基于同步擠壓和時間窗的時變結構損傷識別

劉景良, 任偉新，, 王佐才

(1.中南大學土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009)

引 言

作為結構健康監測系統的一個關鍵問題，損傷識別研究已成為土木工程領域的研究熱點。實際工程結構在服役期限內受到工作荷載或極端荷載作用時，其損傷不可避免且不斷累積，本質上屬于時變和非線性的結構系統。時變結構的損傷是一個由輕微損傷到嚴重損傷的漸變過程，在此過程中，結構的動力特性隨時間不斷變化，其響應信號呈現非平穩性。采用信號處理與分析的方法識別結構的時變損傷時，需要時頻的分析工具。小波變換作為一種較新的線性時頻分析方法，克服了傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，能夠自適應地調整時窗和頻窗大小，通過信號的多分辨率分析實現結構的損傷識別[1～5]。近幾年來小波變換與其他方法相結合的方法已經廣泛運用于損傷識別研究領域。Khorram等提出了一種聯合小波變換和因子設計的損傷識別方法[6]，該方法能夠有效地探測移動荷載作用下簡支梁結構的多條裂縫。Yang等提出了小波變換和獨立成分分析相結合的結構損傷盲源識別方法[7，8]。小波包是在小波變換的基礎上發展起來的，針對小波變換中沒有細分的高頻部分做進一步的分解，從而提高了時頻分辨率。在小波包變換提取損傷指標的研究中，小波包節點能量的定義為基于小波包變換的損傷識別方法的發展奠定了基礎[9，10]。由于小波包節點能量對損傷的敏感性，以小波包節點能量作為輸入向量，可采用神經網絡、支持向量機等方法對結構進行損傷識別[11，12]。Peng等根據輸出響應的協方差構造了小波包能量變化率指標來評估海底懸跨管道的損傷[13，14]。Mikami等通過小波包變換對信號進行分解并估計各個分量的功率譜密度[15]，然后根據各分量功率譜密度幅值的差異提出了新的損傷定位指標并將其應用于梁類結構的損傷識別。Yan等總結了包括連續小波變換、離散小波變換、二代小波變換、小波包變換、小波有限元、雙樹復小波變換在內的各種小波損傷識別方法[16]，并指出：盡管基于小波理論的損傷識別方法存在一定的挑戰性，但仍然是未來最有前途的損傷識別技術之一。

目前，小波和小波包變換在結構損傷識別領域已經獲得了廣泛的應用，但是針對時變結構的損傷識別研究仍然十分少見，現有的損傷識別方法也不能很好地解決時變結構的損傷識別問題。因此，提出一個時變的損傷指標來追蹤結構損傷的演化過程是十分必要的。最近，Daubechies提出一種聯合小波變換和重組的新方法——同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing Wavelet Transform, SWT)[17]，該方法能夠有效地將小波變換后的時頻圖進行擠壓重組，從而獲得較高頻率精度的時頻曲線。本文提出了一種基于同步擠壓和時間窗(Time Window, TW)思想的時變損傷指標[18]，并將此指標應用于簡支梁結構的損傷識別，結果表明提出的指標對于時變損傷是敏感的，可以準確地反映結構的損傷演化過程。

1 基本原理

對于一個時變信號x(t)，一般可以表示為N個本征函數和一個余量之和[19]

(1)

同步擠壓小波變換以小波變換為基礎。給定小波母函數ψ(t)，時變信號x(t)的連續小波變換為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

如果頻率ω和尺度a為連續變量，式(6)相應變為

(7)

(8)

2 時變損傷指標

損傷位置處響應信號的各組成成分能量在損傷前后通常會發生比較大的變化，因此可以采用能量作為損傷指標。然而實際工程結構的損傷通常是一個動力特性不斷改變的過程，時不變的小波包節點能量雖然能夠識別出結構的損傷位置，但是無法識別出結構的時變損傷。因此本文在小波包節點能量的基礎上運用同步擠壓和時間窗思想重新定義了一個時變的損傷指數——小波能量變化率。小波能量變化率指標僅需已知結構的響應信號，就能識別出結構的時變損傷。

