基于Bursa-Wolf模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換工具設(shè)計(jì)

宋 超，原菲菲 ，尚 姣，士子遠(yuǎn)

（1.河南省國土資源廳 信息中心，河南 鄭州 450016；2.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京 100083）

1978年之前，我國普遍采用北京54坐標(biāo)系統(tǒng)；之后，開始嘗試新的西安80坐標(biāo)系統(tǒng)[1,2]。北京54坐標(biāo)系統(tǒng)采用的是克拉索夫斯基橢球體參數(shù)[3]，西安80坐標(biāo)系統(tǒng)采用的是IAG-75地球橢球參數(shù)。雖然2個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)選取的參考橢球模型不同，但2種地球橢球模型從本質(zhì)上說是同源的，即二者均是在真實(shí)地球體的基礎(chǔ)上抽象概括出來的。因此，通過幾何空間直角坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換是可行的。

1 坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型的選取

要實(shí)現(xiàn)北京54坐標(biāo)數(shù)據(jù)向西安80坐標(biāo)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，需嚴(yán)格遵循2種坐標(biāo)系統(tǒng)參數(shù)間的數(shù)學(xué)映射邏輯[4,5]。在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時(shí)，首先需創(chuàng)建或是選取一整套參數(shù)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型。

Bursa-Wolf模型又稱七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[6-8]，包括7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)[9,10]，即X平移、Y平移、Z平移、X旋轉(zhuǎn)、Y旋轉(zhuǎn)、Z旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)k。利用Bursa-Wolf轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，需用到上述模型轉(zhuǎn)換參數(shù)，對(duì)于未知的轉(zhuǎn)換參數(shù)，需預(yù)先求解。具體求解過程如下：

①獲取研究地區(qū)3個(gè)或3個(gè)以上的已知北京54坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)，并構(gòu)建未知坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的數(shù)學(xué)方程組；②求解方程組中未知變量的最小二乘解；③將所求解的方程變量（即轉(zhuǎn)換參數(shù)）和已知的轉(zhuǎn)換參數(shù)引入到Bursa-Wolf模型中，對(duì)已知坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行目標(biāo)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，即可獲取目標(biāo)大地測量坐標(biāo)（西安80坐標(biāo)）系統(tǒng)下的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)。

Bursa-Wolf坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型如下：

式中，X0、Y0、Z0分別指大地測量坐標(biāo)系在x、y和z方向上的平移參數(shù)；εx、εy、εz分別是坐標(biāo)系在 x、y、z方向上的旋轉(zhuǎn)參數(shù)；X54、Y54、Z54是當(dāng)前坐標(biāo)點(diǎn)在北京54坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)；X80、Y80、Z80是大地點(diǎn)在西安80坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。矩陣模型的線性方程組表達(dá)式為：

上述線性方程組對(duì)應(yīng)的矩陣方程表達(dá)式為AS=B：

求解轉(zhuǎn)換模型中的待定參數(shù)矩陣B需要3個(gè)或是3個(gè)以上的原坐標(biāo)系界址點(diǎn)（即圖形要素的邊界拐點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的北京54坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的西安80真實(shí)坐標(biāo)。

Bursa-Wolf坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型求取參數(shù)時(shí)采用最小二乘法，然而最小二乘法往往會(huì)涉及到矩陣的求逆運(yùn)算。該求解方法不僅求解過程相當(dāng)復(fù)雜，而且還會(huì)導(dǎo)致所求結(jié)果的數(shù)值不穩(wěn)定[11]。

設(shè)有n個(gè)已知界址點(diǎn)對(duì)應(yīng)的北京54坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的西安80坐標(biāo)，則其誤差方程的系數(shù)A為3n×7階矩陣。利用QR矩陣分解法可將系數(shù)陣A分解為：

式中，Q為3n×3n的正則正交矩陣；R為3n×7的上三角矩陣。由于Q正交，QTQ =E，代入式(3)，得到QRS=B，進(jìn)一步變形，得到QTQ RS=QTB，即

