運(yùn)用數(shù)值迭代的動(dòng)載荷識(shí)別算法

徐 菁， 張 方， 姜金輝， 浦玉學(xué)， 蔣 祺

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210016)

引 言

在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究中，準(zhǔn)確知道結(jié)構(gòu)的動(dòng)載荷是非常重要的。動(dòng)載荷識(shí)別技術(shù)主要發(fā)展了頻域和時(shí)域兩類(lèi)載荷識(shí)別方法，通過(guò)時(shí)域法識(shí)別的載荷是一個(gè)載荷時(shí)間歷程，可以直觀了解載荷隨時(shí)間的變化規(guī)律，更適用于工程實(shí)踐。張方等用廣義正交多項(xiàng)式特征技術(shù)建立載荷識(shí)別模型[1],解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分布動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別問(wèn)題。秦遠(yuǎn)田采用矩量法基函數(shù)來(lái)擬合未知?jiǎng)虞d荷[2]，將載荷識(shí)別轉(zhuǎn)化成為在廣義正交域中求解基函數(shù)擬合系數(shù)的問(wèn)題。Allen和Carne采用SWAT方法對(duì)沖擊載荷進(jìn)行識(shí)別[3]，該方法可以同時(shí)識(shí)別穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)載荷與沖擊型載荷。Gunawan等提出采用正則化二次樣條函數(shù)來(lái)擬合沖擊載荷[4]，利用基于L曲線的TSVD方法求解動(dòng)載荷。Chen和Lee利用模態(tài)疊加正交技術(shù)獲得梁的狀態(tài)方程[5]，通過(guò)在線基于自適應(yīng)權(quán)系數(shù)的遞歸算法來(lái)識(shí)別作用于橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)載荷，該方法具有較好的跟蹤性能和誤差估計(jì)特性。Mao和Guo將激勵(lì)力描述為基函數(shù)與權(quán)系數(shù)之積的和[6]，為避免得到不穩(wěn)定的解，在求解權(quán)系數(shù)的過(guò)程中，他們采用了基于GCV準(zhǔn)則的Tikhonov正則化方法，在實(shí)驗(yàn)室中通過(guò)該方法來(lái)識(shí)別無(wú)人機(jī)機(jī)翼的瞬態(tài)沖擊激勵(lì)。韓旭等將動(dòng)態(tài)載荷表示為一系列的脈沖或者階躍函數(shù)的疊加[7]，并運(yùn)用零相位濾波器、正則化技術(shù)和優(yōu)化策略來(lái)實(shí)現(xiàn)載荷的穩(wěn)定重構(gòu)。高峰、李德武在Newmark法求解運(yùn)動(dòng)平衡方程的基礎(chǔ)上[8]，推導(dǎo)了求解振動(dòng)荷載的公式，提出由結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)荷載的反應(yīng)求振動(dòng)荷載時(shí)程的有限元方法。姜金輝等根據(jù)譜分解的思想[9]，提出多點(diǎn)任意相關(guān)的隨機(jī)載荷識(shí)別方法，指出病態(tài)發(fā)生的原因和相應(yīng)對(duì)策，提高了識(shí)別精度。Lin采用了廣義卡爾曼濾波器以及基于常權(quán)系數(shù)的遞歸最小二乘法[10]，對(duì)單自由度非線性系統(tǒng)進(jìn)行載荷識(shí)別，該方法能夠較準(zhǔn)確地估計(jì)正弦激勵(lì)和多種沖擊激勵(lì)，并具有較好的抗噪性能。其后，他采用線性化卡爾曼濾波器以及基于自適應(yīng)權(quán)系數(shù)的遞歸最小二乘法來(lái)識(shí)別非線性系統(tǒng)的時(shí)域載荷[11]，并將兩種方法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了后者的識(shí)別精度更高。Lee提出采用智能模糊權(quán)系數(shù)以改進(jìn)自適應(yīng)權(quán)系數(shù)的缺點(diǎn)[12]，識(shí)別結(jié)果表明智能模糊權(quán)收斂性好，能夠有效降低測(cè)試誤差、模型誤差和儀器偏差的影響，且跟蹤能力好。Lee和Chen在假設(shè)回轉(zhuǎn)機(jī)械為剛體的基礎(chǔ)上[13]，提出采用智能模糊權(quán)方法估計(jì)動(dòng)態(tài)載荷。

本文對(duì)Wilson-θ反分析法的推導(dǎo)過(guò)程做了理論分析，找出其算法發(fā)散的原因。針對(duì)該原因提出了一種新的數(shù)值迭代修正方法，從數(shù)學(xué)上證明了修正的可行性，并且運(yùn)用仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了修正算法的收斂。

