模糊時間序列模型在滑坡預測預報中的應用

陳 偉，張 踐

（1.武漢科技大學 城市建設學院，湖北 武漢 430000；2.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079；3.武漢際上空間科技有限公司，湖北 武漢430070）

模糊時間序列預測結合了經典的時間序列分析理論和新興的模糊數學理論，能有效地克服數據的不完整性和不確定性。模糊時間序列的研究受到了眾多國內外學者的關注。1993 年Song 和Chissom[1]提出了模糊時間序列模型并用于對 Alabama大學招生人數的預測；又提出了一個新的模糊時間序列模型并與其他模型進行比較，使得預測精度得到很大提高[2,3]。此后，越來越多的專家和學者從理論和應用等多方面對模糊時間序列模型進行了更加深入的研究[4-8]。本文在前人研究的基礎上，將模糊時間序列預測模型應用到滑坡預測預報中，具有一定的實用價值。

1 模糊時間序列預測模型

1.1 相關定義

定義1 令U為給定論域，將論域劃分為 n 個子區間，則U={u1,u2,…,un}。一個定義在論域U中的模糊集合A表示如下：A=fA(u1)/u1+fA(u2)/u2+…+fA(un)/un。其中，fA(?)是 ui對模糊集合 A 的隸屬函數 ；fA(ui)是 ui對模糊集合A的隸屬度，fA(ui)?[0,1]，i=1,2,…,n。

定義2 令R中一子集Y(t) ( t = …, 0, 1, 2, … )為給定論域，fi(t) (i = 1, 2, …)為定義在其上的模糊集合，由f1(t)，f2(t)，…組成的集合F(t)稱作定義在 Y(t) ( t = …,0, 1, 2, …)上的模糊時間序列。

定義3 如果存在一個模糊關系R(t,t-1)，并有F(t)=F(t-1)?R(t-1,t)，則稱 F(t)可由 F(t-1)通過模糊關系R(t,t-1)導出。其中，“?”為一種關系運算算子。若F(t-1)=Ai，F(t)=Aj，則 F(t-1) 與 F(t)之間的模糊邏輯關系可以表示為F(t-1)→F(t)。

定義4 具有相同前件的模糊邏輯關系可以進一步構成模糊邏輯關系組。假設一組模糊邏輯關系：Ai→Aj1，Ai→Aj2，…，則對應的模糊邏輯關系組為Ai→ Aj1，Aj2，…。

1.2 模糊時間序列模型預測步驟

本文建立模糊時間序列模型的具體步驟如下：

1）定義論域及區間劃分。定義論域U=[Dmin-δ1,Dmax+δ2]，其中Dmin、Dmax分別為歷史數據的最小值和最大值；δ1、δ2為2個合適的正數。根據模糊聚類算法得到樣本中心點，將2個相鄰的聚類中心的中點作為論域劃分的邊界點，將論域U劃分為不等長度的區間u1，u2,…， un，其對應的中心分別為 m1，m2，…， mn（具體步驟見文獻[9]）。

2）定義模糊集并模糊化數據。根據上步得到的區間定義模糊集 A= (A1， A2， …， An)，其中，Ai表示模糊集A的語義變量。將歷史數據按式（1）模糊化，其中，fij表示uj對集合Ai的隸屬度，本文采用的隸屬函數為三角隸屬函數。為了簡化計算，本文采用的模糊化規則是：首先判斷數據x所在區間，若x所在的區間為ui，那么就把x模糊化為Ai。依次將所有數據模糊化，就得到了一個模糊時間序列。

3）建立模糊關系并預測。根據步驟2）所得到的模糊時間序列求模糊關系矩陣。選用n天的樣本數據作為訓練數據，設當天為t，則前一天為t-1。選取訓練樣本，根據選取的訓練樣本，找出模糊關系矩陣。假設某日訓練樣本的模糊化結果為Ft,m，下一日的數據模糊化結果為Ft+1,n，則模糊關系為Ft,m→Ft+1,n，根據模糊關系求模糊關系矩陣R。

式中，×為取小運算；ú為取大運算。將F(t-1)采用三角模糊函數模糊化，建立模糊時間序列預測模型：F(t)=F(t-1)?R(t-1,t)。

4）將輸出結果去模糊化，得到預測數值。本文采用最大隸屬度法去模糊化，運算規則如下：如果F（t）模糊預測變化值隸屬函數有且只有一個最大值un，其中點為mn，則預測變化值為mn；如果F（t）模糊預測變化值隸屬函數有多個最大值u1，u2,…，un，它們的中點分別為m1，m2,…，mn，則預測變化值為（m1+ m2+…+mn）/n；如果F（t）模糊預測變化值隸屬函數全部為0，則預測變化值為0。

2 應用實例

本例取自文獻[10]中的應用實例，著名的灑勒山滑坡發生于1983-03-07，位于甘肅省東鄉縣境內巴謝河北岸，以實例中灑勒山新滑坡的位移監測資料1985年3月～12月共10個月的監測數據建立滑坡預測模型。運用本文所介紹的模糊時間序列模型的預測步驟，對1985年8月～12月的數據進行預測，并將預測結果與指數模型、Verhulst模型和灰色GM(1，1)模型的預測結果進行了比較，結果見表1。

表1 各模型預測結果表/cm

本文采用均方誤差（MSE）和平均絕對百分誤差（MAPE）來衡量模型的精度。設觀測值為yi，預測值為，則均方誤差和平均絕對百分誤差分別為：

4種模型的精度評定結果見表2。

從表1、表2的計算結果來看，模糊時間序列模型預報的精度略優于其他3種模型，均方誤差、平均絕對百分誤差指標相對其他模型而言都是比較好的，充分說明了模糊時間序列預報模型具有比較優良的性能，可用于滑坡預報。

表2 各模型精度評定表

3 結 語

模糊時間序列模型建模簡單，所需樣本數據較少，且計算簡單，使用方便，短期預報精度較高。由于模糊時間序列預測方法是一門新興的研究領域，如何客觀地劃分論域區間、確定隸屬函數、構建合適的模糊規則以及去模糊化方法仍然是影響模型預測精度的關鍵因素。進一步改進建模過程，提高預測精度以及更深入地應用到滑坡預測預報中，將是下一步要做的工作。

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[2]Song Q, Chissom B S. Forecasting Enrollments with Fuzzy Time Series[J].Part 1. Fuzzy Sets System, 1993, 54(1):1-9

[3]Song Q, Chissom B S. Forecasting Enrollments with fuzzy time series[J].part 2. Fuzzy Sets System, 1994, 62(1):1-8

[4]Chen S M, Hwang J R. Temperature Pprediction using Fuzzy Time Series [J]. IEEE Transactions Systems Man Cybernetics Part B: Cybernetics, 2000, 30(2):263-275

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