傅里葉望遠鏡對實際有縱深目標成像的研究

董 磊

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033)

1 引言

傅里葉望遠鏡具有合成孔徑和主動照明的優勢，可以對遠距離靜止或運動目標高分辨率成像，成為近年來激光主動成像領域的熱點研究對象［1－4］。在已有的研究中，不論是計算機仿真［5－9］還是室內［10－12］或外場實驗［13－15］，所采用的目標均是平面合作目標。有時為了模擬真實目標的漫反射特性，在目標的前面或后面放置透射式漫射體，產生和真實目標類似的漫散射效果。然而真實目標不是平面的，而是有一定的縱向深度，并且縱深是漸變的，或者局部階梯變化。這相當于平面目標被分割成小塊，塊與塊之間存在軸向距離。對于縱深變化的目標，其整體散射回波將不再同步，而是由大量彼此間有一定時間延遲的局部回波組成。局部回波在時間上的錯位將引起解調信號時間頻譜的展寬，有可能降低重構圖像的質量，嚴重則造成無法成像。

由此可知開展傅里葉望遠鏡對實際有縱深目標的成像研究具有重要意義，它決定了成像系統是否可以對實際目標高分辨率成像。文章后續部分的安排如下:在原理分析部分從成像基本公式入手，引出有縱深目標散射回波信號存在時間延遲問題;然后在仿真分析部分，通過先定性后定量的方式逐步揭示回波相對延遲及目標分塊數目對成像結果的影響;隨后在討論和建議部分給出避免重構圖像質量下降所需信號外差頻率范圍以及對短脈沖激光成像提出建議;最后對全文進行總結。

2 原理分析

傅里葉望遠鏡的成像原理，簡單來說，就是利用地面不同的二維基線的選擇，在目標平面處產生不同取向和周期的干涉條紋，從而可以獲取目標不同空間頻率的頻譜信息，然后利用傅里葉逆變換重構目標圖像。其原理的出發點基于任何二維圖像均可以利用不同空間頻率的周期性條紋疊加而成。由此也可以看出，傅里葉望遠鏡成像是針對二維平面目標，如果目標本身有一定的縱向深度或者中心和邊緣的縱向厚度不一樣，則或許影響成像效果甚至無法成像。該問題更具體的分析可基于常見的成像基本公式。

傅里葉望遠鏡成像原理的基本公式為［1］:

其中，S(k)代表目標散射的瞬時回波信號，由公式(1)可以看出該信號正比于目標反射率O(x+vt)和相干光場E1exp(iω1t'+k1·x)與E2exp(iω2t'+k2·x)在目標表面形成的干涉條紋光強的乘積在目標平面處的積分，c．c．代表前面指數項的復共軛。公式(1)中，c代表積分常數;每束發射光波在目標處單獨產生的光強;ω=ω1－ω2為兩束光之間的外差頻率;v為目標運動速度。k=k0Δx/z，其中k0為光波數，Δx為兩個發射光束在地面的距離矢量即基線矢量，z為目標離地面的距離。由此可以看出空間頻率k與地面基線矢量Δx同向，而地面基線矢量為地平面內的二維矢量，故k平行于地平面。只有目標平面平行于地面時，k才能同時代表目標處條紋的空間頻率，所以從成像基本公式可以看出空間頻率k，地平面和目標平面三者互相平行。

我們可以先簡單分析一下公式(1)所代表的理想情況。按照公式(1)，探測器測量到的瞬時光強正比于目標反射率和干涉條紋光強的乘積在目標平面處的積分。該積分為對空間坐標的二維積分，和時間參數無關，當二維空間積分完成后，再對采樣周期內的信號進行時間積分。這說明在理想情況下，目標任何一個局部散射的回波信號到達探測器的時間均相同，或者說每個局部散射的回波信號能夠彼此無相對延遲地疊加。而對于有一定縱深的目標，每個局部的散射回波彼此間存在相對延遲。

以目標中心與邊緣的縱向深度差為1 m為例，如圖1所示，局部1與局部2的縱深差為1 m，則局部1與局部2散射回波的時間延遲差為(1 m×2)/(3×108m/s)=6．7 ns。考慮到大氣湍流引起不同光束光程的變化一般為幾十個波長量級，故光程差應小于1 mm，時間延遲差小于1 mm/(3×108m/s)=3．3 ps。該值遠小于目標縱深差引起的時間延遲差，故可以忽略大氣湍流的影響。上面的分析將初始問題轉化為，目標不同局部散射回波信號有最大6．7 ns時間延遲時，疊加后的信號經過時間解調的結果是否會明顯偏離理想情況。在后續的仿真分析部分將采用先定性后定量的方法，對該問題進行更加具體的研究。

圖1 縱深為1m的目標Fig．1 Object with depth of 1 meter

3 仿真分析

首先嘗試進行定性分析。假如信號周期比時間延遲6．7 ns大很多，如圖2所示，比如150 kHz外差信號的周期為6．7μs。該值遠大于6．7 ns，也就是說，不同信號的延遲(＜6．7 ns)相對于信號周期可以被忽略，不同信號在時間上近似是同步的或者對準的，故經過時間解調后的結果不會明顯偏離理想情況。相反，假如信號周期和時間延遲6．7 ns差不多，如圖3所示，比如信號頻率為150 MHz，則對應周期恰好為6．7 ns。該時間延遲相對于信號周期就無法被忽略，經過時間解調后的結果很可能明顯偏離理想情況。

