單純空間相鄰域及染色的研究

張士慶 ，張 號

(1.遼寧工程技術大學機械工程學院，遼寧 阜新123000；2.中國礦業大學銀川學院，寧夏 銀川 750011；3.廣東美的廚衛電器制造有限公司，廣東 佛山 528300)

在“3維度”空間里的一堆肥皂泡，兩兩相鄰的最大數目是4。若要將其染色，須4+1個顏色。將它們映射到2維度面上，就是四色問題[1-2]；映射到更多維度空間，就是近、現代理論物理學家、天文學家關心的宇宙及多個平行宇宙的幾何模型問題[3-4]。多維度空間問題超出了人類的感知能力、觀察能力和想象能力，常用“抽象幾何”去表達[5-6]。“實幾何”在平面上得到充分的演繹，但在空間卻遇到很大的障礙。其實，直觀是問題的源泉，也是追求的終極目的——人們總是在用各種手段和方法將感知不到的事物轉化為直觀的表象。因此，本文采用計算機3D模擬，用豐富的色彩，用“投影降維”的方法，最大限度賦予它相對直觀的分析研究，希望使復雜的空間問題一目了然。

為了方便閱讀和分析，本文盡量采用傳統符號表述，例如，O-X1,X2, …,Xn：表示笛卡爾直角坐標系；D：表示維度；S：表示圓球；1DS、2DS、3DS…：分別表示圓、二維度球面、三維度球面…；結構式1DS2D、2DS3D、3DS4D…：分別表示圓面(圓圈及內部，屬于二維圖形)、球體(二維度球面及內部，屬于三維度圖形)、三維度球體(三維度球面及內部，屬于四維度圖形)…；H2、H3：分別表示投影平面、投影超平面(三維歐氏空間作為投影面)；平面的上、下(或球面2DS、3DS的內、外)——即空間反演平面(或2DS、3DS)；同時又大量制作直觀的計算機模擬空間彩色表象，幫助讀者去理解語言無法準確表達又難以想象的空間關系。除特別需要，一般不再說明。

1 單純空間

單純空間定義：處處同質的空間。歐幾里得空間、黎曼球面空間沒有對大小、方向設定條件，空間內的每一個點(元素)的所有微分性質都相同。將歐幾里得平直空間和黎曼球面擴張至無窮遠界(注：從1維度到4維度分別是點、線、面、體)[7-9]，它們就沒有實質區別，稱為射影空間，見圖1所示。歐幾里得平直空間(注：黎曼球面空間的特殊情況：半徑R=∞)和黎曼球面空間統一起來，稱為單純空間。

圖1 單純空間

本文定義“單純空間”，是以直觀的射影幾何的方法去研究特殊的空間關系[9-10]，避免繁雜的幾何體系以及抽象幾何設定的假設、定理、公設，限制對實質問題的簡潔討論，也有利于對空間的兩兩相鄰域、空間的N+1染色定理的研究。同時，也想與宇宙學“各向同性空間”一詞建立某些聯想，使它的應用擴展到諸如建立“標準宇宙”幾何模型等類問題上。

本文討論的問題僅限于單純空間。多數情況下，“單純空間”又特指有限的、具體的球面。

2 2DS3D相鄰域實驗

相鄰域是指一個低維度空間將一個高維度空間一分為二，兩者互為反演，拓撲等價[11]。例如平面上的一個圓，將平面分為內、外兩個相鄰部分；一個球面將空間分為內、外兩個相鄰部分(分別見圖1左圖、右圖所示)。這兩個相鄰部分存在公共實質邊界，稱為兩個相鄰域，兩者互為反演，拓撲等價。

