一類超混沌Liu系統(tǒng)動力學分析

張 莉， 李耀偉， 俞建寧， 楊 敏

(1. 蘭州工業(yè)學院 基礎學科部, 甘肅 蘭州 730050; 2.蘭州交通大學 數(shù)理學院， 甘肅 蘭州 730070)

混沌是一種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的類似隨機而無規(guī)則的動力學行為，近年來，它已成為非線性科學研究領域的熱點問題.混沌系統(tǒng)具有內(nèi)隨機性、連續(xù)寬譜和對初始值極端敏感等特點，因此具有極其廣闊的應用范圍．R?ssler在1979年首次提出了一個超混沌系統(tǒng)[1]，并且證明了超混沌系統(tǒng)具有兩個正的Lyapunov指數(shù)．由于超混沌系統(tǒng)具有一個以上的正Lyapunov指數(shù)，所以其動力學行為和周期解可以擴展到更多的方向[2-3]，與混沌系統(tǒng)相比超混沌系統(tǒng)具有更豐富的動力學特性，更大的隨機性以及不可預測性[4-5].已有的超混沌系統(tǒng)的研究大多集中在混沌的實現(xiàn)機制以及同步方面，而關于高維系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)的Hopf分岔分析研究很少.2006年，王發(fā)強等在Liu系統(tǒng)加入一個控制器產(chǎn)生了四維的混沌系統(tǒng)[6]，通過計算李雅普諾芙指數(shù)和電路實驗證明該系統(tǒng)是超混沌的2個正的Lyapunov指數(shù)，稱為超混沌Liu系統(tǒng)[7].關于該超混沌系統(tǒng)的Hopf分岔，目前還沒有文獻進行過研究，本文研究該系統(tǒng)的動力學特性以及Hopf分岔行為，得出系統(tǒng)發(fā)生Hopf時系統(tǒng)參數(shù)應當滿足的條件，并求得系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時極限環(huán)的方向與穩(wěn)定性，最后運用數(shù)值仿真對理論分析進行驗證.

1 基本動力學行為

超混沌Liu系統(tǒng)的非線性動力學模型為

(1)

該系統(tǒng)是在Liu系統(tǒng)的基礎上添加一個控制項w得到的，當a=10,b=40,c=2.5,h=4,k=1,d=10.6時系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，其Lyapunov與分形維數(shù)分別為LE1=1.414 9，LE2=0.126，LE3=0，LE4=-13.767,DL=3.927,系統(tǒng)有兩個正的Lyapunov指數(shù)，所以系統(tǒng)存在一個超混沌吸引子，其吸引子如圖1(a)所示，系統(tǒng)(1)的時間響應圖、Lyapunov指數(shù)譜圖、Poincare截面圖如圖1(b)、圖1(c)、圖1(d)所示.

(a) 三維空間吸引子圖

(b) 系統(tǒng)時間響應圖

(c) Lyapunov指數(shù)譜圖

(d) Poincaré截面圖

應用Matlab數(shù)值仿真，固定a=10，b=40,k=1,c=2.5,h=4,以d作為變量可以得到系統(tǒng)關于d的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖，分別如圖2和圖3所示.

從圖2的分岔圖和圖3的Lyapunov指數(shù)譜圖中可以觀察到，隨著d取值區(qū)間的不同系統(tǒng)出現(xiàn)了超混沌、混沌、周期、擬周期等不同的動力學行為，圖4給出了這4種運動狀態(tài)下的x1-x4平面相圖．

2 平衡點穩(wěn)定性與Hopf分岔分析

令系統(tǒng)(1)方程的右端等于零，即

(2)

圖4 4種運動狀態(tài)下系統(tǒng)x1-x4平面相圖

可以得到系統(tǒng)的唯一平衡點(0,0,0,0)，方程(2)的Jacobi矩陣為

(3)

令|λI-A|=0，方程(2)在(0,0,0,0)對應的Jacobi特征多項式為

λ4+(a+c)λ3+(ac-ab)λ2+

(ad-abc)λ+acd=0

(4)

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知方程(4)的一切根的實部為負數(shù)的必要且充分條件是

(5)

從式(5)中可以解得

(6)

命題1當條件(6)滿足時系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的．

命題2當d=-ab,a>b,-ab>0時系統(tǒng)在平衡點O(0,0,0,0)處發(fā)生Hopf分岔．

證明特征多項式(4)可化為如下的等價形式：

(λ+c)(λ3+aλ2-abλ+ad)=0

(7)

則特征多項式有一特征根為λ1=-c，考慮多項式

λ3+aλ2-abλ+ad=0

(8)

