分數階Duffing振子的亞諧共振

韋 鵬， 申永軍， 楊紹普

(石家莊鐵道大學機械工程學院， 河北 石家莊 050043)

引 言

分數階微積分運算包括分數階微分和分數階積分運算，其含義就是將常規微積分運算的階次從傳統的整數階推廣到分數階和復數階的情況。從1695年Leibniz與Hospital的最早研究開始，發展至今已經有300多年歷史。在這個過程中，很多學者圍繞著分數階微積分的性質和特點展開了研究，在基礎理論方面取得了較大的進展[1,2]。同時，分數階微積分也可以用來解決工程中的科學問題，例如：模擬含記憶特性的工程材料的本構關系，分數階微積分的引入能夠更加準確地反映材料的真實本構關系；由于分數階反饋和傳統的整數階反饋相比具有控制精確、魯棒性更好、抗噪聲能力強等優點，因此在控制系統中人為引進分數階反饋項能夠提高系統的控制效果。

目前對于分數階動力系統的研究主要分為三類[3～13]，分別是解析、定性和數值的研究。其中解析研究主要目的是找到系統的近似解并進行定量分析，定性研究主要研究解的數目和穩定性的變化，數值研究則偏重于穩定可靠的數值計算方法或者直接數值分析分數階微分方程的復雜動力學現象。申永軍、楊紹普等人研究了一些含分數階微分的線性和非線性振子[3～6]，分析了分數階微分項中各個參數對系統動力學行為的影響。李媛萍[7]等人對分數階van der Pol-Duffing系統的非線性動力學行為進行分析，發現在地震荷載作用下，分數階次的變化能改變系統的輸出能量。廖少鍇和張衛利用Newmark法研究了一些非線性分數階微分振子的動力學行為并推廣到Duffing系統[8,9]，建立了高效率的數值計算格式。陳林聰和朱位秋等人研究了諧和與寬帶噪聲聯合激勵下含分數階微分項的Duffing振子和其它非線性振子的隨機平穩響應[10～12],驗證了解析方法的準確性。劉崇新等人提出了基于Lyapunov方程的分數階系統穩定理論的控制方法[13]，并設計了相應的控制器。

目前在大量對分數階動力系統進行解析研究的文獻中一般是直接將分數階微分項當作阻尼來進行處理，這是不恰當的。由申永軍、楊紹普等人對分數階微分方程的解析研究發現[3～6]，動力系統中的分數階微分項不僅起到阻尼的作用還起到剛度的作用。本文以含分數階微分項的Duffing振子為對象，研究分數階微分項對系統1/3次亞諧共振動力學特性的影響。利用平均法建立了系統的一次近似解析解，同時通過分數階微分項的系數和階次對等效線性阻尼和等效線性剛度的影響，研究了分數階微分項對系統的1/3次亞諧共振解的存在條件、定常解穩定性條件和幅頻特性的影響。

1 分數階Duffing振子的1/3次亞諧共振近似解

研究如下含分數階微分項的Duffing振子

(1)

式中m,k,c,α1,F1,ω分別為系統的質量、線性剛度、線性阻尼、非線性剛度系數、激勵幅值和頻率，K1(K1>0)和p(0≤p≤1)分別是分數階微分項的系數和階次。分數階微分的定義方式有多種，這里采用Caputo型分數階微分定義

(2)

式中Γ(x)為Gamma函數，滿足Γ(x+1)=xΓ(x)。

對系統進行如下坐標變換：

式(1)變為

(3)

(4)

假設式(4)的解具有如下形式：

其中

根據平均法在[0,T]區間上對式(6)進行積分平均：

積分平均時，可取T=2π(若Pi(a,θ)(i=1,2)是周期函數)或者T=∞(若Pi(a,θ)(i=1,2)是非周期函數)。對式(7)第一部分積分得到：

對式(7)第二部分積分得到：

引入兩個基本公式[4]：

(11)