2DS3D(球體)相鄰域定義：兩個及兩個以上球體相交，球體彼此間有一個實質共有面，稱其相鄰(球面彼此間有一段實質共有線——表面交線)。

2DS3D(球體)兩兩相鄰域定義：兩個及兩個以上球體相鄰，且每個球體都與其它所有球體相鄰，稱其為兩兩相鄰域(簡稱：相鄰域)。

以上定義可以推廣到更高維，詞語相近。以下不再贅述。

在3DS空間，做2DS3D相鄰域計算機模擬實驗，將分析結果分類列表，如圖2所示。上排圖形(a)～(d)分別是無序的2DS3D球組合、四個有序的兩兩相鄰的2DS3D球組合(以正四面體頂點為球心)、六個有序的2DS3D球組合(以正八面體頂點為球心)、八個有序的2DS3D球組合(以正六面體頂點——立方體頂點為球心)[12](注：圖2(a)～(d)的上排圖是實體造型渲染圖，下排圖是線網顯示圖)；圖2(e)～(f)分別是4個有序的兩兩相鄰的2DS3D球組合的結合過程、相鄰域演變過程——隨著白球變大，改變了紅、藍兩球相鄰域關系。

圖2 2DS3D相鄰域模擬實驗圖

兩個球體相鄰，有一條實質表面交線；3個球體兩兩相鄰，彼此間有三段實質表面交線，并匯聚于一點，即圖2(b)和圖2(e)中a點處所示。實驗表明兩兩相鄰域最大數是4，即圖2(b)和圖2(e)所示。若加上背景空間，就是4+1。

3 2DS的映射分析法

設2D球面2DS，球心O，半徑為r。以O為原點建立一個任意直角坐標系O-X1，X2，X3。設過球心，垂直于X3的平面為投影面H2，圖3上排左圖所示。球面上的所有平行于H2的圓，稱為等高的緯線圓1DS。高度為l的等高的緯線圓1DS=f (r，l)。每個等高的緯線圓1DS正投影到H2上，就是反映自己實際形狀的1DS圓。將它們都正投影到H2上，形成一個“二重圓域”，圖3上排中圖所示。上半球面投影到H2上表面(紅線所示)，下半球投影到H2下表面(綠線所示)，得到圖3上排右圖所示正投影圖形。這是一一對應的射影變換。由于是正投影，保留了水平部分的度量性。球面2DS與平面H2建立起映射關系。2DS和H2平面上的圖形互為映射關系。圖3下排圖所示，由P向射影，球面上的紅、綠、藍3個兩兩相鄰域圖形與H2上的紅、綠、藍3個兩兩相鄰域圖形構成一一對應的映射關系。可以由H2平面上的這個圖形去分析2DS球面上的圖形，這一方法稱為映射分析法(或投影降維分析法)。

圖3 映射分析法

4 2DS3D兩兩相鄰域最大數4+1

圖4上排左圖表明平面上的兩兩相鄰域最大數是3+1，在文獻[2]中已經作了嚴格證明。

圖4上排右圖是2DS3D及3DS(空間)的兩兩相鄰域的幾何證明圖。2DS上與H2上的相鄰域圖是互為映射關系，因此只能在2DS(圖中紫色的2DSⅡ)球面上，由三個兩兩相鄰域圖Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ向外(或內——內、外無實質區別)空間做3個球體(圖4下排左圖、中圖紅、綠、藍3球所示)；構成4個2DS3D兩兩相鄰域：2DSⅠ(紅色球)、2DSⅢ(綠色球)、2DSⅣ(藍色球)及2DSⅡ(紫色的基礎球)。這恰好與實驗結果一致。假設有第5個2DS3D與這4個2DS3D都相鄰，因為3個球體兩兩相鄰，彼此間有3段實質表面交線，并匯聚于1點，因此這第5個2DS3D表面與2DSⅡ(紫色球面)的交線必須與紫線(2DSⅠ與2DSⅡ交線)、綠線(2DSⅢ與2DSⅡ交線)、藍線(2DSⅣ與2DSⅡ交線)均有交點(圖3下排圖及圖4所示)，這是不可能的。詳細論證參見文獻[2]。

