a)中所示，當(dāng)μ=10時，在頻率區(qū)間ω∈(26.8,45.9) krad/s內(nèi)，局部化因子λ3>0，該區(qū)間即為頻率禁帶；在頻率范圍ω∈(45.9,80.5) krad/s內(nèi)，局部化因子λ3=0，該區(qū)間即為頻率通帶。在頻率區(qū)間ω∈(26.8,45.9) krad/s內(nèi)，隨著厚度比的增加，禁帶的位置和帶寬發(fā)生了顯著的變化，并且變化規(guī)律與頻率密切相關(guān)：隨著頻率的增加，當(dāng)μ=20時，頻帶的左端部由通帶迅速變?yōu)榻麕В划?dāng)μ=30時，頻帶的中部由禁帶迅速變?yōu)橥◣В划?dāng)μ=40時，頻帶的右端部由禁帶迅速變?yōu)橥◣А＿@說明選擇不同的厚度比，可以對通帶和禁帶頻率進行調(diào)整。整體上，在低頻范圍內(nèi)，禁帶帶寬較窄，局部化因子峰值小；而在高頻范圍內(nèi)，禁帶帶寬較寬，局部化因子峰值較大，衰減較強。表明了壓電周期結(jié)構(gòu)能有效地控制高頻波在結(jié)構(gòu)中的傳播。

比較圖4(a)和(b)發(fā)現(xiàn)，隨著厚度比的增加，采用Bernonlli-Euler梁理論得到的結(jié)果與采用Timoshenko梁理論得到的結(jié)果存在明顯偏差，特別地，當(dāng)μ=40時，采用Bernonlli-Euler梁理論得到的禁帶頻率ω∈(27.8,40.9) krad/s，而采用Timoshenko梁理論得到的禁帶頻率ω∈(27.8,36.3) krad/s，禁帶帶寬減小了54%，這是由于梁的厚度增加時，彎曲變形引起的轉(zhuǎn)動慣量和剪切效應(yīng)影響變得不同忽視，因此，在分析周期壓電深梁的濾波特性時，應(yīng)采用Timoshenko梁理論模型。

3.3 不同彈性材料和長度比γ=l2/l1對頻帶的影響

當(dāng)彈性材料分別為鋁和鋼、子結(jié)構(gòu)1的長度保持不變時，分別考慮子結(jié)構(gòu)2和子結(jié)構(gòu)1的長度比γ=4，5和6對周期結(jié)構(gòu)頻帶特性的影響，計算結(jié)果見圖5。

圖5 長度比對周期壓電鋁、鋼梁濾波特性的影響

由圖5可知，不同的彈性材料對周期壓電結(jié)構(gòu)濾波特性影響不同，鋼梁的禁帶帶寬略小于鋁梁的禁帶帶寬。長度比對禁帶頻率有較大的影響，但禁帶帶寬和位置變化趨勢相同。隨著長度比的增大，局部化因子峰值明顯增加，禁帶內(nèi)衰減增強，并且禁帶頻率范圍逐漸地向低頻移動，高頻禁帶帶寬被擴大，這種禁帶頻率上的變化對設(shè)計濾波器有一定的意義。

3.4 壓電材料的壓電常數(shù)h31對頻帶的影響

彈性材料為鋁，當(dāng)壓電材料的壓電常數(shù)選取不同值時，局部化因子隨頻率的變化曲線如圖6所示。

圖6 壓電常數(shù)對周期結(jié)構(gòu)濾波特性的影響

由圖6可見，在頻率范圍(20～50) krad/s內(nèi)，不同壓電常數(shù)的周期結(jié)構(gòu)的禁帶起始頻率相同，隨著壓電常數(shù)的增加，低頻禁帶帶寬和局部化因子依次減小，而高頻情況則剛好相反。因此可以通過調(diào)諧壓電材料的壓電常數(shù)來改變波傳播特性。

4 結(jié) 論

本文對周期壓電貼片Timoshenko梁的波傳播特性進行了研究，并將部分結(jié)果與Bernoulli-Euler梁理論得到的結(jié)果進行了對比。通過數(shù)值算例分析得到以下結(jié)論：周期壓電梁能有效地限制一定頻率范圍內(nèi)的振動能量；相比于Bernoulli-Euler梁結(jié)果，周期壓電Timoshenko深梁禁帶帶寬發(fā)生顯著變化，轉(zhuǎn)動慣量和剪切效應(yīng)對波動傳播特性的影響不容忽視；通過改變結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料常數(shù)，可以調(diào)整結(jié)構(gòu)的頻帶特性，從而實現(xiàn)振動控制的目的。

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