包含第二類D-N?rlund數的一些計算公式

王海青

(惠州學院 數學系，廣東 惠州 516007)

(1)

(2)

由(1)和 (2)可得[3,5-6]

(3)

(4)

由(1)和(3)容易得到

(5)

(6)

(7)

第一類和第二類D數滿足下列關系[3]：

(8)

由(5)，(6)和(8)可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

第二類中心階乘數T(n,k)由下列生成函數給出[3,9-10]：

(14)

由(14)得

(15)

T(n,0)=0(n∈N),T(n,n)=1(n∈N0)，T(n,k)=0(n+kodd),T(n,k)=0(k>n或k<0)，

這里N是正整數，且N0=N∪{0}．

由(15)得

(16)

(17)

1 主要結論

定理1 令n∈N0，則

(18)

將n=0,1,2,3代人(18)得到

定理2 令n∈N0，則

(19)

定理3 若n≥k(n,k∈N0)，則

(20)

(21)

由(16)，(17)和定理3可得

定理4 令n∈N，則

(22)

(23)

(24)

定理5 令n∈N0，則

(25)

(26)

2 定理的證明

定理1的證明由(2)和(8)可得

(27)

(27)兩邊對t求導得到

(28)

將k=0代人(28)有

(29)

又

得到

所以

(30)

定理2的證明由(29)和(2)可得

(31)

定理3的證明由(4)和(14)得到

所以

(32)

由(32) 和(8)可以得到 (20)．

另一方面，

所以

(33)

由(33) 和(8)可以得到 (21)，證畢．

定理4的證明由(7)可得

(34)

這里l是整數．

(35)

由(35) ，(9) ，(11)和(21)可以得到 (22)．

(36)

由(36) ，(10) ，(12)和(21)可以得到 (23)．

將k=2n,l=-1代人(34)可得

(37)

由(37) ，(11)和(20)可以得到 (24)．證畢．

定理5的證明將k=2n-1,l=-2代人(34)可得

(38)

由(38) ，(9) ，(12)和(20)可以得到 (25)．

將k=2n-2,l=-3代人(34)可得

(39)

由(39) ，(9) ，(13)和(20)可以得到 (26)．證畢．

參考文獻:

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[10] RIORDAN J．Combinatorial Identities[M]．New York: Wiley,1968．