圖4 兩兩相鄰域

傳統意義平面上的兩兩相鄰域問題，表面上是平面問題，實質是3D射影空間內的2維度平面問題。因為，沒有3D射影空間，就不存在2DS變換問題；同時，人也無法去觀察、分析2維度平面問題。平面上的兩兩相鄰域最大數是“3+1”，其中“3”是指平面上最多只能做出3個都與背景平面(空間)相鄰的兩兩相鄰的2維度圖形(圖4上排左圖所示)；“+1”是指2維度的背景平面(因為2維度圖形不可能無窮大)。

空間中由4個2DS3D構成的兩兩相鄰域的3維度圖形(模型)，是4D射影空間內的3維度空間問題，實際兩兩相鄰域最大數是4+1，其中“+1”是指3維度的背景空間。

圖4下排右圖，2DSⅠ、2DSⅡ、2DSⅢ、2DSⅣ是4個2DS3D構成的兩兩相鄰域在H2上的投影示意圖，2DSⅤ是背景空間。

5 三維球面的可視模型

圖5上排圖是在3DS空間的2DS投影降維法。圖5下排圖是在4DS空間的3DS一次投影降維。與3DS空間的2DS投影降維法相似，設過4DS空間的3DS球心O為原點，建立一個任意直角坐標系O-X1，X2，X3，γ(注:γ即X4)，以絕對垂直于γ的超平面為投影超平面H3[13]，圖5下排左圖所示(注：目前還沒有制作4維軸測圖的公認的理論、方法和技術)。3DS球面上，所有平行于H3的2DS(圓球面)稱為等高的緯面圓球2DS(圖上僅畫出上、中、下三個2DS，中間大的2DS是3DS球面在H3上的截影)。在半徑為R的3DS球面上，距離H3高度為L的等高的緯面圓球2DS=f (L，R)。每個等高的緯面圓球2DS正投影到H3上，就是反映自己實際形狀的2DS球面。將它們都正投影到H3上，形成一個“二重圓球體域”。它的結構是：由以球心向外，一層一層2DS球面所構成，圖5下排中圖(正視)、右圖(側視)所示(前、上面剖去1/8，以便觀看)；第4維γ，投影為一個點，即球心；上半3DS球面投影到H3“上表面”上(上、下、內、外無實質區別)——各球面彩色外殼所示，下半3DS球面投影到H3“下表面”上——各球面灰色內面所示。這是一一對應的射影變換，由于是正投影，保留了水平部分的度量性。3DS球面與超平面H3建立起映射關系。3DS上的圖形映射到H3超平面上，形成一一對應的圖形。可以由H3超平面上的這個圖形去分析3DS球面上的圖形。

圖5 三維球面及其投影模型

6 N維空間兩兩相鄰域最大數定理

單純空間兩兩相鄰域最大數定理：在N維度單純空間，做出N-1維度的兩兩相鄰單純空間的最大數是N+1，N+1之“+1”指的是背景空間。簡稱相鄰域定理。證明如下：

由“4 2DS3D兩兩相鄰域最大數4+1”所證：在3維度射影空間可以在2維度球面(或平面)上做出最多3個都與背景球面相鄰的兩兩相鄰的2維度圖形(封閉線確定的面積，即1DS2D)，形成3+1個兩兩相鄰的2維度圖形(其中之一是背景圖形，圖3下排圖、圖4上排圖所示)；將其映射到4維度射影空間，由上述3+1個具有2維度的1DS2D兩兩相鄰域圖形為基礎，可以做出最多4個都與背景球面相鄰的3維度兩兩相鄰的2DS3D圖形(封閉球面確定的體積)，形成4+1個兩兩相鄰的3維度圖形(其中之一是背景圖形，圖4下排圖所示)?！凑沼傻途S度到高維度構成的一一對應的射影變換，映射到更高維度空間，可以歸納為：設N-1(注：N≥5)維度射影空間成立，即：在其內部可以建立最多N-1個(N-2)維度兩兩相鄰域球面圖形，其兩兩相鄰域最大數是[(N-1)+1]，[(N-1)+1]之“(N-1)”是相鄰域球面圖形數，其中“+1”是背景空間(因為球面圖形不可能無窮大)；由一一對應的射影變換及一一對應的映射關系，將其映射到N維度射影空間中，由上述[(N-1)+1]個(N-2)維度兩兩相鄰域球面圖形為基礎，可以做出最多[(N-1)+1]個都與背景球面(空間)相鄰的(N-1)維度兩兩相鄰域球面圖形，形成[(N-1)+1]+1個兩兩相鄰的(N-1)維度圖形，兩兩相鄰單純空間的最大數是“[(N-1)+1]+1”，“[(N-1)+1]+1”之“[(N-1)+1]”是相鄰域球面圖形數，其中“+1”是背景空間(因為球面圖形不可能無窮大)。即是：在N維度單純空間，做出N-1維度的兩兩相鄰單純空間的最大數是N+1，N+1之“+1”指的是背景空間。

