巧用不等式證明小題

肖云霞

摘 要：對于不等式的證明題，可以從多種角度去看待，運用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙進行證明，證明的方法多種多樣，下面就兩個證明題的多種證明方法進行探討。

關鍵詞：排序不等式；柯西；均值；證明

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）02-017-02

知識背景：

⑴ 排序不等式：

設有兩組數；； 滿足，，其中是的任一排列，則有

即 同序和≥亂序和≥逆序和；當且僅當 或 時，等號成立，即同序和=亂序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

設有兩組數；； 有不等式當且僅當時，等號成立.

（3）均值不等式：設﹥0； （調和平均）； （幾何平均）； （算術平均）；（平方平均）； 有

當且僅當時，等號成立.

1. 已知a，b，c>0，求證：.

解決此題有多種方法：

方法一：（析：可以運用排序不等式求解）

解：不妨設a≥b≥c>0，則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，則， 得證.

方法二 （析：運用柯西不等式證明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 則≥3 ③ ； 將②、③代入①得到

得證.

方法三： （ 分析： 拼湊法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 則有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 則有 得證.

2. 已知a，b，c>0，求證： .

方法一： （分析，運用排序不等式證明）

解： 不妨設a≥b≥c>0，則 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分別取倒數有 ②，則有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 將⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

則有： 得證.

方法二： （分析運用柯西不等式）

解 ≥

則有≥， 化簡得： ≥= 得證

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化簡得 ≥（a+b+c）—= 得證.

方法四： （ 拼湊法 ）

解 ==

= ①

由1題知： 代入 ① 得

≥ 化簡得

得證.

方法五： 巧用排序不等式

不妨設a≥b≥c>0， 則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化簡得到

得證.

摘 要：對于不等式的證明題，可以從多種角度去看待，運用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙進行證明，證明的方法多種多樣，下面就兩個證明題的多種證明方法進行探討。

關鍵詞：排序不等式；柯西；均值；證明

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）02-017-02

知識背景：

⑴ 排序不等式：

設有兩組數；； 滿足，，其中是的任一排列，則有

即 同序和≥亂序和≥逆序和；當且僅當 或 時，等號成立，即同序和=亂序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

設有兩組數；； 有不等式當且僅當時，等號成立.

（3）均值不等式：設﹥0； （調和平均）； （幾何平均）； （算術平均）；（平方平均）； 有

當且僅當時，等號成立.

1. 已知a，b，c>0，求證：.

解決此題有多種方法：

方法一：（析：可以運用排序不等式求解）

解：不妨設a≥b≥c>0，則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，則， 得證.

方法二 （析：運用柯西不等式證明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 則≥3 ③ ； 將②、③代入①得到

得證.

方法三： （ 分析： 拼湊法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 則有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 則有 得證.

2. 已知a，b，c>0，求證： .

方法一： （分析，運用排序不等式證明）

解： 不妨設a≥b≥c>0，則 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分別取倒數有 ②，則有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 將⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

則有： 得證.

方法二： （分析運用柯西不等式）

解 ≥

則有≥， 化簡得： ≥= 得證

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化簡得 ≥（a+b+c）—= 得證.

方法四： （ 拼湊法 ）

解 ==

= ①

由1題知： 代入 ① 得

≥ 化簡得

得證.

方法五： 巧用排序不等式

不妨設a≥b≥c>0， 則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化簡得到

得證.

摘 要：對于不等式的證明題，可以從多種角度去看待，運用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等巧妙進行證明，證明的方法多種多樣，下面就兩個證明題的多種證明方法進行探討。

關鍵詞：排序不等式；柯西；均值；證明

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）02-017-02

知識背景：

⑴ 排序不等式：

設有兩組數；； 滿足，，其中是的任一排列，則有

即 同序和≥亂序和≥逆序和；當且僅當 或 時，等號成立，即同序和=亂序和=逆序和.

⑵ 柯西不等式：

設有兩組數；； 有不等式當且僅當時，等號成立.

（3）均值不等式：設﹥0； （調和平均）； （幾何平均）； （算術平均）；（平方平均）； 有

當且僅當時，等號成立.

1. 已知a，b，c>0，求證：.

解決此題有多種方法：

方法一：（析：可以運用排序不等式求解）

解：不妨設a≥b≥c>0，則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②，

③

④

③+④得到：≥=1+1+1=3，則， 得證.

方法二 （析：運用柯西不等式證明）

解： []≥ ①，

又 =2 ②

=； 則≥3 ③ ； 將②、③代入①得到

得證.

方法三： （ 分析： 拼湊法）

解+3===（a+b+c）= ①；利用均值不等式 ； 則有 ； 代入

①得：+3≥[×3×]×[3×]= ×=； 則有 得證.

2. 已知a，b，c>0，求證： .

方法一： （分析，運用排序不等式證明）

解： 不妨設a≥b≥c>0，則 ①， a+b≥a+c≥b+c ，分別取倒數有 ②，則有

③

④

③+④得到 ⑤

又由柯西不等式： 即有，得到

⑥，同理有： ⑦； ⑧； 將⑥、⑦、⑧代入⑤得到 ： ≥==a+b+c

則有： 得證.

方法二： （分析運用柯西不等式）

解 ≥

則有≥， 化簡得： ≥= 得證

方法三： （平均不等式求解）

解 ① ； ②； ③；

①+②+③得到 ≥a+b+c

化簡得 ≥（a+b+c）—= 得證.

方法四： （ 拼湊法 ）

解 ==

= ①

由1題知： 代入 ① 得

≥ 化簡得

得證.

方法五： 巧用排序不等式

不妨設a≥b≥c>0， 則a+b≥a+c≥b+c ①，分別取倒數有 ②； 又有 ③

④

⑤

④+⑤ 得到=

= ；化簡得到

得證.