給定任意響應信號x(t)，首先對其進行傅里葉變換，可得響應信號的幅頻圖。若信號x(t)含p個頻率成分，根據幅頻圖可以將頻率軸劃分為p個頻率區間，分別為[f1l，f1r]，[f2l，f2r]，…，[fil，fir]，…，[fpl，fpr]。按式(2)對響應信號x(t)進行連續小波變換可得小波系數矩陣，其中m代表尺度ai個數，n為采樣時間點bj個數。由于小波尺度跟頻率存在一一對應關系

(9)

式中a為小波尺度，Fc為小波中心頻率，fs為采樣頻率，fa為尺度a對應的頻率。根據式(9)頻率區間可轉化為尺度區間[a1l，a1r]，[a2l，a2r]，…，[ail，air]，…，[apl，apr]。對第i個尺度區間的小波系數進行同步擠壓可得

(10)

式中Tx(ai，bj)為同步擠壓后的小波系數值，是n維行向量。

為追蹤結構的時變損傷，在同步擠壓小波系數曲線上設置一個滑動時間窗，窗口長度為2Δt，以窗內的小波能量平均值代表滑動窗中心點的小波能量。令窗口沿時間軸不斷滑動，可以求得第i階小波能量在每個中心點的值

(11)

考慮到各階模態的正交性，響應信號x(t)的小波能量應為各階小波能量之和，亦為時間t的函數，其表達式如下式所示

(12)

(13)

損傷前后的小波能量變化率為

(14)

3 數值驗證

為驗證所提出的小波能量變化率指標的正確性，以簡支梁為例，對剛度突變和線性變化兩種工況下結構的時變損傷進行識別。簡支梁長5 m，劃分為20個單元，節點編號和單元編號如圖1所示。簡支梁密度ρ=2 500 kg/m3，初始彈性模量E0=2.1×104MPa，橫截面面積A=0.04 m2(0.2 m×0.2 m)，慣性矩I=1.333×10-4m4。簡支梁的損傷通過降低單元剛度來實現。各個節點的位移、速度和加速度響應可通過結構動力學中的Newmark積分求解，其中采樣頻率fs=1 000 Hz。識別過程中按下式對響應信號x(t)施加白噪聲干擾

x′(t)=x(t)(1+εr)

(15)

式中r為均值為0，方差為1的正態分布隨機序列，代表噪聲水平，為已添加噪聲的響應信號。

圖1 簡支梁模型

3.1 剛度突變工況下的時變損傷識別

設定跨中單元10和11的剛度在4 s時降低20%，其剛度變化如圖2所示，其中E0I為初始剛度。采用Newmark積分求解簡支梁各節點的自由響應，其中剛度突變工況和未損工況下簡支梁跨中節點11的位移響應(已添加10%水平白噪聲)如圖3所示。采用復Morlet小波對節點11的位移響應進行連續小波變換，并對小波系數進行同步擠壓。選取時間窗長為100(0.1 s)，根據式(11)～(13)構建各時間點的歸一化小波能量變化ΔEx(t)，如圖4(a)所示。由圖4(a)可知，前4 s結構的小波能量變化為零，未出現損傷，即結構的損傷時刻為第4 s。但是從圖4(a)中無法直接識別出時變結構的損傷演化趨勢，因此根據式(14)求得結構的小波能量變化率，如圖4(b)所示。小波能量變化率在4 s左右出現突變，這說明節點11處的剛度此刻突然降低，即發生損傷。通過圖2與圖4(b)的比對，可以得出如下結論：小波能量變化率指標能夠較為準確地識別結構的時變損傷類型為突變。

