非線性系統基于李雅普諾夫第一方法的控制律設計

雷 靖，黃俊嬌

(1.云南民族大學 數學與計算機科學學院，云南 昆明 650500；2.云南大學 云南省軟件工程重點實驗室，云南 昆明 650091)

在現實世界中,任何物理系統都具有非線性特性,非線性現象無處不在.鑒于非線性系統的多樣性、復雜性以及與線性系統的本質差別，非線性控制系統的分析與設計已經成為挑戰性很強的研究課題[1].近年來在非線性系統控制領域出現了一些有價值的研究，如Isidon[2]側重于微分幾何方法；文獻[3]中介紹了非線性系統的無源性、耗散性、增益穩定性等問題；文獻[4]中系統地介紹了應用遞歸設計思想；文獻[5-6]側重于跟蹤控制和自適應方法；文獻[7]從應用角度介紹了若干非線性控制方法.與此同時，非線性系統的控制律設計也引起了控制界的極大注意.幾何技術的引入，特別是反饋線性化方法促進了非線性系統控制律設計的發展；一些研究者引入了自適應調節技術去控制參數不確定系統使其穩定,例如模型參考自適應控制[8]，對于復雜的工業對象和過程,引入自適應策略能夠提高控制精度,提高生產效率,降低成本.

對非線性控制系統的研究，到20世紀40年代，已取得一些明顯的進展，主要的分析方法有：相平面法、李雅普諾夫法和描述函數法等，這些方法都已經被廣泛用來解決實際的非線性系統問題.但是這些方法都有一定的局限性，都不能成為分析非線性系統的通用方法.例如，用相平面法雖然能夠獲得系統的全部特征，如穩定性、過渡過程等，但大于三階的系統無法應用.李雅普諾夫法則僅限于分析系統的絕對穩定性問題，而且要求非線性元件的特性滿足一定條件.雖然這些年來，國內外有不少學者一直在這方面進行研究，也研究出一些新的方法，如頻率域的波波夫判據、廣義圓判據、輸入輸出穩定性理論等.但總的來說，非線性控制系統理論目前仍處于發展階段，遠非完善，很多問題都還有待研究解決，領域十分寬廣.

1 問題描述

考慮非線性控制系統

(1)

其中，f:D→Rn是從D?Rn到Rn的連續可微映射.假設原點x=0在D內，且為系統的一個平衡點，即f(0)=0.根據均值定理

(2)

其中zi是連接x與原點之間的線段上的一點.前面的等式對于任意一點x∈D都成立，從而使連接x到原點的線段全部在D內.由f(0)=0可寫出

(3)

因此

f(x)=Ax+Bu+g(x).

(4)

其中

函數gi(x)滿足

(5)

(6)

這就是說在原點的一個小鄰域內，可以用對系統在原點的線性化方程

(7)

其中

(8)

2 李雅普諾夫第一方法控制律設計

2.1 反饋控制

對于非線性系統(1)經過線性化后得到的線性系統(6)設計基于李雅普諾夫第一方法的控制律u，加入控制u使系統變得穩定或漸近穩定.

反饋控制：在自動控制系統中將被控量以負反饋的形式與輸入量進行比較，并利用偏差來不斷消除偏差的控制過程.反饋控制通常可以分為狀態反饋與輸出反饋2種形式.圖1為狀態反饋的閉環系統結構圖.

狀態反饋控制是采用狀態控制律：

u=-Kx.

(9)

其中K∈Rm×n為反饋增益矩陣，則狀態反饋后的閉環系統狀態空間表達式為

(10)

式中：AK=A-BK.本文以狀態反饋為例對系統(1)的線性化方程(7)設計控制律，使其穩定或漸近穩定.

2.2 李雅普諾夫第二方法穩定性判據

穩定是一個系統正常運行的首要條件.若系統不穩定，則必須運用外部控制設法讓其穩定.本文的目的是確定增益矩陣K，使閉環系統(10)漸近穩定.首先，我們需要介紹李雅普諾夫穩定性定理以便證明閉環系統漸近穩定.

