巖土工程非線性位移時間序列分析的灰色自記憶模型

鄧金鵬，黃 東，謝學斌

(1.十一冶建設集團有限責任公司, 廣西 柳州市 545007；2.中國有色金屬長沙勘察設計研究院有限公司，湖南 長沙 410011；3.中南大學 資源與安全工程學院， 湖南 長沙 410083)

0 引 言

目前用于巖土工程非線性位移時間序列預測的方法或模型較多，主要有：時間序列分析方法[1-2]，如AR模型、ARMA模型等；灰色理論預測[3-4]，如GM(1，1)模型；智能算法[5-6]，如人工神經網絡BP算法、支持向量機方法；非線性混沌時間序列分析[7]；組合預測方法，如灰色─神經網絡模型[8]、神經網絡─時間序列分析模型[9]、灰色─支持向量機模型[10]等。上述方法或模型各有其適用性與優點，但也存在一些不足。比如時間序列分析AR模型或ARMA模型模型本質上是線性的，不能反應位移時間序列非線性特征。人工神經網絡預測方法在學習樣本數量有限時，精度難以保證，學習樣本數量多時，又可能陷入“維數災難”[11]。灰色GM(1,1)模型的建模機理實際上是一個指數模型，而位移監測資料的時間序列其累加生成未必一定具有指數規律，事實上是常常不具有指數規律[11-12]。因此，研究巖土工程非線性位移時間序列建模預測新方法，提高位移時間序列的預測精度，對于巖土工程的穩定性分析預報與災害防治，具有較重要意義。

本文將巖土工程非線性位移隨時間的演化視為動力學系統的演化問題，基于動力系統自記憶性原理[13]，在灰色系統理論的基礎上，利用歷史量測數據反演得到系統灰色微分方程，以此作為微分動力核，建立位移預測的灰色自記憶模型，并進行了工程實例分析研究。結果表明，本文提出的灰色自記憶模型具有良好的預測精度。

1 動力系統自記憶原理與建模方法

1.1 動力系統自記憶原理

設系統演化的動力微分方程為:

(1)

式中t、r、x分別為時間、空間和變量，λ為參數。定義記憶函數為β(r,t)，若假設固定在某一具體空間點ri上，則可以在F、β的函數式中省寫r。在Hilbert空間定義的內積運算為：

(2)

設有某一時間集合T=[t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t]，其中時間序列間隔為Δt，t0是預測的初始時刻，t為未來的預測時刻。t-p,…,t0是歷史觀測時刻(次)，預測的回溯階數為p。引進記憶函數β(t)，用上述Hilbert空間定義的內積運算對動力微分方程式(1)在區間[t-p,t]上進行積分運算，可得下式：

(3)

對(3)式等號左邊的所有積分項分別應用分部積分原理及微分中值定理并化簡，可得：

(4)

1.2 自記憶方程的離散數值預測模型

(5)

(6)

式中,αi=(βi+1-βi)/βt，θi=βi/βt。求出記憶系數αi，θi，則可以用(6)式進行模擬、預測和預報。

1.3 自記憶模型中記憶系數的求解

可采用最小二乘法求解(6)式中自記憶模型的記憶系數αi，θi，具體求解方法如下。

設對于一組觀測樣本資料，其中L個時刻的數據為xt1,xt2,xt3,…,xtl，定義如下向量與矩陣：

則式(6)的矩陣形式為：

(7)

W=(ZTZ)-1ZTXt

(8)

2 巖土工程位移時間序列灰色微分方程的建立

在等時間距情形下，設巖土工程位移時間序列為x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),···,x(0)(n))，對該數據序列做一次累加后得到1—AGO序列，即:

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),···,x(1)(n))

(9)

以1—AGO數據序列為基礎，基于灰色系統理論，可建立位移灰色微分方程為:

(10)

其中a、b為灰參數，可由最小二乘估計求得：

(a,b)T=(BTB)-1BTQ

(11)

式中：

求解微分方程，可得：

(12)

(13)

其中k=1,2,...,n-1。

將求得的灰色微分方程(式10)寫成如下形式:

(14)

對式(14)運用自憶性原理即可建立灰色自記憶模型。

3 巖土工程位移時序灰色自記憶預測模型的建模步驟與方法

(1) 監測收集巖土工程位移時間序列的詳細資料。為便于建模和提高精度，要求時間序列資料有足夠建模的長度，以及具有等時間距的特征。

(3) 建立巖土工程位移預測的灰色自記憶模型。運用動力系統自記憶原理，將步驟(2)反演得出的灰色微分方程變成一個回溯階數為p的自記憶方程。將自記憶方程離散化，利用已有的位移監測資料，采用最小二乘法，求出記憶系數，從而建立位移預測的灰色自記憶模型。建模時，可通過試擬合的方法，確定最佳回溯階數p。