證畢。

二維度空間僅僅是傳統概念意義上的特例。將它作為射影空間，即為1DS2D，內部的單純空間是0DS1D，僅僅存在線束。相鄰域問題，可以理解為點分線為兩相鄰部分(見圖7)。

在上述這個幾何體系下，我們所生活的空間(現實空間)，其實是在4維度射影空間中的3DS空間內。關于第4維γ(注:γ即X4)，除抽象幾何(也稱綜合幾何)外，即使是頂級學者也知之甚少，但他們越來越關心第4維γ，更越來越感到第4維γ存在的重要性，只是感知、觀察和想象非常模糊。

7 N維空間(N-1)DS的構形圖及N+1染色定理

設N維度單純空間內，由若干個(N-1)DS任意分布，組合成一幅N-1維度構形圖。其中每個(N-1)DS的結構式是：(N-2)DS(N-1)D，即由(N-2)維度球面及內部所構成的球體。

單純空間N+1染色定理：在N維度單純空間的每一幅N-1維度構形圖，可以至多用N+1種顏色染色。簡稱N+1色定理。證明如下：

要區分相鄰域就須染色，即相鄰域染上不同顏色。

N維空間的(N-1)DS的構形圖可以歸納為3種基本類型：①鏈式(圖6左1所示)、②內含式(圖6左2所示)、③兩兩相鄰域式(圖6左3所示)。如圖6所示，是3DS空間的2DS鄰域關系的3種基本類型。將3種基本類型的最簡模型作為基本構形圖，任意組合，可以生成任意復雜的構形圖。例如：平面圖形(地圖)；空間的肥皂泡；超弦理論之多個“平行宇宙”的幾何模型圖。其構圖的方法及過程都與地圖相同[2]。

圖6 基本構形圖及染色定理

圖6所示2DS的①鏈式、②內含式染色所需顏色數不多于③兩兩相鄰域式；在N維度單純空間依然如此。因此按照兩兩相鄰域形式的基本構形圖去作任意復雜的構形圖，是研究染色所需最多顏色的充要條件。

設有一個含N+1個(N-1)DS組成的最大數兩兩相鄰域構形圖，染色所需顏色數為N+1。在以它為基本構形圖的基礎上，任意添加1域(即“第N+2域”，例如，圖6右圖白色球所示)；整個N+2個(N-1)DS構形圖，超過兩兩相鄰域最大數，必至少有2個(N-1)DS不相鄰；這2個不相鄰的(N-1)DS球，用同1種顏色染色。再任意添加1域“第N+3域”，當不改變原來各相鄰域關系情況下，至多與其他N+2個域之中的N個(N-1)DS構形圖組成兩兩相鄰域，可以用這N個兩兩相鄰域顏色之外的第N+1色染色；當改變原來各相鄰域關系情況下(例如，與多于N+1個(N-1)DS相鄰)，必出現①鏈式、②內含式結構，含有①鏈式、②內含式結構的N+2個(N-1)DS構形圖可以染色，余下的最后一域，至多與其他N+2個域之中的N個(N-1)DS構形圖組成兩兩相鄰域，因此可以用這N個兩兩相鄰域顏色之外的第N+1色染色。設N+T個(N-1)DS構形圖可染(注：T≥3，整數)，再任意添加1域“第N+T+1域”，構成N+T+1個(N-1)DS構型圖，當不改變原來各相鄰域關系情況下，“第N+T+1域”至多與其他N+T域之中的N個(N-1)DS構形圖組成兩兩相鄰域，可以用這N個相鄰域顏色之外的第N+1色染色；當改變原來各相鄰域關系情況下，必出現①鏈式、②內含式結構，按照上述推理，含有①鏈式、②內含式結構的N+T個(N-1)DS構形圖可以染色，則余下的最后一域，至多與其他N+T域之中的N個(N-1)DS構形圖組成兩兩相鄰域，因此可以用這N個相鄰域顏色之外的第N+1色染色。即是：在N維度單純空間的每一幅N-1維度構形圖，可以至多用N+1種顏色染色。

