M-矩陣與其逆矩陣的Hadamard積特征值的新下界

高美平

(文山學院 數學學院，云南 文山 663000)

本文繼續對M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(A°A-1)的下界進行研究，得到關于τ(A°A-1)的不等式.

1 符號與引理

記N={1,2,…,n}；Rn×n表示實n階矩陣所成的集合；ρ(p)表示n×n階非負矩陣P的Perron根；τ(A°A-1)表示非奇M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積最小特征值.

為了敘述方便，給出以下記號：

引理1[6]設A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優矩陣，A-1=(bij)，則|bji|≤sji|bii|,j≠i.

引理5[7]設A=(aij)∈Rn×n,是行嚴格對角占優的M-矩陣，A-1=(bij)，則bji≤mjibii,j≠i.

引理6[10]設A=(aij)∈Rn×n,是嚴格對角占優M-矩陣，A-1=(bij)，則bji≤vjibii,j≠i.

設A=(aij)是嚴格對角占優M-矩陣，A-1=(bij)，易得mki≤ri,，于是vji≤mji.從而vi≤mi.

2 主要結果

文獻[1-10]中分別給出了M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(A°A-1)下界的一些結果.下面給出關于τ(A°A-1)的新下界:

推論1 設A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優M-矩陣，A-1=(bij)是雙隨機矩陣，則

證明由定理1的證明和引理4知定理2成立.證畢

3 例子

對τ(A°A-1)的下界進行估計：由文獻[2-10]的結果分別得τ(A°A-1)≥0.500 0，τ(A°A-1)≥0.662 4，τ(A°A-1)≥0.799 9，τ(A°A-1)≥0.800 9，τ(A°A-1)≥0.8250，τ(A°A-1)≥0.825 0.由本文定理1得：τ(A°A-1)≥0.884 1;事實上τ(A°A-1)=0.975 5.以上表明，本文所得的結果改進了Feidler和Markham的猜想和文獻[1-10]的結果.

4 結語

對M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值的下界進行了研究，得到了τ(A°A-1)的2個新下界.一方面，結果改進了文獻[2-8]的結果.另一個方面，由數值算例表明本文所得的結果改進了文獻[1-10]的結果.因此，所得的結果是對相關文獻的一個有益補充.

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