假設式(8)有一對共軛的純虛根λ2,3=±ωi(ω>0)，將λ2,3=±ωi帶入(8)可得

-ω3i-aω2-abωi+ad=0

(9)

(9)式為零的充要條件是實部與虛部都為零，分離實部與虛部有

(10)

從(10)式可以解得

(11)

經(jīng)計算可得

(12)

3 極限環(huán)的方向和穩(wěn)定性

這里運用范式理論[8]研究系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔所分支出來的極限環(huán)的方向穩(wěn)定性.通過計算，可以求得滿足Av1=iω0v1,Av3=-cv3,Av4=-av4的特征向量

對系統(tǒng)(1)定義如下矩陣

P=(Reν1,-Imν1,ν3,v4)=

和變換

(x1,y1,z1,u1)T=P(x2,y2,z2,u2)T

從而有

其中

F1(x2,y2,z2,u2)=

F2(x2,y2,z2,u2)=

應用Hassard等在文獻[9]中提出的方法，進而有

通過解以下方程

Dw11=-h11,(D-2iω0I)w20=-h20

可得

其中

基于上面的分析和計算可得

因此，可以得到以下的表達式

μ2決定Hopf分岔的方向：如果μ2>0(μ<0)，則Hopf分岔是亞臨界的(超臨界的).β2決定極限環(huán)的穩(wěn)定性：β2<0(β2>0)，則極限環(huán)是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).τ2決定極限環(huán)的周期：τ2>0(τ2<0)時，周期是遞增的(遞減的).設a<0,b>0，則有Re(x′(d0))>0，因此，系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔.

4 數(shù)值仿真

為了驗證以上的理論分析，我們選取一組參數(shù):a=2,b=-2，可以得到Hopf的臨界值d=d0=4.系統(tǒng)在發(fā)生Hopf前后的系統(tǒng)相圖如圖5～圖8所示．

從圖5中可以看出當d=4系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)，這與系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時在分岔點出會出現(xiàn)極限環(huán)的理論相一致，所以系統(tǒng)在d=4處發(fā)生了Hopf分岔，證明了理論分析的正確性．

5 結(jié)束語

本文分析了超混沌Liu系統(tǒng)的基本動力學特性并運用數(shù)值仿真的方法進行了驗證，分析了系統(tǒng)的分岔特性，得出系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時應當滿足的參數(shù)條件．選取適當?shù)膮?shù)，可以證明當分岔參數(shù)超過某一臨界值時系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分岔，并運用范式的方法求得系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時極限環(huán)的方向和穩(wěn)定性．數(shù)值仿真驗證了理論分析的正確性．盡管本文研究的系統(tǒng)較簡單，但它有著十分豐富的動力學特性，該系統(tǒng)混沌吸引子的形成機理及其拓撲結(jié)構還需進一步分析.因此，對系統(tǒng)的進一步研究仍然具有重要意義．

圖5 d=3.8時系統(tǒng)的相圖與時間響應圖

圖6 d=4時系統(tǒng)的相圖與時間響應圖

圖7 d=4.2時系統(tǒng)的相圖與時間響應圖

圖8 d=4.5時系統(tǒng)的相圖與時間響應圖

[1]R?sslerOE.Anequationforhyperchaos[J].PhysLettA, 1979, 71(2):155-157.

[2]WuXJ,WangH,LuHT.Modifiedgeneralizedprojectivesynchronizationofanewfractional-orderhyperchaoticsystemanditsapplicationtosecurecommunication[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplication，2012.13(3):1 441-1 450.

[3]LiuYJ.Circuitimplementationandfinite-timesynchronizationofthe4DRabinovichhyperchaoticsystem[J].NonlinearDynamics,2012, 67(1):89-96 .

[4]PangSQ,LiuYJ.AnewhyperchaoticsystemfromtheLsystemanditscontrol[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics，2011,235(8):2 775-2 789.

[5]NiuYJ,WangXY,WangMJ,et al.Anewhyperchaoticsystemanditscircuitimplementation[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2010, 15(11):3 518-3 524 .

[6]WangFQ,LiuCX.HyperchaosevolvedfromtheLiuchaoticsystem[J].ChinesePhys.2006, 15(5):963-968.

[7]WangXY,WangMJ.Ahyperchaosgeneratedfromlorenzsystem[J].PhysicaA:StatisticalMechanicsanditsApplications2008,387(14): 3 751 3 758.

[8]ZhuangKJ.Hopfbifurcationforanewchaoticsystem[J].InternationalJournalofComputationalandMathematicalSciences,2010(4): 358-361.

[9]HassardBD,KazarinoffNDWanYH.TheoryandapplicationsofHopfbifurcation[M]. 1sted.Cambridge:CambridgeUniversityPress， 1911.