基于時間效應的廣義信度模型

劉志海, 張 強

(1.哈密市商業銀行股份有限公司， 新疆 哈密 839000；2.石河子大學 理學院， 新疆 石河子 832000)

在非壽險精算中,信度理論來對未來時期經驗保費的厘定具有重要的意義.主要是通過結合投保人個人的索賠經歷與先驗保費來共同決定保費，所制定的保費為兩者的加權和.關于信度理論的詳細介紹，可見文獻[1].為了計算各種情況下的信度保費，人們建立了各種各樣的信度模型，多數假設歷史時期的索賠具有共同的風險參數,在風險參數給定下,各期的索賠滿足獨立同分布的的條件.然而,在保險實務中，這種假設有時候是不成立的，風險參數對時間存在著依賴性.近年來，關于風險之間的相依性的研究受到越來越多的精算研究者的關注.文獻[2]在提出一種共同效應隨機變量的前提下，建立了風險間有某種相依結構的信度模型，文獻[3]提出了共同效應相依的信度模型，推廣了文獻[2]的結果. 此外，文獻[4]在風險不是獨立的條件下，得到了風險等相關的多合同模型的估計.文獻[5]考慮了給定風險參數歷史索賠服從不同分布的情形，得到了風險間等相關下的廣義信度估計.文獻[6]在假設誤差呈現等相關正態—正態分布下得到了Bayes保費，建立了誤差等相關的Bühlmann信度模型，從而推廣到Bühlmann-Straub信度情形.文獻[7]研究了不同年風險間的時間效應，在平方損失函數下給出了具有時間變化效應的信度模型.

另一方面，保險公司制定下一年保費的時候，往往希望與某個目標(如上一年的保費等)相差較小.平衡損失函數得到了廣泛的應用，文獻[8]在平衡損失函數下討論了廣義的信度模型.文獻[9]在平衡損失函數下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計，并討論了性質.文獻[10]在平衡損失函數下給出了風險具有共同效應的信度估計，推廣了文獻[9]的結果.文獻[11]在平衡損失函數下研究了風險相依回歸的信度模型，同時得到了風險等相關與共同效應的回歸信度估計.

本文考慮了不同年份的風險有時間效應，采用某種相關矩陣來刻畫時間變化效應，在平衡損失函數下討論了具有時間變化效應的信度估計.

1 模型假設與準備知識

本文研究滿足如下假設的風險間具有時間變化效應的信度模型.

假設3平衡損失函數為如下形式

L(A,B)=w(δO(X)-A-BX)2+

(1-w)(Xn+1-A-BX)2

(1)

其中δO(X)為Xn+1的已知目標估計

在上述的假定下，我們的目標是基于所有的歷史索賠數據X=(X1,X2,…Xn)′，來估測未來年的索賠Xn+1的保費，此時需要解決最小化問題

(2)

μδ=E[δ0(X)],Cov(δ0(X),Xi)=d,

d=(d1,d2,…,dn)

下面陳述一些準備型的引理.

引理1在假設1，假設2下，有以下結論

(1)Xi的均值E(Xi)=γiμ,i=1,2,…,n

(2)X可表示為X=(X1,X2,…,Xn)′,

Cov(Xn+1,X)=τn+1(τ1,τ2,…,τn)

詳細證明可參見文獻[3].

其中∑YX是Y與X的協方差矩陣，證明可見文獻[12].

由引理2可知，隨機變量Y在隨機向量X的非齊次函數類L(X,1)上的正交投影為非齊次信度估計，即有

(3)

2 平衡損失函數下的信度保費估計

定理1在假設1和2下，通過求解最小化問題，可得未來索賠Xn+1的非齊次信度估計為

其中：

證明令Y=IδO(X)+(1-I)Xn+1,隨機變量I滿足P(I=1)=1-P(I=0)=w.

此時最小化問題轉化為

(4)

應用引理2，可得Xn+1的信度估計為

(5)

由Y的定義，E(Y)可表示為

E(Y)=wμδ+(1-w)μ

(6)

事實上有E(Y|I)=E(X),從而可知

Cov(E(Y|I),E(X|I))=0

協方差矩陣∑YX為

∑YX=Cov(Y,X)=wCov(δ0(X),X)+

(1-w)Cov(Xn+1,X)=

wd+(1-w)τn+1(τ1,τ2,…,τn)

通過引理1，有

(7)

和

(8)

結合(5)-(8)式，可得Xn+1的信度估計為

3 結束語

信度理論作為非壽險精算學的核心內容之一，已成為非壽險保險公司精算部門重要的工具.由于現實復雜，一般情況下，風險之間都存在著某種相依性.本文考慮歷年風險具有時間效應，在平衡損失函數下得到了風險具有時間變化效應的信度保費，所得到的信度估計依然為經典信度模型的加權形式，這一結果推廣了經典的信度模型，可為非壽險保險公司制定下期保費提供理論依據.

[1] 溫利民,林霞,王靜龍. 平衡損失函數下的信度模型[J].應用概率統計,2009,25(5):553-560.

[2] 張強,崔倩倩,張娟.一類基于風險等相關的廣義信度保費[J].山東理工大學：自然科學版,2012,26(6):98-102.

[3] 鄭丹,章溢,溫利民.具有時間變化效應的信度模型[J].江西師范大學學報：自然科學版,2012,36(3):249-252.

[4] Bühlmann H, Gisler A. A course in credibility theory and its application[M].Netherlands: Springer, 2005.

[5] Yeo K L, Valdez E, Valdez E. A Claim Dependence with Common Effects in Credibility Models[J].Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 38(3):609-629.

[6] Wen L M, Wu X Y, Zhou X. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44(1):19-25.

[7] Wen L M. The credibility models with equal correlation risks[J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2011,24(3):532-539.

[8] Wen L M，Wang W，Yu X L．Credibility models with error uniform dependence[J]．Journal of East China Normal University:Natural Science,2009,9(5)：119-126．

[9] Gomez-Deniz E. A Generalization of the credibility theory obtained by using the weighted balanced loss function[J]. Insurance: Mathematical and Economics, 2008, 42(2):850-854.

[10] Hwang W Z, Wu X Y. The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2012,28(2):203-216.

[11] Hwang W Z. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function[J]. Journal of East China Normal University :Natural Science, 2013(1):30-40.

[12] Radhakrishna R C, Toutenburg H,Shalabh H C,etal.Linear models and generalizations:least squares and alternatives[M].New York:Springer,1995.