設連續時間非線性時變自治系統：

(11)

其中，x為n維狀態.并且，對所有t∈[t0,∞)成立f(0,t)=0，即狀態空間原點x=0為系統孤立平衡狀態.

引理[9-10](李雅普諾夫穩定性定理) 對于定常系統(11),如果存在一個具有連續一階導數的標量函數V(x)，V(0)=0，并且對于狀態空間X中的一切非零x滿足如下條件：

1)V(x)為正定；

則系統的原點平衡狀態是大范圍漸近穩定的.

由此，若選擇李雅普諾夫函數

V(x)=xTPx.

(12)

其中P為待定的對稱正定矩陣，則根據李雅普諾夫穩定性定理，系統(11)漸近穩定的充要條件是李雅普諾夫函數(12)對時間的導數為負定，即

(13)

這樣，我們可以通過確定P和K,使得標量函數V(x)=xTPx對時間的導數是負定的來確定控制律(9).

2.3 控制律設計

對李雅普諾夫函數(12)沿著閉環系統(10)求導，得到

(14)

根據李雅普諾夫穩定性定理，欲使閉環系統(11)漸近穩定，式(14)需滿足條件(13)，也即存在一個正定對稱矩陣P，使得

(A-BK)TP+P(A-BK)<0.

(15)

由于不等式方程(15)為P和K耦合的非線性矩陣方程，通常難以求解.為此，我們利用線性矩陣不等式方法先將(15)式展開寫成

PA+ATP-KTBTP-PBK<0.

(16)

對(16)式兩邊左乘P-1、右乘P-1，則得到對稱矩陣

AP-1+P-1AT-(P-1KT)BT-B(KP-1)<0.

(17)

記

X=P-1>0，Y=KP-1.

(18)

得到

AX+XAT-YΤBT-BY<0.

(20)

不等式(20)是一個關于矩陣變量X、Y的線性矩陣不等式.

如果能從(20)式確定X、Y(X是正定對稱矩陣)，則Y=KP-1是系統(7)的一個鎮定狀態反饋增益矩陣，X-1=P>0是閉環系統(11)相應的一個李雅普諾夫矩陣.這樣，我們得到本文的主要結果：

定理考慮非線性定常系統(1)，則狀態反饋控制(9)能夠使非線性系統(1)在原點漸近穩定，其中反饋增益K和李雅普諾夫矩陣P由(20)確定.

證明將狀態反饋控制(9)代入系統(1)，根據(4)得到原點線性化閉環系統

(21)

由(21)確定反饋增益K及李雅普諾夫矩陣P.則李雅普諾夫函數(12)沿(21)的導數為

(22)

由(15)可知(A-BK)TP+P(A-BK)<0，令(A-BK)TP+P(A-BK)=-Q，其中Q為正定矩陣，則(22)為

(23)

3 仿真示例

考慮非線性系統

(24)

其開環系統狀態軌跡如圖2所示.設計控制律u=-2x2對系統(21)進行狀態反饋控制后的狀態運動軌跡圖如圖3所示.

從圖2我們可以看出，系統在沒有施加控制時(即開環系統)，其狀態呈發散趨勢，系統為不穩定.但從狀態反饋控制律作用下閉環系統的狀態響應圖3可以看到，此時的系統狀態隨時間的增加逐漸趨向于0，系統是漸近穩定的.由此說明本文提出的非線性連續系統基于李雅普諾第一方法的控制律設計是有效的.

4 結語

本文研究了基于李雅普諾夫第一方法對非線性連續系統進行了線性化，然后利用李雅普諾夫穩定性定理、運用求解矩陣不等式的方法設計了狀態反饋控制律.仿真示例表明，該控制律有效鎮定了原不穩定系統，從而證明了該方法的有效性和簡便性.

參考文獻:

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[5] MARINO R, TOMEI P. Nonlinear control design：geometric, adaptive and robust[M]. London:Prentice Hall International (UK) Ltd, 1996.

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[9] 鄭大鐘.線性系統理論[M].2版.北京：清華大學出版社，2012.

[10] 胡壽松.自動控制原理[M].4版.北京：科學出版社，2008.