式中，S為轉(zhuǎn)換參數(shù)矩陣。如此，矩陣方程RS = QTB無需通過矩陣求逆就可得到轉(zhuǎn)換參數(shù)矩陣X的最小二乘解。

運(yùn)用QR矩陣分解法進(jìn)行轉(zhuǎn)換參數(shù)（即矩陣參數(shù)）的求解，然后分別把所求的參數(shù)代入矩陣方程式AS=B，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)坐標(biāo)數(shù)據(jù)的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換。

模型轉(zhuǎn)換參數(shù)一旦求解完成，即可引入Bursa-Wolf模型完成模型的構(gòu)建；再將目標(biāo)的北京54系數(shù)據(jù)輸入模型轉(zhuǎn)換工具主界面，即可完成北京54坐標(biāo)系向西安80坐標(biāo)系的平穩(wěn)轉(zhuǎn)換。

2 轉(zhuǎn)換工具數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

以某地區(qū)實(shí)際測量點(diǎn)的大地測量坐標(biāo)，選取3個(gè)樣本點(diǎn)，輸入轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算界面，獲取未知的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。樣本點(diǎn)的北京54坐標(biāo)系坐標(biāo)和西安80坐標(biāo)系坐標(biāo)見表1。

表1 樣本界址點(diǎn)坐標(biāo)列表

通過本文設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)換工具求解的七參數(shù)分別為：

表2 樣本界址點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對(duì)比表

根據(jù)表2分別計(jì)算樣本界址點(diǎn)在X軸、Y軸及Z軸方向上的轉(zhuǎn)換差值均值及

然后，分別計(jì)算轉(zhuǎn)換差值的樣本方差Sx2、Sy2及Sz2：

顯然，本轉(zhuǎn)換工具轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)值在X軸、Y軸及Z軸方向上的平均差值相對(duì)較小，轉(zhuǎn)換精度較可靠。

5 結(jié) 語

根據(jù)Bursa-Wolf轉(zhuǎn)換模型，結(jié)合面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)思想，研發(fā)大地測量數(shù)據(jù)的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換工具，用于北京54坐標(biāo)系數(shù)據(jù)向西安80坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。利用矩陣QR分解法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，既避免了常規(guī)的最小二乘求解方法可能導(dǎo)致的數(shù)值的不穩(wěn)定性，也簡化了求解過程，經(jīng)檢驗(yàn)該工具轉(zhuǎn)換精度穩(wěn)定、可靠。

[1]熊介.橢球大地測量學(xué)[M]. 北京: 解放軍出版社,1988

[2]章書壽，陳福山，周國樹.測量學(xué)教程[M]. 第四版.北京:測繪出版社,2011

[3]程鵬飛，成英燕，文漢江，等.2000國家大地坐標(biāo)系實(shí)用寶典[M].北京:測繪出版社,2008

[4]孔祥元，梅是義.控制測量學(xué)[M].武漢：武漢測繪科技大學(xué)出版社，1996

[5]周忠謨.地面網(wǎng)與衛(wèi)星網(wǎng)之間轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型[M].北京: 測繪出版社,1984

[6]李秀海，杜國明.利用簡化的BURSA-WOLF公式進(jìn)行GPS坐標(biāo)成果轉(zhuǎn)換及精度分析[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,18(3):20-22

[7]柳光魁,王振祿,趙永強(qiáng),等.BJ-54坐標(biāo)系與WGS84坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法及精度分析[J]. 測繪與空間地理信息，2007，30(3)：167-173

[8]吳吉賢,楊志強(qiáng),張耀文,等.BURSA模型應(yīng)用于BJ54與WGS84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的討論[J]. 高原地震，2006，18(3)：32-35

[9]劉恩信.廈門市二調(diào)數(shù)據(jù)成果1980西安坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[J].測繪與地理空間信息，2009,32(3):198-201

[10]蔡昌盛,高井祥,鄭南山,等.北京54坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至WGS84坐標(biāo)的方法[J]. 四川測繪. 2005，30(3)：125-134

[11]周衛(wèi). 坐標(biāo)擬合的雙向解算與矩陣系數(shù)的生成[J]. 地球信息科學(xué)，2005，7(4)：63-66