基于ARMA時序分析模型的巷道圍巖變形預(yù)測

卜慶為

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院， 內(nèi)蒙古 包頭市 014010)

礦井建設(shè)中，根據(jù)巷道的服務(wù)范圍把巷道分為開拓巷道、準(zhǔn)備巷道和回采巷道，而每一種巷道具有不同的服務(wù)年限，所以各種巷道的支護技術(shù)和方法就會有不同考慮。近年來國內(nèi)外的專家學(xué)者對軟巖巷道進行了大量的研究工作，并取得了許多成果，但是不少礦井的支護方式在很多種情況下并沒有充分考慮巷道服務(wù)年限的影響，由此往往增加巷道的維修工作量。

近些年來，廣大采礦研究學(xué)者和工程技術(shù)人員期望可以從巷道變形的監(jiān)測數(shù)據(jù)中找到其中蘊含的規(guī)律，以便預(yù)測將來的巷道變形。隨著礦井向深部開采，巷道圍巖流變的控制成為深部礦井巷道支護的研究熱點[1]，應(yīng)用時間序列分析法[2-3]預(yù)測巷道圍巖變形量[4-9]，可以更好地判斷巷道支護工程是否滿足巷道在服務(wù)年限內(nèi)正常生產(chǎn)的要求；對于高應(yīng)力巷道采取一次讓壓二次抗壓的支護方法，該支護方法也需要圍巖變形的時間參考依據(jù)，以確定二次支護的最優(yōu)時間段；圍巖變形時間序列分析，利用有限的已觀測數(shù)據(jù)對巷道服務(wù)期限內(nèi)圍巖變形進行預(yù)測，不僅反映巷道在服務(wù)期限內(nèi)的圍巖變形規(guī)律，還可以對服務(wù)期限內(nèi)各個時刻的圍巖變形量實現(xiàn)預(yù)報，最終起到“新奧法”支護技術(shù)的監(jiān)測與及時反饋的作用。

1 巷道圍巖變形觀測

1.1 巷道圍巖徑向位移的數(shù)學(xué)模型

巷道圍巖變形與圍巖條件和圍巖變形因素有關(guān)。從圍巖體在應(yīng)力重分布過程中變形特征的角度分析，Burgers本構(gòu)模型可以接近實際描述圍巖在各個蠕變階段變形特征，是較為廣泛使用的巖石流變本構(gòu)模型。本文以Burgers本構(gòu)模型建立巷道圍巖徑向位移的數(shù)學(xué)模型。

由彈性力學(xué)方法求解開挖巷道的圍巖徑向位移公式，本文直接引用彈性軸對稱問題結(jié)果，彈性體巷道圍巖的徑向位移公式為：

根據(jù)巖體流變力學(xué)[1]得知，對于粘彈性體的井巷工程問題，借助拉氏變換，將彈性常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎硰椥詭r石的粘彈性常數(shù)，再通過拉氏變換的反變換進而求得粘彈性井巷工程問題中的粘彈性解。

1.2 基于ARMA的巷道圍巖時序分析模型

運用高斯-牛頓法對擬合函數(shù)參數(shù)非線性回歸分析，基本思想是對擬合函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開，通過迭代修正擬合函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)最小二乘法原理使擬合函數(shù)的參數(shù)逼近非線性回歸模型的最佳參數(shù)值，即：

Y=f(t,a,b,c,d)

令g1，g2，g3，g4分別為擬合函數(shù)參數(shù)a，b，c，d的近似值，得：a=g1+δ1;b=g2+δ2;c=g3+δ3;d=g4+δ4。

對擬合函數(shù)Y進行泰勒級數(shù)展開，取其線性項，得：

Y=f(ti,g1,g2,g3,g4)+Σf′(ti,g1,g2,g3,g4)](j=1,2,3,4)

最小二乘原理，建立目標(biāo)函數(shù)Q：

Q=Σ[y-Y(t)]2，

從而得E矩陣：

E=(F′TF′)-1·(F′TW)

由此, 解得擬合函數(shù)的參數(shù)誤差δ1,δ2,δ3,δ4帶入擬合函數(shù)的參數(shù)近似值g1，g2，g3，g4中，通過迭代計算以求得最佳擬合函數(shù)，進而得擬合函數(shù)Y(t)和誤差集合W，然后集合W進行自回歸分析(AR)。

圍巖變形影響因素復(fù)雜多變，但考慮到t時刻的數(shù)值不僅與該時刻以前的自身值有關(guān)，同時還與其過去時刻的自身擾動項存在一定關(guān)系。因此，建立給定自回歸移動平均模型(差分方程形式)：

式中：wi為擬合函數(shù)誤差集合W中的元素，qi為自回歸(AR)的系數(shù)，pi為移動平均(MA)的系數(shù)，ri為擾動項。

對于自回歸(AR)模型，采用廣泛使用的最小二乘法估計自回歸系數(shù)，其精度相對矩估計的精度要高。對于移動平均(MA)部分中ri是不可觀測的，因此該模型系數(shù)(qi，pi)采用非線性最小二乘原理，借助迭代法求得線性化近似解。公式如下：