1 Wilson-θ反分析法研究

Wilson-θ法是線性加速度法的擴(kuò)展，在t至t+θΔt的時(shí)間區(qū)間內(nèi)利用了線性加速度假設(shè)，并且計(jì)算得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。經(jīng)嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，Wilson-θ法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，取θ>1.37即可保證結(jié)果無(wú)條件收斂，實(shí)際計(jì)算中一般取θ=1.4。文獻(xiàn)[14]運(yùn)用反問(wèn)題的有限元方法[8]，推導(dǎo)得到一種反分析法來(lái)進(jìn)行載荷識(shí)別。

在t+θΔt時(shí)刻的系統(tǒng)擬靜力方程為

(1)

式(1)可分開(kāi)寫(xiě)為

(2)

(3)

假設(shè)在每一微小的時(shí)間段內(nèi)，可視為線彈性問(wèn)題，根據(jù)疊加原理，有

x(t+θΔt)=x′(t+θΔt)+x″(t+θΔt)

(4)

(5)

引入位移系數(shù)，得到如下方程

(6)

(7)

(8)

所以，式(2)的解滿足下列線性關(guān)系

(9)

由式(4)得

xk(t+θΔt)-(x″(t+θΔt))k=v

(10)

(11)

求出λt+θΔt后，根據(jù)式(5)，可以求出t+θΔt時(shí)刻的動(dòng)載荷值qi(t+θΔt)，由于載荷qi(t)已知，故可得

qi(t+Δt)=(qi(t+θΔt)-qi(t))/θ+qi(t)

(12)

2 利用二分法迭代修正

對(duì)于單點(diǎn)輸入模型，可以采用二分法迭代對(duì)每一步的識(shí)別力進(jìn)行修正。運(yùn)用二分法迭代，必須先確定含根區(qū)間。由Wilson-θ法可知

(13)

(14)

(15)

于是

(16)

(17)

(18)

化簡(jiǎn)得

(19)

對(duì)gi(f)求導(dǎo)

(20)

首先由Wilson-θ反分析法，得到識(shí)別力的時(shí)間序列q(t)。對(duì)于時(shí)間點(diǎn)tm，設(shè)其對(duì)應(yīng)的載荷為q(tm)，令

a1=-rq(tm)，b1=rq(tm)

式中r為區(qū)間放大倍數(shù)，且滿足g(a1)g(b1)<0，則[a1,b1]為初始含根區(qū)間(假設(shè)q(tm)>0)。

一般地，如果已計(jì)算得到含根區(qū)間[ak,bk](k=1,2,…)，則令ffk+1=(ak+bk)/2，若

終值f*=(ak+bk)/2，設(shè)真實(shí)值為f0，對(duì)于給定精度|f*-f0|<ε，實(shí)際計(jì)算是所采用的終止原則為

bk-ak<2ε=10-p

(21)

取ε=10-p/2，其中p為正整數(shù)，則有

(22)

(23)

這里的[]為取整符號(hào)。

可以看到，這種步步迭代算法增加的計(jì)算量主要取決于每一次K*的大小，這又與初始含根區(qū)間的邊界值密切相關(guān)，而結(jié)果的精確性主要是由ε來(lái)決定的。

3 仿真算例及抗噪性能

仿真計(jì)算模型為一根長(zhǎng)度為0.68 m，截面尺寸為0.04 m×0.008 m的兩端簡(jiǎn)支矩形截面梁，彈性模量70 GPa，材料密度2 700 kg/m3，劃分為20個(gè)有限元單元。利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)阻尼比，調(diào)整建立的理論有限元模型，如表1所示。在第10自由度上加載f=10sin(4πt)N的正弦力，已知數(shù)據(jù)為第8自由度上的加速度響應(yīng)。

設(shè)激勵(lì)時(shí)間為t，計(jì)算次數(shù)為i，計(jì)算結(jié)果表明Wilson-θ反分析法不是一種成熟穩(wěn)定的方法，不同的時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果有很大的影響。從圖1(a)，(c)，(e)可以看出，無(wú)論時(shí)間步長(zhǎng)的取何值，當(dāng)計(jì)算次數(shù)達(dá)到一定數(shù)量，結(jié)果都會(huì)出現(xiàn)發(fā)散。而如圖1(b)，(d)，(f)所示，修正計(jì)算后，識(shí)別結(jié)果收斂到了真實(shí)力。

圖1 不同時(shí)間步長(zhǎng)下識(shí)別的載荷

表1 模型參數(shù)