圖3 10%噪聲水平下節點11的位移響應

圖4 剛度突變工況下歸一化小波能量變化及小波能量變化率

3.2 剛度線性變化工況下的時變損傷識別

設定跨中單元10和11的剛度在t=4～8 s時線性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-4)], 如圖5所示，其中E0I為初始剛度。與剛度突變工況類似，考慮的白噪聲水平為10%。剛度線性變化工況和未損工況下簡支梁跨中節點11的自由位移響應如圖6所示。選取時間窗長為100(0.1 s)，求得簡支梁的歸一化小波能量變化如圖7(a)所示。從圖7(a)可以清楚地看到，前4 s結構的小波能量沒有變化，即結構在前4 s完好無損。4 s之后結構的損傷不斷增加，但其發展趨勢仍然未知。圖7(b)給出了小波能量變化率指標隨時間變化的關系。小波能量變化率在4～8 s內不斷增加，近似線性變化，這表明簡支梁跨中節點11的剛度在該時間段呈線性下降趨勢。8 s之后小波能量變化率值基本保持不變，此時結構的損傷已經停止并不再繼續發展。通過圖5和圖7(b)之間的對比，再一次驗證了小波能量變化率指標識別時變損傷的準確性。

圖5 剛度線性變化曲線

圖6 10%噪聲水平下節點11的位移響應

圖7 剛度線性變化工況下歸一化小波能量變化及小波能量變化率

圖8 含兩處損傷位置的簡支梁損傷識別結果

圖9 時間窗長對小波能量變化率損傷指標的影響

3.3 簡支梁多點時變損傷識別

為驗證提出的指標能否識別含多個損傷位置的簡支梁結構的時變損傷，以圖1中的簡支梁模型為例，設定四分之一跨處單元5和6的剛度在t=2～6 s時間段線性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-2)]，而跨中單元10和11的剛度在t=8 s時降低20%。在采用Newmark積分求解簡支梁跨中節點11的自由響應并施加10%高斯白噪聲干擾后，選取時間窗長為100(0.1 s)，按式(11)～(14)計算簡支梁的歸一化小波能量變化和小波能量變化率，如圖8所示。由圖8(b)可知，小波能量變化率在2～6 s內不斷增加，近似線性變化，這反映了簡支梁四分之一跨處節點6的剛度在該時間段線性下降。在6～8 s時間段小波能量變化率值基本保持不變，這表明在該時間段結構沒有新的損傷出現。小波能量變化率指標在8 s左右出現突變，這反映了跨中節點11的剛度此刻突然降低。8 s之后小波能量變化率值基本保持不變，此時結構的損傷已經停止并不再繼續發展。因此，小波能量變化率指標能夠有效識別含簡支梁結構的兩點甚至多點時變損傷。

3.4 時間窗長對時變損傷指標的影響

由于時間窗思想的引入，小波能量變化率損傷指標變成一個時變指標，可以用于結構的時變損傷識別。然而時間窗的選取對于損傷指標的取值是有一定影響的，其影響程度尚未可知。為研究時間窗長對小波能量變化率損傷指標的影響，仍以上述的簡支梁模型為例，采樣時間間隔設為0.001 s，假定時間窗長分別為100(0.1 s)，500(0.5 s)和1 000(1 s)，求解剛度突變和剛度線性變化兩種工況下的小波能量變化率值，如圖9所示。由圖9可知，無論時間窗取何種長度，小波能量變化率曲線基本保持一致，均能較為準確反映結構的損傷演化趨勢，即能夠識別出結構的時變損傷。時間窗長對小波能量變化率指標的影響主要集中在剛度發生改變的臨界點，且影響程度較小，而窗口長度在其他時間點的影響基本可以忽略不計。因此，在一定范圍內可以根據實際需要選擇合適的時間窗長。

4 結 論

本文在同步擠壓小波變換基本原理的基礎上，運用時間窗思想提出了新的時變結構損傷識別方法。該方法從損傷前后的能量變化入手，通過小波能量變化率沿時間軸線的分布情況進行時變結構的損傷識別。簡支梁在自由激勵下的損傷識別數值算例結果表明：結構的小波能量變化率指標對于結構損傷是比較敏感的，該指標不但能夠準確地識別剛度突變及線性變化兩種工況下的時變損傷，也能夠有效地識別簡支梁多點時變損傷，且時間窗的選取對時變損傷指標取值基本上不影響。

參考文獻：

[1] Kim Y Y, Kim E H. A new damage deflection method based on a wavelet transform [A]. In: Proceedings of the International Modal Analysis Conference[C]. 2000, Texas.

[2] Hou Z, Noori H, Amand R S. Wavelet-based approach for structural damage detection [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2000, 126(7): 677—683.

