“點和圓的位置關系”的教學實錄

摘 要：通過一節課的教學實錄體現新課標中的情境教學、探究學習的內涵所在。

關鍵詞：實錄；課標；探究；有效

2013年9月18日，我們研修班中學數學組的一行7人到南屏中學參加常態課摸底觀摩，其中三位老師的內容是人教版數學八年級上冊《全等三角形》中的“線段垂直平分線的性質”，四位老師的內容是人教版數學九年級上冊“圓”中的“點和圓的位置關系”。我執教的是“點和圓的位置關系”，現把我教學中的一些片段摘錄如下。

【情境導入】

師：我們每個人總會有些情投意合的朋友稱為圈內人士，也會有志趣不相符的“陌生人”，我們稱為……

生齊答：圈外人士。

（因為是借班上課且是上午第四節課，學生都比較疲憊，通過這個簡單的引入拉近和學生的關系，也為下面的學習埋下伏筆。）

師：如果把剛才所說的圈和朋友分別用一個幾何圖形來表示，應該用什么圖形，又是什么樣的位置關系呢？

生：圈用圓來表示，朋友用點來表示。

師：請一個同學到黑板上畫一圓。（請一生畫圓，并記作⊙O）

師：再請一個同學在圓所在的平面內畫幾個點，要求盡量不同。（再請另一生畫點，沒達要求的請人補充）

師：看圖知，這些點不是在圓上？

生齊答：就是在圓內或圓外。

師：這就是我們今天一起需要研究的內容。（老師邊說邊板書課題：點和圓的位置關系（1））

【探索新知】

師：在剛才所畫的一圓所在的平面中，分別取點A、B、C，使A在圓內，B在圓上，C在圓外，請個人量一下OA、OB、OC的長度，并比較與半徑4 cm的大小關系。

（生按要求操作，并前后左右進行比較找規律：A點在圓內，則OA<4；B點在圓上，則OB=4；C點在圓外，則OC>4）

師：在另一個圓所在的平面上取點，使OA=3 cm，OB=4 cm，OC=5 cm，請觀察此時三點與圓有怎樣的位置關系？前后左右之間交流一下，看是否有相同的結論？

（生按要求操作并交流得出結論：若OC>4，則C點在圓外；若OA<4，則A點在圓內；若OB=4，則B點在圓上.）

師（板書）：若假設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，即OP=d

則：點P在⊙O內？圳dr

……

探索也即探究活動，是在課堂教學中設計具有探索研究問題本質的活動，以問題情境為載體，引導學生積極、自主、合作地進行探究與學習。在學習中獲得知識、發展思維、學會研究的方法，從而培養學生的學習能力。通過讓學生動手測量，把直觀的位置關系與抽象的數量關系互化，從而達到解決問題的需要。

【例題精講精練】

師：例1.（1）已知⊙O的半徑為2，OP=4.2，OA=1.2，OB=2，CO=1，則這些點跟⊙O有怎樣的位置關系？

（2）已知OP=3，若點P在⊙O的外部，那么⊙O的半徑r滿足什么條件？如果P在圓上或圓內呢？

（師生交流，生口述（1）的答案，并探討（2））

生1：點P在⊙O的外部，r

師：有不同的意見嗎？

生2：因為r表示半徑，為正數，故還應大于0，即0

（老師提議鼓掌表揚）

……

師：例2.已知⊙O的半徑為1，點P到O的距離為d，若方程 x2-2x+d=0有實數根，試判斷點P與⊙O的位置關系？

師析：這是與一元二次方程的解有關的問題，現根據“根的判別式”列不等式再解決問題。

生：令Δ≥0，得d≤1；點P在⊙O上或外。（師提醒各位同學注意“≤”的含義）

師：請各位思考：⊙O的半徑為R，圓心到點A的距離為d，且R，d分別是方程x2-6x+8=0的兩根，則點A與⊙O的位置關系是

（ ）

A.點A在⊙O的內部

B.點A在⊙O上

C.點A在⊙O的外部

D.點A不在⊙O上

（學生獨立思考求得方程的解為2和4，但下面誰是R，誰是d，困惑了）

師：不能確定的量，就可以分類思考啊。（學生豁然開朗）

生：當R=2，d=4時，有d>R，則點A在⊙O外；當R=4，d=2時，有d

例3.在直角△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以A為圓心，以BA為半徑作⊙A，問點B、C及BC的中點D與圓A有怎樣的位置關系？

[讓學生自己讀題做題，請一學生到黑板板演（只有簡單答案），老師在巡視的過程中發現有一同學有詳細過程，就請其板演，但沒體現比較過程，老師點評，要求書寫規范化]

師：在由“數量關系推斷位置關系時，要體現一個比較過程”。

師：剛才研究的是三角形問題，把它放在四邊形情境中如何？

變題：已知矩形ABCD的邊AB=3厘米，AD=4厘米，（1）以點A為圓心，3厘米為半徑作圓A，則點B、C、D與圓A的位置關系如何？（2）以點A為圓心，分別以4厘米、5厘米為半徑作圓A呢？（3）以A為圓心，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，至少有一點在圓外，求此圓半徑R的取值范圍。

……

（第（3）題答案就五花八門了）有：3≤r≤5或3

讓學生討論研究后，師生交流。

師（用圓規在圖上比劃的同時和學生對話）：有一點在圓內的話就應是 B ，有一點在圓外的話就應是 C ，故界點應是 B、C ，去掉答案 3

師：討論是否包括3和5呢？

生：若包括的話，是指B、C在圓上，而非圓內圓外，不符合題意。

師：所以最后答案為3

三道例題在設計時，體現了基礎性、層次性、發展性與有效性，對學生鞏固、理解、深化與應用所學知識都是有益的、有效的。隨著新課程改革的不斷深入，教師要不斷地教學研究，善于學習、吸收好的教學方法和經驗，不斷提高課堂教學的有效性和高效化，而搭建“同課異構”的平臺更有利于教師的研究性學習。

（作者單位 江蘇省海安縣吉慶初中）

編輯 謝尾合