利用坐標變換s=t-u，ds=-du得到

(12)

(13)

(14)

利用類似的方法，發現當T→∞

(15)

因此

(16)

(17)

于是得到

(18a)

(18b)

結合式(8)和(18)得到

代入原系統參數得到

其中

分別定義為1/3次亞諧共振時的等效線性阻尼和等效線性剛度。

分析式(21)可知，分數階微分項的系數K1和階次p對等效線性阻尼和等效線性剛度都有重要的影響。分數階系數K1與等效線性阻尼和等效線性剛度成線性關系，因此分數階系數K1的大小影響著系統響應幅值的大小和系統共振頻率的大小。更重要的是分數階階次p對等效線性阻尼和剛度的影響，當分數階階次p→1時，分數階微分項幾乎等同于線性阻尼，等效線性阻尼趨近于極大值c+K1，系統響應的幅值會較小；當分數階階次p→0時，分數階微分項幾乎等同于線性剛度，等效線性剛度趨近于極大值k+K1，系統共振頻率會較大，同時等效線性阻尼趨近于極小值c，系統響應幅值也會較大。這些特性與人們的直觀感覺是一致的。從式(21)中，還可以發現等效線性阻尼和等效線性剛度與激勵頻率也存在著一定關系。

2 1/3次亞諧共振解的存在條件和定常解的穩定性分析

2.1 1/3次亞諧共振解的存在條件

(22a)

(22b)

(23)

以及相頻曲線方程

(24)

(25)

令

則式(25)變換為

A1ρ2+B1ρ+C1=0

(26)

求解式(26)得到

(27)

根據上式得到系統1/3次亞諧共振解的存在條件

(28)

從而由式(28)的兩個不等式可以得到定常解的存在條件如下

(29)

將

代入式(29)得到

(30)

研究式(30)，可以得到分數階參數對定常解存在條件的影響。同時，還可以發現定常解的存在條件與激勵頻率也存在著一定關系。

2.2 定常解穩定性分析

(32)

其中

于是得到特征方程

(33)

由于C(p)>0，因此可以得到定常解的穩定性條件為

(34)

式中R定義為穩定性條件參數。

展開式(34)并化簡得到

(35)

由式(35)可以發現，幅頻曲線存在兩個定常解時，上枝是漸進穩定的，而下枝是不穩定的。這與傳統整數階Duffing振子的亞諧共振情況是一致的。

3 數值仿真

選取一組基礎參數：m=5，k=45，c=0.2，α1=15，F1=200，K1=1，p=0.5，根據(5)式和(25)式得到系統的幅頻曲線如圖1所示，其中實線表示穩定解，虛線表示不穩定解。為了驗證解析結果的準確性，參照文獻[1]中的分數階數值解法，對分數階Duffing系統亞諧共振的幅頻曲線進行數值分析。首先，引入數值解法的近似公式

(36)

(37)

在運用Matlab的計算過程中，取步長h=0.005，計算時間t=200 s，將前160 s響應值略去，取后40 s的響應最大幅值為穩定幅值，所得數值結果如圖1中圓圈所示。可見，近似解與數值解符合效果較好，說明本文得到的結果具有較高的精度。

圖1 系統近似解與數值解幅頻曲線的比較

3.1 1/3次亞諧共振解的存在條件

根據式(30)，得到分數階微分項系數和分數階微分項階次對1/3次亞諧共振解的存在條件的影響圖，分別如圖2和3所示。

圖2表示當p=0.5時分數階微分項系數K1對系統1/3次亞諧共振解的存在條件的影響。其中K1=0表示整數階Duffing亞諧共振周期解的存在條件。從圖2中可以看出，隨著分數階微分項系數K1的增大， 1/3次亞諧共振的存在區域逐漸減小。分析發現，K1的增大會導致等效線性阻尼的增大，根據文獻[14]，這時1/3次亞諧共振的存在區域會減小。

