數學分析課程中的開放型問題

王衛兵，唐 唯

(湖南科技大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭411201)

數學分析課程是普通高校數學專業最重要的專業主干課程，是多門后續分析類課程的基礎，如常微分方程、復變函數、實變函數、泛函分析，為其提供必要的基礎知識、方法與技巧。其特點是體系嚴密，知識容量大，邏輯性強，應用廣泛。數學分析中概念、定義、公式、定理、方法技巧眾多，蘊含著豐富的數學思想方法。目前，數學分析的教學在模式上注重概念、定理、公式的講解，通常主要結論按照一定模式進行論證和解答，比較忽視啟發學生自己去發現問題、提出問題、解決問題。

數學開放題是上世紀70 年代發展起來的一種新題型，在一定條件下探索不明確結論，或由給出的結論探索使結論成立的條件［1］。在開放型問題中，條件可能不完善，需要補充;或滿足結論的條件有多種;或結論不唯一;或解決問題的方法不唯一。開放型問題的答案常常不確定，沒有固定的解題模式，思維發散性大，這種特性決定了教師無法采用灌輸式教學，學生必須積極參與，主動地進行探索。數學開放型問題的教學有利于培養學生的數學意識、分析能力、綜合能力、抽象能力、推理能力;有利于培養學生的探索精神和創新能力。

數學分析教材中眾多的定理、命題、習題，一般由確定的條件導出確定的結論。但許多命題、習題可加以改編成為開放型問題。在教學過程中，立足教材，適當地編制開放型問題，進行一些開放型問題的訓練，可大大提升教學效果。

1 隱藏原命題的部分條件，反向探求新條件

得到某一結論的條件通常不是唯一的。隱藏部分條件，探索使結論成立需添加的因素，可將原題改編為開放問題。

例1 數列收斂的充要條件是它的所有子列都收斂。將該命題中的充分條件減弱便可得到若干開放問題。

問題1 數列{an}的子列{a2n}，{a2n-1}都收斂。在什么條件下，數列{an}收斂?

問題2 數列{an}的子列{a3n}，{a3n-1}，{a3n-2}都收斂。在什么條件下，數列{an}收斂?

也可考慮上述問題的反面。

問題3 求一發散數列{an}，其收斂子列的極限都相等。

例2 (原題)已知函數f ∈C［0，1］，且f(0)=f(1)，則存在r ∈(0，1)使得f(r +0．5)= f(r)．

問題4 函數f 滿足什么條件時存在r ∈R 使得f(r+0．5)= f(r)?

2 拓展已有的結論

數學分析課程中很多命題、習題蘊含著豐富的信息。通常教師、學生解完題后就不再深入地思考還能得到什么樣的結論。將其結論進行拓展，深挖，進一步探索新的結論，可得到某些開放型問題。

例4 拉格朗日中值定理:設函數f 在閉區間［a，b］內連續，在開區間(a，b)內可導，則存在r ∈(a，b)使得f(b)- f(a)= f'(r)(b - a)．

上述定理中僅僅肯定了f 的存在性，對這樣的f 的個數信息不明。我們可以問:

問題6 在什么條件下，中值定理中的f 的個數是1，是2，甚至是f 個?

問題7 設函數f 在閉區間［a，b］內連續，在開區間(a，b)內可導，r ∈(a，b)，是否存在不同的兩點s，t ∈［a，b］使得f(s)- f(t)= f'(r)(s - t)?在什么情形下是存在的?

3 改變條件，探索新結論

命題或習題條件的變化，其結論也隨之變化。適當變化相關的條件， 引導學生探求對結論的影響，有利于開闊學生思路，鞏固所學知識。

例5 重要的極限f(x)= (1 + x)x-1→e(x →0)． 很顯然函數f 是冪指數函數，其底的極限為1 (x →0)，指數的極限為∞(x →0)． 考慮更一般的冪指數函數h(x)g(x)．

問題8 若h(x)→1，時，h(x)→1，g(x)→∞． 冪指數函數h(x)g(x)的極限是否存在?存在時為多少?

例6 當f(x)，g(x)時，f(x)，g(x)與f(x)，g(x)是等價無窮小量。于是當f(x)，g(x)時，f(x)，g(x)是無窮小量，則sinf(x)時，sinf(x)與f(x)，sing(x)與g(x)，sinf(x)+ sing(x)與f(x)+ g(x)都是等價無窮小量。

問題9 除f 與f 這一對等價無窮小量外，有其他的等價無窮小量有類似的性質嗎?

例7 羅爾定理。當函數滿足羅爾定理中三個條件時，其結論成立，但三個條件不是必要的。

問題10 刪除三個條件中的f 在閉區間［a，b］內連續，這時函數f 可能在端點處無定義，對應的將f(a)=f(b)減弱為f(a +0)= f(b -0)，問羅爾定理的結論仍成立嗎?

4 用實際問題表現數學命題

數學分析中很多概念、定義有深刻的實際背景。從廣義上講，數學分析中的基本概念:函數、極限、導數、微分、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分等都可看成數學模型。一些問題從實際背景出發，要求學生進行設計數學模型求解，便可得到開放型問題。這樣不僅易于激發學生的學習興趣，也有利于培養學生的探索精神和創新能力，提高數學素養。

例7 連續函數的介值定理。

問題11 一人早6 點從山腳A 處上山，晚18 點到山頂B 處;第二天，早6 點從B 處下山返回，晚18 點到A處。問是否存在一時刻，這兩天都在這一時刻達到同一點?

上述各例中問題1、問題2、問題4 需要探求使結論成立的條件，其條件有很多種，有難有易，屬于條件開放型問題;問題3、問題8、問題9 的結論不唯一，屬于結論開放型問題;問題6、問題7 條件與結論都需要探索，屬于綜合開放型問題。問題5、問題9、問題10 需要綜合應用所學內容，屬于存在開放型問題［2-5］。不論哪一種開放型問題均需要學生積極參與，獨立地探索，觀察、類比、分析、歸納、猜想。因此，在數學分析教學中可適當選用開放型問題教學，提供讓學生操作、研究和討論的機會。為了更好地適應這種教學模式，數學分析課程教學中要注重教學內容的內外結合，強調數學的實際背景和現實模型，展現知識的形成過程，讓學生盡可能多地參與到知識的發現、思維探求過程。

當然，數學分析課程中，并不是所有的內容都適合開放型問題教學。另外，開放型問題的教學耗時一般較多，適合在習題課上或以課后作業的形式進行。

［1］張奠宇．數學教育學導論［M］． 北京，高等教育出版社，2003．

［2］萬洪波．淺議數學的開放型題型［J］． 南昌教育學院學報，2002(17)36 -37．

［3］張士勤．數學分析中“開放型問題教學”淺析［J］． 南都學壇(自然科學版)，1995(6)60 -61．

［4］李祥兆．數學開放題的評分方法初探［J］． 寧波大學學報(教育科學版)，2007(2)62 -65．

［5］李 華．數學開放型題型與解法探析［J］． 數學學習與研究(教研版)，2007(1)55 -56．