常數K值法在微分中值定理證明中的應用

夏軍劍 劉俊峰 李維偉

（軍事交通學院基礎部,天津 300161）

在微積分中有關微分中值的問題是一個難點,其證明往往要構造一個輔助函數，所以選擇一個合適的輔助函數是問題的關鍵。對這一類的問題，常數K值法是比較直觀，同時也非常簡便的方法，只需按照一個固定的套路證明就行了。

1 常數K值法概述

一般待證等式中通過分離，一端是含ξ的抽象函數(或其低階導函數)，另一端是只與區間端點a、b及其函數值、導數值有關的常數，常數值部分是對稱的或輪換對稱的，我們可以統一按下述程序證明：

（1）從結論中分離出常數部分，令它等于K，構造一個含K的等式。

（2）對含常數K的等式進行適當變形，把b換為x，再將右端移于左端，并令左端為F（x）,此F（x）即為所構造的輔助函數。

（3）由 K 的取法及 F（x）的作法可知，F（a）=F（b），對 F（x）使用羅爾定理，可以得到 F′（ξ）=0。

若原式中含有二階導數,可由F′（ξ）=0解出K后,再用一次中值定理,就可得到欲證的結果,若含有在中值點處更高階的導數,可仿此繼續,直到所要的結果。

2 應用舉例

例1 設在上連續，在內可導，試證明存在，使得

證明：

2）令 F（x）=xf（x）-af（a）-K（x-a）

3）F（a）=F（b）=0，由羅爾定理，

存在 ξ∈（a，b），使得 F′（ξ）=0

而 F′（x）=f（x）+xf′（x）-K，所以，F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ）-K=0，

所以 K=f（ξ）+ξf′（ξ），即命題成立。

例 2 設 f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，試證明存在ξ∈（a，b），使得

證明：

3）F（a）=F（b）=0，由羅爾定理，

存在 ξ∈（a，b），使得 F′（ξ）=0

所以 K=f（ξ）-ξf′（ξ），即命題成立。

例 3 設 f″（x）在[a，b]上存在，a

證明：

則（b-c）f（a）+（c-a）f（b）+（a-b）f（c）+K（a-b）（b-c）（c-a）=0

2）令 F（x）=（x-c）f（a）+（c-a）f（x）+（a-x）f（c）+K（a-x）（x-c）（c-a）

3）F（a）=F（b）=F（c）=0，由羅爾定理，

存在 ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得 F′（ξ1）=F′（ξ2）=0

由羅爾定理，存在 ξ∈（ξ1，ξ2） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0。

而 F″（x）=（c-a）f″（x）-2K （c-a）， 所以 F″（ξ）=（c-a）（f″（ξ）-2K）=0

例 4 設 f″′（x）在[a，b]上存在，試證明存在 ξ∈（a，b），使得

證明：

3）F（a）=F（b）=0，由羅爾定理，

存在 η∈（a，b），使得 F′（η）=0

所以 F′（η）=F′（a）=0，由羅爾定理，

存在 ξ∈（a，η） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0

例 5 若 f（x）∈C（a，b），且 f（x）∈D（2）（a，b），則必存在 ξ∈（a，b），使得

證明：

3）F（a）=F（b）=0，由羅爾定理，

存在 c∈（a，b），使得 F′（c）=0

例 6 若 a

證明：

則（b）-f（a）-（b-a）f′（a）-K（g（b）-g（a）-（b-a）g′（a））=0

2）令 F（x）=f（x）-f（a）-（x-a）f′（a）-K（g（x）-g（a）-（x-a）g′（a））

3）F（a）=F（b）=0，由羅爾定理，

存在 η∈（a，b），使得 F′（η）=0

而 F′（x）=f′（x）-f′（a）-K（g′（x）-g′（a））

所以 F′（η）=F′（a）=0，由羅爾定理，

存在 ξ∈（a，η） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0

即 F″（ξ）=f″（ξ）-Kg″（ξ）=0,所以 K=，原命題成立。

[1] 華東師范大學數學系編.數學分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[2] (蘇)菲爾金哥爾茨著，昊新仁等譯.數學分析原理(第一卷第一分冊)[M].北京:人民教育出版社，1979.

[3] 李國成.淺談利用微分中值定理解題的方法和技巧［J］.成都教育學院學報,2004（7）.

[4] 朱崇軍,徐侃.微分中值定理應用中輔助函數的構造［J］.高等函授學報（自然科學版），2008(2).