具有一般激活函數的變時滯并聯限制細胞神經網絡的全局穩定性

賈玉生，楊 紅

(青島濱海學院 文理基礎學院，山東 青島 266555 )

Chua等[1]在1988年首先提出細胞神經網絡的相關理論，目前有很多學者研究其理論和應用[2-12]，細胞非線性網絡是當今計算機科學、電子工程、數學、信息科學等學科和領域的研究熱點之一，神經網絡模型在人工智能、認知科學、生物分子學等領域有廣泛應用，1991年美國學者Pinter教授等[2]首先提出并聯限制細胞神經網絡(SICNNs),從那時開始，很多學者研究了并聯限制細胞神經網絡，現在它在數據壓縮、模糊信息處理、圖像處理及優化設計等眾多領域有廣泛應用.考慮的時滯并聯限制細胞神經網絡的初始模型如下：cij表示在(i,j)位置的細胞，其在t時刻的狀態方程為：

(1)

其中xij(t)是細胞cij在t時刻的活動狀態函數，Lij(t)表示外部輸入函數，激活函數f(xkl)是連續函數且是正的，Nr(i,j)是細胞cij的一個r-鄰域：

Nr(i,j)={ckl:max(|k-i|,|l-j|≤r,1≤k≤m,1≤l≤n}.

從神經網絡現有的實際應用出發，其收斂的動力學行為研究的較多，人們總認為動力學行為最終獲得的信息是抓得住的形式，既穩定狀態的平衡點，這種穩定狀態的獲取在模式識別、組合優化等方面很有用，如果我們利用的神經網絡模型是穩定的，則我們的目的比較容易達到，所以在神經網絡的設計和分析中，系統的穩定性分析是極為重要的且是非常有實際意義的.

另一方面，在實際模型的設計時,需要考慮一些重要數據的變化范圍和重要的系統參數的取值界限,比如在電路設計中，系統參數的擾動是必須要考慮的具體問題，因此，研究系統在參數的某些變化內的穩定性也就是系統的魯棒穩定性是非常重要的，我們研究如下的并聯限制細胞神經網絡系統

(2)

其中，τ是一個有界非負常數，f(xkl)是連續的函數且是正的、有界的，根據實際情況，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數的情況，根據激活函數的實際意義，研究并聯限制細胞神經網絡時有假設H1：

|f(x)-f(y)|≤μ|x-y|.

文獻[13]給出了系統(2)的一個與時滯無關的全局魯棒穩定性的充分條件，

在實際的網絡應用時時滯往往不是固定的而是隨時間變化的，應該說常時滯僅為變時滯的特殊情況，所以我們研究變時滯并聯限制細胞神經網絡的全局穩定性更具實際意義.

考慮變時滯并聯限制細胞神經網絡系統

(3)

其中，根據實際情況我們認為τ(t)是非負有界的連續函數，即存在正數τ>0，0≤τ(t)≤τ，在文中我們研究Lij(t)=Lij為常數的情況，在以往的研究中[9-10,14]，都是假設f(xkl)是正的連續有界函數，這在某種程度上限制了實際應用，而我們研究具有一般激活函數的情形，我們僅要求If=infx∈Rf(x)存在即可, 這是比較新的嘗試，我們研究并且得到了其全局穩定的充分條件.

1 主要結果

下面給出具一般激活函數的變時滯并聯限制細胞神經網絡的全局穩定性的充分條件.

定理1 若x*是系統(3)的平衡點，當假設H2:

成立時，則

證明若x*是系統(3)的平衡點，則x*滿足

成立，則系統(3)存在唯一的平衡點.

證明假設x=x*是系統(3)的平衡點，那么滿足

所以映射F是映射D到D的連續自映射，由Brouwer不動點定理知映射在D上至少存在一個不動點x=x*，從而系統(3)至少有1個平衡點.

又對任意的X,Y∈D, 有

由H3顯然可得0<λ<1，所以映射F為壓縮映射，由壓縮映射原理知存在唯一的x*滿足F(x*)=x*，因此，系統(3)有唯一的平衡點.

定理3 假設H4：τ(t)可微,且存在正數τ>0，使得0≤τ(t)≤τ，1≥1-τ′(t)≥ζ>0，有

成立，則系統(3)的平衡點是全局魯棒穩定的，其中γ如引理1所規定.

(4)

要證明定理3，只要證明系統(4)的平衡點是全局魯棒穩定的即可.

由Lypounov穩定性理論知系統(4)的平衡點是全局魯棒穩定的,所以系統(3)的穩定點是全局魯棒穩定的，即定理成立.

推論1 若τ(t)=τ為常數，且假設H1,H2,H3,H4成立，則系統(3)的平衡點是全局魯棒穩定的.

2 結語

研究了具有一般激活函數的變時滯并聯限制細胞神經網絡的全局穩定性，這是一個比較新的嘗試，并且給出了全局魯棒穩定的一個充分條件，為其應用提供了更為廣泛的理論依據.

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