[3] Lu C J, Hsu Y T. Vibration analysis of an inhomogeneous string for damage detection by wavelet transform [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44: 745—754.

[4] 樓文娟，林寶龍. 基于小波變換的大型輸電鐵塔損傷位置識別[J].工程力學，2006，23 (Sup.1): 157—162.LOU Wen-juan, LIN Bao-long. Wavelet transform based method for detecting damage location of electricity transmission towers [J]. Engineering Mechanics, 2006, 23 (Sup.1): 157—162.

[5] Ovanesova A V, Suarez L E. Application of wavelet transforms to damage detection in frame structures [J]. Engineering Structure, 2003, 26: 39—49.

[6] Khorram A, Rezaeian M, Bakhtiari-Nejad F. Multiple cracks detection in a beam subjected to a moving load using wavelet analysis combined with factorial design [J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2013, 40: 97—113.

[7] Yang Y, Nagarajaiah S. Time-frequency blind source separation using independent component analysis for output-only modal identification of highly-damped Structures [J]. Journal of Structural Engineering, 2012, 139(Special Issue):1 780—1 793.

[8] Yang Y, Nagarajaiah S. Blind identification of damage in time-varying system using independent component analysis with wavelet transform [J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2014,47(1/2)：3-20.

[9] Yen G G, Lin K C. Wavelet packet feature extraction for vibration monitoring [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2000, 47(3): 650—667.

[10] 韓建剛，任偉新，孫增壽. 基于小波包變換的梁體損傷識別[J].振動、測試與診斷，2006, 26(1): 5—10.HAN Jian-gang, REN Wei-xin, SUN Zeng-shou. Damage detection of beams based on wavelet packet analysis [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2006, 26(1): 5—10.

[11] Sun Z, Chang C C. Structural damage assessment based on wavelet packet transform [J]. Journal of Structural Engineering, 2002, 128(10):1 354—1 361.

[12] 瞿偉廉，譚冬梅. 基于小波分析和支持向量機的結構損傷識別[J].武漢理工大學學報，2008, 30(2): 80—86.QU Wei-lian, TAN Dong-mei. Two-step structure damage identification method based on wavelet analysis and support vector machines [J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2008, 30(2): 80—86.

[13] Peng X L, Hao H, Li Z X. Application of wavelet packet transform in subsea pipeline bedding condition assessment [J].Engineering Structures, 2012, 39: 50—65.

[14] Peng X L, Hao H, Li Z X, et al. Experimental study on subsea pipeline bedding condition assessment using wavelet packet transform[J].Engineering Structures, 2013, 48: 81—97.

[15] Mikami S, Beskhyroun S, Oshima T. Wavelet packet based damage detection in beam-like structures without baseline modal parameters [J]. Structure and Infrastructure Engineering, 2011, 7(3):211—227.

[16] Yan R Q, Gao R X, Chen X F. Wavelets for fault diagnosis of rotary machines: A review with applications [J].Signal Processing, 2014, 96: 1—15.

[17] Daubechies I, Lu J, Wu H T. Synchrosqueezed wavelet transforms: An empirical mode decomposition-like tool [J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2011, 2(30): 243—261.

[18] Park S K, Park H W, Shin S, et al. Detection of abrupt structural damage induced by an earthquake using a moving time window technique [J]. Computers and Structures, 2008, 86:1 253—1 265.

[19] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis [J]. Proceedings of the Royal Society of London-Series A, 1998, 454: 903—995.

[20] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing [M]. 2nd ed. San Diego, CA: Academic Press, 1999.

[21] Daubechies I, Maes S. A Nonlinear Squeezing of the Continuous Wavelet Transform Based on Nerve Models [M]. In: A. Aldroubi, M. Unser(Eds.),Wavelets in Medicine and Biology, Boca Raton, Florida: CRC Press,1996, 527—546.

[22] Thakur G, Brevdo E, Fuckar N S,et al. The Synchrosqueezing algorithm for time-varying spectral analysis: Robustness properties and new paleoclimate applications[J]. Signal Processing, 2013, 93:1 079—1 094.