設(shè)qi=qi0+αi，pi=pi0+βi，得S矩陣，于是有：

式中：w*和r*分別為wi和ri的一維列矩陣。根據(jù)非線性最小二乘，列目標(biāo)函數(shù)，求解近似模型參數(shù)，公式為：

S=(QPT·QP)-1·(QPT·Rt)

將計算得到的α和β代入模型系數(shù)q、p中，循環(huán)迭代得圍巖變形的時間序列模型參數(shù)。

1.3 ARMA模型圍巖變形預(yù)測過程

設(shè)t時刻的下一時間間隔v時的預(yù)測值為w(v)，當(dāng)v=1時,該模型差分方程：

當(dāng)v=2時，則模型差分方程為：

對于rt+v，由于w(v)是對未來時刻的期望值，因此在預(yù)測過程中令預(yù)測值的擾動項rt+v=0，得一般式為：

至此，通過w(v)公式，通過由t時刻等以前觀測數(shù)據(jù)構(gòu)建的ARMA(m，n)模型預(yù)測任意等時間間隔的預(yù)測值，并與擬合函數(shù)Y構(gòu)成實際預(yù)測值Zt。將擬合函數(shù)和ARMA(m，n)模型一同編制成為程序，這樣就可以獲得Zt=Y(t+h·v)+w(v)；其中h為間隔時間。

2 工程實例

測站布置在永華一礦12021工作面上、下巷，前期觀測主要在12021工作面下巷。測站布置緊跟掘進工作面，距掘進工作面3 m遠(yuǎn)位置。通過測站監(jiān)測數(shù)據(jù)，對頂板下沉量進行時間序列預(yù)測分析。

如表1 所示，已知數(shù)據(jù)觀測時刻為2 d，確定模型參數(shù)所用數(shù)據(jù)時刻1～8，ARMA時序預(yù)測時刻9～12。如圖 1 所示，通過對比分析，可以看出：實測數(shù)據(jù)圍繞著預(yù)測數(shù)據(jù)發(fā)生上下波動。實際工程中，主要是由于巷道圍巖自身復(fù)雜構(gòu)造條件等因素，如節(jié)理、裂隙、圍巖局部不均勻等因素，所以根據(jù)圍巖的本構(gòu)方程，結(jié)合時間序列分析方法進行分析，出現(xiàn)實測數(shù)據(jù)圍繞著預(yù)測數(shù)據(jù)發(fā)生上下波動的現(xiàn)象，但誤差變化規(guī)律具有明顯的趨勢性。分析后的該巷道時間序列分析預(yù)測公式為：

表1 工程實例數(shù)據(jù)比較

3 結(jié) 論

(1) ARMA時間序列預(yù)測的數(shù)學(xué)模型生成的曲線初期會呈現(xiàn)出一定的抖動、不平穩(wěn)的特征，隨時間的向前推移，預(yù)測曲線逐漸平穩(wěn)。說明開挖巷道圍巖自身會自發(fā)地通過圍巖體變形來適應(yīng)圍巖所處的圍巖應(yīng)力環(huán)境，通過逐漸變形來實現(xiàn)自穩(wěn)。

(2) 基于時間序列預(yù)測巷道圍巖變形時序預(yù)測法相對單一的非線性函數(shù)數(shù)值擬合，不僅考慮到整體的圍巖變形量與巖石參數(shù)和時間存在的非線性關(guān)系，而且強調(diào)了圍巖變形受到來自圍巖體內(nèi)部自身復(fù)雜構(gòu)造條件對圍巖變化的干擾；當(dāng)觀測數(shù)據(jù)充足時，可以估算最終的圍巖變形量以及自穩(wěn)變化所經(jīng)歷的時間，否則會導(dǎo)致較大誤差，不能正確反映應(yīng)力重分布的過程，圍巖變形的實際情況。

圖1 工程實例實測數(shù)據(jù)與預(yù)測值數(shù)據(jù)比較

(3) 由于圍巖變化所受到的干擾與其自身圍巖條件、應(yīng)力環(huán)境、開挖和支護工藝、巷道斷面等諸多因素都有關(guān)系。不同的巷道圍巖條件，圍巖變形具有其自身的獨特性，利用時間序列模型可以建立不同巷道圍巖條件下該巷道所特有的圍巖變形隨時間變化的特征曲線；隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的更新，巷道變形特征曲線也會得到更新，進而更加貼近實際情況，不至于因為圍巖巖性參數(shù)的差異而產(chǎn)生較大誤差。

(4) 通過時序預(yù)測分析法和巷道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)建立圍巖變形時序分析模型，以現(xiàn)場的支護-圍巖相互作用的共同體作為研究對象，更加貼近工程實際對巷道服務(wù)年限內(nèi)的巷道圍巖變形量進行預(yù)測，及時反饋給支護設(shè)計者調(diào)整支護參數(shù)、優(yōu)化支護設(shè)計方案。

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