證畢。

這一論證過程在文獻[2]中已經用過。圖6右圖是3DS空間中的2DS例，在N維空間中的(N-1)DS也類似。

N+1染色定理適用于從特例1DS2D到(N-1)DSND的所有情況。例如：1DS2D，即2維度(平面)射影空間，其內部的構形圖結構式是0DS1D，0DS表示無單純空間構形圖，1D表示僅僅存在線束，點分線為兩相鄰部分，染色須3色(圖7左圖所示)；2DS3D，即3維度射影空間，其內部的構形圖結構式是1DS2D，表示圓面構形圖，就是“四色問題”(圖7中圖所示)；3DS4D，即4維度射影空間，其內部的構形圖結構式是2DS3D，表示球體構形圖，就是“肥皂泡問題”(即現實空間)，染色須5色(圖7右圖所示)。

圖7 染色圖例

8 標準宇宙的三維投影模型

幾何學的產生、發展都是為了應用。上述內容的另一個重要應用是可以為理論物理學、宇宙學提供一個有堅實幾何學基礎的標準宇宙的3維度投影模型[14-17]。如圖8所示，從左至右分別是4DS空間3DS示意圖(兩團色斑表示兩個有限宇宙)、無限宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左2所示)、有限并行宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左3所示)、有限相鄰宇宙在H3(超平面)上的3維度投影模型(圖8左4所示)。

圖8 標準宇宙的三維投影模型

基于這一模型，可以用重積分方法計算宇宙容 量I(參見文獻[14])：

宇宙的年齡約140億年，具體容量還沒有定論。若宇宙范圍(測地線周長)L=1250億光年，則R=L/2π≈200億光年，I≈15.8×1031[光年]3；則徑向膨脹速度超光速，周向退行速度大于3倍光速；則“視界”僅為宇宙的1/3。若宇宙范圍L=280億光年，則地球處于A點，恰好可以從兩個相反方向看到最遠點B，圖8右圖所示。若宇宙范圍＜280億光年，則可以從兩個相反方向看到不同時期的點C。存在膨脹因素的影響，實際情況很復雜[14,17]。

9 結束語

“實幾何”對空間問題的研究十分重要。一些世界難題，例如，四色問題，空間相鄰域及染色問題，經過“實幾何”，借助計算機輔助研究，會變得一目了然。

空間——宇宙，既是科學問題，也是哲學問題，自古以來受人關注。人類太渺小，只是近代才對宇宙有一些膚淺認識。但近一百年來有加速認識的動力、方法和手段。發展趨勢之一是不斷突破對空間的認知。在純數學、理論物理學、宇宙觀測得到突飛猛進發展之時，“實幾何學”卻沒有長足進步，以至于完成這篇論文十分困難；而且仍然有缺憾之處，這些缺憾之處是在近期無法解決的世界難題(例如，4D模擬的理論、方法、技術)。作此論文，除論證以上問題，也想關注實幾何問題、空間關系問題與現代科學技術的緊密聯系。

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