圖2 信號周期遠大于時間延遲Fig．2 Signal period much larger than time delay

圖3 信號周期與時間延遲接近Fig．3 Signal period similar to time delay

下面將利用matlab軟件開展定量仿真分析。仿真的主要步驟如下:對不同時間延遲情況分別建模，并與無延遲情況的圖像重構結果相比較，找出較好重構結果對應的時間延遲范圍。然后改變目標分塊數目，比較不同縱深的分塊數目的變化對重構結果的影響，從而找出較好重構結果對目標分塊數目的要求。

3．1 不同時間延遲的成像仿真

為了簡單起見，假設目標由縱向深度不同的兩部分組成，每部分的回波時間延遲不同。仿真采用3種不同形狀的衛星目標，目標圖片是分辨率為33×33的灰度圖片。成像仿真中的回波延遲采用兩回波相對延遲差與信號周期之比來表示，由小至大分別為:0，1/128，1/64，1/32，1/16，1/8。所有回波信號持續時間為4個周期，時間解調持續時間也是4個周期。考慮到信號不可避免受到噪聲的影響，在回波信號中加入信噪比為100的隨機噪聲。

衍射受限目標，重構圖像及其對應的Strehl值分別如圖4所示。從3種不同目標圖像隨回波延遲增加的變化趨勢可以看出，當目標不同縱深的兩部分的回波延遲差為信號周期的1/32時，還能夠識別重構目標的輪廓，此時重構圖像的Strehl值一般大于0．2。當回波延遲差大于信號周期的1/16時，無法識別重構目標，此時重構圖像的Strehl值小于0．1。

圖4 衍射受限目標與重構圖像的比較Fig．4 The comparison between diffraction－limited object and reconstructed images

3．2 不同縱深分塊數目的成像仿真

前面的仿真假設目標由縱深不同的兩部分組成，而實際目標的縱深變化往往是漸變的，產生不同延遲的大量回波。回波數目的增加是否影響重構質量是值得研究的問題，下面將比較分塊數分別為2，4，8時，重構圖像及其Strehl值的變化。

仿真仍采用3種不同目標的分辨率為33×33的灰度圖片作為目標圖像。分塊數為4和8時，回波信號的延遲等間隔分布，間隔與信號周期之比分別為1/128，1/256。分塊數為2、4和8時，回波信號的最大延遲與周期之比分別為7/256，6/256，7/256，分布在0．02～0．03之間，小于1/32。每種分塊數各重構5次，取最好結果，如圖5所示。

從圖5中3種不同目標的重構結果可以看出，分塊數增加并沒有使成像質量下降。由此推知當目標縱深連續變化時，產生大量回波信號，只要回波信號的最大延遲差與信號周期之比小于1/32，則可重構出可識別的目標圖像。從中還看出分塊數為2時，Strehl值明顯低于分塊數為4和8對應的Strehl值。對該情況的初步判斷是，分塊數為2時，最大延遲的兩端各對應50%的回波信號，而分塊數為4或8時，最大延遲的兩端各對應的回波信號比重明顯下降，分別為25%和12．5%。我們知道最大延遲越小，則圖像質量越好，所以最大延遲對應信號的比重降低使得重構圖像質量提高。

圖5 分塊數分別為2、4和8的重構圖像的比較Fig．5 The comparison of reconstructed images with 2，4 or 8 parts

4 討論與建議

至此可以對原理分析中提出的問題給出明確地回答。縱深差為1 m時，對應回波最大時間延遲時為6．7 ns。如果信號周期大于6．7 ns×32=214．4 ns，即外差頻率低于4．66 MHz，則回波信號經過時間解調和重構算法處理后能重構出可識別的目標。信號的外差頻率越低，則重構圖像質量越高。一般空間目標的縱深為10 m以內，對應的最大時間延遲小于67 ns，則采用外差頻率低于466 kHz的信號可重構出可識別目標圖像。

低外差頻率對于連續或則寬脈沖激光成像的影響小，然而對于短脈沖激光成像則有明顯影響。傅里葉望遠鏡成像要求時間解調持續時間為整數倍信號周期，否則成像出現混亂。然而對于超遠距離成像，為了提高激光峰值功率必然會壓縮脈寬，脈寬有可能壓縮到幾十納秒。為了滿足時間解調整數倍信號周期的要求，則一個脈沖內至少包含1個周期的信號。這時信號周期持續時間正好位于回波最大延遲時間以內，圖像重構結果將是混亂的，無法識別。或許可以采用延遲補償的方法，對目標不同部位的回波延遲差進行補償，然而補償的前提是事先知道目標不同部位的縱深分布，這顯然是困難的。或許也可以采用多脈沖拼接的方法［16］，降低加載到短脈沖激光上外差信號的頻率，這在理論上是可行的，但具體實現較為復雜，還需要進一步的研究。

5 結論

本文開展針對傅里葉望遠鏡對實際有縱深目標成像的研究。研究發現實際目標的回波信號不再同步，而是由大量彼此存在延遲的局部回波信號組成。對于縱深變化為米級的目標，其回波最大延遲范圍約10 ns，只要信號周期遠大于該值，則目標縱深變化對成像無明顯影響。只要信號周期遠大于回波最大延遲，目標縱深連續變化或階梯變化對成像結果無明顯影響。如果信號周期與回波最大延遲相當或則更小，則重構圖像質量嚴重下降，甚至無法成像。對于脈寬與米級縱深目標的回波最大延遲相當的短脈沖激光成像，或許可以采用多脈沖拼接的方法降低信號外差頻率以實現對實際目標的高分辨率成像。

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