圖2 K1對系統亞諧共振解的存在條件的影響

圖3表示K1=1時分數階微分項階次p對系統1/3次亞諧共振解的存在條件的影響。從圖3中看到，隨著分數階微分項階次p的增大，滿足1/3次亞諧共振解的存在條件區域逐漸減小。分析發現，隨著p的增大，分數階微分項的阻尼作用在逐漸增強。尤其是當p=1時，分數階微分項完全等同于線性阻尼，因此1/3次亞諧共振的存在區域會減少至最小。

圖3 p對系統次亞諧共振解的存在條件的影響

3.2 定常解的穩定性條件

根據式(34)和(35)以及C(p)和K(p)，可以得到分數階微分項系數和階次對穩定性條件參數R的影響圖，分別如圖4和5所示。

圖4為p=0.5且ω分別為10，13，15時，分數階微分項系數K1對穩定性條件參數的影響。其中，虛線表示定常解不穩定時對應的穩定性條件參數，其他線型表示定常解穩定時對應的穩定性條件參數。由式(34)，(35)并結合圖4可知，隨著K1的增大，定常解穩定部分的穩定性條件參數逐漸增大，最終趨近于零。由于K1的增大會導致等效線性阻尼增大，因此1/3次亞諧共振穩定幅頻曲線的存在范圍在逐漸減小。

圖4 K1對穩定性條件參數的影響

圖5 p對穩定性條件參數的影響

圖5表示在K1=1且ω分別為10，13，15時，分數階微分項階次p對穩定性條件參數的影響。同樣，圖5中虛線部分對應不穩定定常解。由公式(34),(35)并結合圖5可知，當p增大時，定常解穩定部分的穩定性條件參數也是逐漸增大的。分析發現，隨著p的增大，分數階微分項的阻尼作用逐漸增強，將會破壞系統的穩定性。

3.3 1/3次亞諧共振幅頻曲線

根據對1/3次亞諧共振解的存在條件的分析，仍然選用原系統參數對比整數階與分數階的1/3次亞諧共振幅頻曲線如圖6所示。分析圖6可知，分數階微分項會引起系統等效線性阻尼和等效線性剛度的同時增大，從而導致幅頻曲線中響應幅值的相對減小以及系統共振頻率的增大，在幅頻曲線上表現為幅值減小和幅頻曲線右移。

圖6 整數階與分數階系統幅頻曲線比較

圖7 K1對系統幅頻曲線的影響

在p=0.5的條件下，當分數階微分項的系數K1取不同值時，得到幅頻曲線如圖7所示。分析圖7發現，隨著K1的增大，系統等效線性阻尼在逐漸增大，因此系統響應幅值在逐漸減小；同時系統等效線性剛度也在逐漸增大，導致系統共振頻率增大，幅頻曲線向右偏移。并且不再像整數階Duffing振子那樣(幅頻曲線相互包含)，不同參數下的分數階Duffing振子的幅頻曲線出現了相交。

在K1=1的條件下，當分數階微分項的階次p取不同值時，得到幅頻曲線如圖8所示。分析圖8可知，在p從0到1的變化過程中，系統等效線性阻尼逐漸增大，同時等效線性剛度逐漸減小，亞諧共振的響應幅值也在逐漸減小，系統的共振頻率相應逐漸減小。但是，根據系統周期解存在條件，阻尼的增大會導致周期解存在區域減小。二者作用相結合，使得系統的共振頻率增大且共振區間顯著減小，并且不同參數下的分數階Duffing振子的幅頻曲線出現了相交。

圖8 p對系統幅頻曲線的影響

4 結 論

本文利用平均法對含分數階微分項的Duffing振子的1/3次亞諧共振響應進行了研究，借助等效線性阻尼和等效線性剛度的概念分析了分數階微分項的系數和階次對系統1/3次亞諧共振解的存在條件、穩定性條件及響應特性的影響，發現分數階微分項的系數和階次可以通過影響系統的等效線性阻尼，從而影響系統的響應幅值，同時還可以通過影響系統的等效線性剛度從而影響系統共振頻率大小。分數階微分項同時起到剛度和阻尼的作用，對系統的動力學行為有著重要影響。

參考文獻：

[1] Petras I. Fractional-order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation[M]. Beijing: Higher Education Press, 2011:18—19.