在實(shí)際工程問(wèn)題中，噪聲的影響是必須要考慮的，一個(gè)真正成熟穩(wěn)定的算法應(yīng)該具有不錯(cuò)的抗噪性能。在上述算例中，對(duì)于已知的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，加入5%的隨機(jī)噪聲(Δt=0.01 s)。圖2對(duì)比了二分法迭代修正前后對(duì)于噪聲的不同表現(xiàn)。可以看到修正后的識(shí)別力更能反映真實(shí)情況，而且發(fā)散的趨勢(shì)明顯減小。

圖2 加噪后的識(shí)別載荷(5%噪聲水平)

下面考察對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題中更常遇到的幾種常見(jiàn)加載形式下的抗噪能力，圖3顯示了沖擊載荷、方波、三角波和鋸齒波的識(shí)別結(jié)果(Δt=0.001 s)。可見(jiàn)，由于噪聲的影響，加載函數(shù)平直段的識(shí)別效果較差(如沖擊載荷與方波載荷)，曲線段也不如沒(méi)有噪聲時(shí)光滑，但是基本能夠反映出所加載荷的情況，是可以接受的識(shí)別結(jié)果。以組合三角函數(shù)波的長(zhǎng)時(shí)間識(shí)別為例，加入5%的隨機(jī)噪聲，圖4放大顯示了尾段2 s的識(shí)別情況，可以看到在半分鐘內(nèi)，雖然些微不收斂，但該修正算法依然可以保持良好的穩(wěn)定性(Δt=0.001 s)。

圖3 不同形式加載下的識(shí)別結(jié)果(5%噪聲水平)

圖4 長(zhǎng)時(shí)間激勵(lì)識(shí)別結(jié)果(5%噪聲水平)

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c上述仿真模型一致，主要儀器設(shè)備有：Agilent35670動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀，HEW 系列高性能電磁激振器，ICP型加速度傳感器以及力傳感器等。

在第6個(gè)結(jié)點(diǎn)上加載頻率為16 Hz的正弦力，采樣率2 048 Hz。測(cè)得第13和17結(jié)點(diǎn)上的加速度響應(yīng)，應(yīng)用上述修正算法分別得到兩條識(shí)別力曲線，與實(shí)際所加載荷比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的識(shí)別結(jié)果

為進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)，對(duì)于其中較為光滑的最后一個(gè)周期作分析，設(shè)每一個(gè)采樣點(diǎn)的誤差值為ei(i=1,…,N。其中，N為一周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù))，這些數(shù)組成了一個(gè)隨機(jī)序列

(24)

式中fi為實(shí)際所加載荷，pi為計(jì)算識(shí)別力，fpeak為加載的峰值。該隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 誤差統(tǒng)計(jì)

其中

(25)

(26)

不同于式(24)，這兩個(gè)誤差計(jì)算公式主要反映了每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的實(shí)時(shí)誤差，式(25)是常用的誤差計(jì)算公式，式(26)是一種考慮權(quán)重的誤差計(jì)算方法，在接近零點(diǎn)時(shí)由于fi很小，其實(shí)時(shí)誤差可能會(huì)很大，但是這個(gè)點(diǎn)的誤差參考價(jià)值并不大，加權(quán)計(jì)算可以有效避免這個(gè)問(wèn)題。

從圖5來(lái)看，兩條識(shí)別曲線都與實(shí)際所加載荷波形基本吻合，第1測(cè)點(diǎn)的識(shí)別力曲線要優(yōu)于第2測(cè)點(diǎn)，雖然有個(gè)別點(diǎn)誤差較大，但總體并沒(méi)有發(fā)散的趨勢(shì)。造成實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)誤差的原因有多種，計(jì)算所用的有限元模型與實(shí)際模型并不完全一致，實(shí)驗(yàn)儀器和設(shè)備的不穩(wěn)定，以及布點(diǎn)位置不準(zhǔn)確等都會(huì)造成計(jì)算值的偏差和波動(dòng)。從實(shí)驗(yàn)可以看到，該修正算法計(jì)算結(jié)果基本反映了真實(shí)情況，誤差在可以接受的范圍內(nèi)。

5 結(jié) 論

在以往一步到位直接得到載荷的算法中，難免會(huì)遇到誤差累積的問(wèn)題，本文提出了一種載荷識(shí)別的新思路，即在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)部迭代修正。典型載荷的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該修正算法可以有效的減小由于累積誤差導(dǎo)致的發(fā)散，得到收斂的識(shí)別結(jié)果，并且有著理想的抗噪性能，具備一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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