高階非線性復微分方程組的亞純允許解

金 瑾，武玲玲，樊 藝

（畢節學院數學與計算機科學學院，貴州畢節551700）

高階非線性復微分方程組的亞純允許解

金 瑾，武玲玲，樊 藝

（畢節學院數學與計算機科學學院，貴州畢節551700）

利用亞純函數的Nevanlinna值分布理論和微分方程的研究技巧，研究了一類高階代數微分方程組的亞純解，并且微分方程組的亞純解或同為允許的，或同為非允許的.推廣和改進了一些結論.

代數微分方程組；亞純函數；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1 主要結果

關于非線性微分方程組的允許解問題，有許多數學研究者做了很多的工作，獲得了很多優秀的結果［1－16］.我們利用Nevanlinna值分布理論，對如下一類代數微分方程組的亞純解的存在性問題進行研究：

而

都是系數為亞純函數的微分多項式.（i），（u），（v），（r）是有限指標集，對于Φ1的分子分母的任一單項式

對于Φ2的分子分母的任一單項式

函數｛a（i）（z）｝，｛b（j）（z）｝，｛ai（z）｝，｛bj（z）｝，｛ci（z）｝，｛dj（z）｝都為亞純函數，且都是w1，w2的小函數，即

定義1 如果（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，S（r）為非線性高階微分方程組（1.1）的所有系數的特征函數之和，即

若（w1，w2）滿足S1（r）＝o（T（r，w1）），S2（r）＝o（T（r，w2））（r?I），稱（w1，w2）為問題（1.1）的亞純允許解，若（w1，w2）滿足S1（r）≠o（T（r，w1）），S2（r）≠o（T（r，w2））（r?I），稱（w1，w2）為問題（1.1）的非亞純允許解.

定義2 設（w1，w2）是高階微分方程組（1.1）的亞純解，則（w1，w2）的級為

其中：

定義3 設（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，如果（w1，w2）中的分量w1，w2滿足

則分量w1，w2為微分方程組（1.1）允許分量.其中I是對數測度為有窮的例外值集.

在以上定義以及眾多數學工作者研究的基礎上，我們得到以下的結論：

定理1 設（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，若滿足下列條件之一：

則（w1，w2）中的兩個分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

2 引理及證明

引理1［2］設

其中

則

這里

引理2［5］設R（z，w）是關于w（z）的不可約的有理函數，系數｛ai（z）｝，｛bj（z）｝是亞

純函數.如果w（z）是亞純函數，則有

3 定理的證明

由引理1—2得：

其中：

又

則

由非線性微分方程組（1.1）和上述結論可得：

若（w1，w2）中的分量w1為允許的，分量w2為非允許的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I1為對數測度有限的例外值集.又

由（3.5）和（3.6）式可知，至多除去一個對數測度有窮的例外值集后有

這與定理的條件矛盾.

若（w1，w2）中的分量w1為允許的，分量w2為非允許的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I2為對數測度有限的例外值集.又

由（3.7）和（3.8）式可知，至多除去一個對數測度有窮的例外值集后有

這與定理條件矛盾.

因此，（w1，w2）中的兩個分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

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Meromorphic admissible solution of systems of higher order non－linear complex differential eguations

JIN Jin，WU Ling－ling，FAN Yi

（Department of Mathematics and Compute Science，Bijie University，Bijie 551700，China）

In this paper，applying Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions and investigation skills of differential equations，we study the meromorphic solutions of higher order algebraic differential equation system，obtain that the solution of the system are all admissible or nonadmissible，improvements and extensions such results are presented in this paper.

algebraic differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

O 174.52 ［學科代碼］ 110·41 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0022－04

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.005

2013－08－01

貴州省科學技術基金資助項目（2010GZ43286，2012GZ10526）；畢節市科研基金資助項目（201102）.

金瑾（1962—），男，教授，主要從事復分析研究.