4 工程實例分析

本文選取了文獻[14]中溫州樂清市旭陽路工程勝利塘段路基位移沉降數據進行建模與比較分析。溫州樂清市旭陽路工程的勝利塘段位于圍墾僅數年的濱海淤積灘涂土上，最大路堤高度2.8 m，大部分路堤高度為2.2 m左右，路基土主要為淤泥質粘土和淤泥，屬于典型軟土地基。該路段的施工時間為2001年10月至2002年6月中旬。加載后某一斷面的沉降觀測數據如表1所示，表中y(k)為地基累積沉降值，Δy為5 d的地基沉降增量[14]。

表1 實際觀測地基沉降數據[14]

日期/d序號y(k)Δy1251353.61.01351456.12.51451558.62.51551661.12.51651765.14.01751868.93.81851972.73.81952075.93.22052179.53.62152282.32.82252385.33.02352489.13.8

取1-19號觀測資料作為建模樣本，20-24號觀測資料為預測樣本，運用灰色系統理論求得地基沉降量的灰色G(1,1)模型的灰參數a、b以及一階微分方程為:

選擇擬合誤差最小的回溯階p=1，得到地基沉降預測灰色自記憶方程:

用所建模型對3-19號位移值進行擬合計算，因回溯階的原因，1號和2號位移值沒有擬合值，對21-24號位移值進預測。模型擬合值與實測值對比見圖1，位移預測結果見表2。

圖1 溫州樂清市旭陽路路基沉降實測值與模型計算值對比

序號實測值/mm預測值/mm絕對誤差/mm相對誤差/%2075.9076.060.160.222179.5078.90-0.60-0.762282.3083.220.921.122385.3084.86-0.44-0.522489.1088.38-0.72-0.80

分析上述溫州樂清市旭陽路勝利塘段路基沉降灰色自記憶模型擬合與預測結果可知，參與擬合計算的17個數據中，相對誤差中最大值為-15.37%，最小值為0.005%，平均相對誤差值為3.25%。其中13個擬合值的相對誤差均小于4%，只有兩個擬合值的相對誤差大于9%。模型預測數據的最大相對誤差為1.12%，最小相對誤差僅為0.21%，平均相對誤差為0.68%。上述路基位移沉降的模擬與預測實例分析結果表明，本文提出的非線性位移時間序列灰色自記憶模型能很好的模擬和預測路基沉降的變形規律與發展趨勢，模擬和預測結果都具有較高的數值精度，能夠滿足路基沉降預測工程實際的需要。

5 結 語

本文基于動力系統自記憶原理和灰色系統理論，建立了巖土工程位移預測灰色自記憶模型。路基位移沉降實例分析研究表明，本文提出的位移預測灰色自記憶模型具有較好的擬合和預測精度，從而為巖土工程非線性位移時間序列分析與預測預報提供了一種新方法。

參考文獻：

[1]周家文，徐衛亞，石安池．高邊坡開挖變形的非線性時間序列預測分析[J]．巖石力學與工程學報，2006，25(S1)：2795-2800.

[2]尹光志，岳 順，鐘 燾,等. 基于ARMA 模型的隧道位移時間序列分析[J].巖土力學，2009，30(9)：2727-2732.

[3]胡慶國,張可能, 何忠明，等. 灰色預測模型在基坑變形中的應用[J].礦冶工程，2006，26(4)：13-18.

[4]霍玉華. 隧道圍巖變形量預測的灰色模型應用比較研究[J].北京交通大學學報，2006，30(4)：42-45.

[5]趙洪波，馮夏庭．非線性位移時間序列預測的進化-支持向量機方法及應用[J]．巖土工程學報，2003，25(4)：468-471.

[6]熊孝波，桂國慶，鄭明新，等. 基于免疫RBF 神經網絡的深基坑施工變形預測[J].巖土力學，2008，28(S)：598-602.

[7]劉勇健，張伯友．混沌時間序列在邊坡位移預測中的應用[J]．遼寧工程技術大學學報，2007，26(1)：74-76.

[8]吳益平，滕偉福，李亞偉,等 . 灰色-神經網絡模型在滑坡變形預測中的應用[J].巖石力學與工程學報，2007，26(3)：632-636.

[9]劉 曉，曾祥虎，劉春宇．邊坡非線性位移的神經網絡─時間序列分析[J]．巖石力學與工程學報，2005，24(19)：3499-3504.

[10]馬文濤.基于灰色最小二乘支持向量機的邊坡位移預測[J].巖土力學，2010，31(5)：1670-1674.

[11]劉開云，喬春生，騰文彥．邊坡位移非線性時間序列采用支持向量機算法的智能建模與預測研究[J]．巖土工程學報，2004，26(1)：57-61.

[12]張玉祥．巖土工程時間序列預報問題初探[J]．巖石力學與工程學報，1998，17(5)：525-558.

[13]曹鴻興．動力系統自憶性原理─預報和計算應用[M]．北京：地質出版社，2002.

[14]王士金. 時間序列及貝葉斯模型在沉降預測中的應用[D]. 浙江：浙江大學，2005.