[2] Rossikhin Y A, Shitikova M V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results[J]. Applied Mechanics Reviews, 2010,63:010801-1-52.

[3] 申永軍,楊紹普,邢海軍.分數階Duffing 振子的超諧共振[J].力學學報,2012,44(4):762—768.Shen Yongjun, Yang Shaopu, Xing Haijun. Super-harmonic resonance of fractional-order Duffing oscillator[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2012,44(4):762—768.

[4] 申永軍,楊紹普,邢海軍.含分數階微分的線性單自由度振子的動力學分析[J].物理學報,2012,61(11):110505-1-6.Shen Yongjun, Yang Shaopu, Xing Haijun. Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivative[J]. Acta Physica Sinica, 2012,61(11):110505-1-6.

[5] Shen Y J, Yang S P, Xing H J, et al. Primary resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012,17(7):3 092—3 100.

[6] Shen Y J, Yang S P, Xing H J, et al. Primary resonance of Duffing oscillator with two kinds of fractional-order derivatives[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012,47(9):975—983.

[7] 李媛萍,張衛.分數階van der Pol-Duffing系統的非線性動力學行為分析[J].振動與沖擊,2011,30(7):164—168.Li Yuanping, Zhang Wei. Nonlinear dynamic behavior of a fractional-order van der Pol-Duffing system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(7):164—168.

[8] 廖少鍇,張衛.非線性分數階微分振子的動力學研究[J].振動工程學報,2007,20(5):459—467.Liao Shaokai, Zhang Wei. Dynamics of nonlinear fractional differential oscillator[J]. Journal of Vibration Engineering, 2007,20(5):459—467.

[9] 廖少鍇,張衛.分數階Duffing振子的動力學研究[J].動力學與控制學報,2008,6(2):122—125.Liao Shaokai, Zhang Wei. Dynamics of fractional Duffing oscillator[J]. Journal of Dynamics and Control, 2008,6(2):122—125.

[10] 陳林聰,朱位秋.諧和與寬帶噪聲聯合激勵下含分數導數型阻尼的Duffing振子的平穩響應[J].應用力學學報,2010,27(3):517—521.Chen Lingcong, Zhu Weiqiu. Stationary response of duffing oscillator with fractional derivative damping under combined harmonic and wide band noise excitations[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2010,27(3):517—521.

[11] Chen L C, Zhu W Q. The first passage failure of SDOF strongly nonlinear stochastic system with fractional derivative damping[J]. Journal of Vibration and Control, 2009,15(8):1 247—1 266.

[12] Wu X J, Lu H T, Shen S L. Synchronization of a new fractional-order hyperchaotic system[J]. Physics Letters A, 2009,373(27/28):2 329—2 337.

[13] 許喆,劉崇新,楊韜.基于Lyapunov方程的分數階新混沌系統的控制[J].物理學報,2010,59(3):1 524—1 531.Xu Zhe, Liu Chongxin, Yang Tao. Controlling fractional-order new chaotic system based on Lyapunov equation[J]. Acta Physica Sinica, 2010,59(3):1 524—1 531.

[14] 胡海巖.應用非線性動力學[M].北京:航空工業出版社,2000:69—72.Hu Haiyan. Applied Nonlinear Dynamics[M]. Beijing: Aviation Industry Press, 2000:69—72.

[15] 褚亦清,李翠英.非線性振動分析[M].北京:北京理工大學出版社,1996:785—796.Chu Yiqing, Li Cuiying. Nonlinear Vibration Analysis[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 1996:785—796.