數字化公差控制效果預測方法及其公差數學模型的建立

黃強，高嬋君

(重慶理工大學機械工程學院，重慶400054)

機械產品的公差設計質量，是影響其功能、質量和成本的決定性因素［1］。目前，計算機輔助公差設計(CAT)已逐漸成為了保障公差設計質量的最有力手段。制定和完善公差的數學定義和數學模型，使計算機能夠對幾何形體的公差信息做出正確的解釋，是應用計算機進行公差分析、綜合或者優化的基礎。以美國在1994年頒布國際上第一個公差數學定義標準ASME Y14.5.1M-1994［2］為標志，大量相關研究工作在國際范圍內展開并取得了一系列進展。國內以吳昭同教授為首的課題組以零件在CAD 造型中攜帶公差信息為切入點，對公差的數學語義、數學模型、公差網絡自動生成以及公差分析等基礎問題進行了系統的研究［3－10］，并將研究成果逐步應用于自行開發的三維CAD 原型軟件，代表了我國CAT 基礎研究的水平。公差設計是面向功能的設計［11］，設計對象的多樣性決定了功能的多樣性，至今仍沒有一種公差模型和分析方法能夠適用于所有的設計對象。此外，公差設計包含大量的智力工作，如封閉環及修配環選擇、公差項目選擇等，而智力恰恰是當前計算機的短板。在這種情況下，根據實際分析需求，研究基于人機交互的公差分析模式及其公差數學模型是必要的。本文作者從機床總體精度分析及公差設計需求出發，提出了一種計算機輔助公差分析及設計方法，并建立了幾種基本幾何表面的公差數學模型。

1 基于控制效果預測的公差分析與設計方法

零件由各種類型的表面圍成，這些表面的不同功用決定它們加工要求的不同。在裝配層公差設計中，將每一個部件視為一個誤差單元，即公差控制對象。其公差數字化分析及設計的簡要方案如圖1所示。

圖1 機床系統精度分析及公差設計方案簡圖

1.1 建立機床在系統層面上的數字化誤差模型

機床誤差建模基于多體系統運動學和齊次坐標變換原理［12］，在該層面上，模型能準確反映機床各個部件之間的幾何位置、姿勢、運動關系以及誤差傳遞規律。該模型是計算機輔助系統精度分析及公差設計的核心，將用于機床誤差單元的敏感性分析、公差控制效果的數字化檢驗以及單項公差對系統輸出精度的作用規律分析。

1.2 機床誤差單元的敏感性分析

應用前述模型，通過對誤差單元的六自由度誤差進行單位誤差設定，可以預測分析各個誤差單元對機床輸出誤差的影響權重，尤其是在加工誤差敏感方向上的影響權重，從而為機床系統的公差分配及裝配調整提供重要依據，詳細的分析方法和對具體樣機的分析結論可參閱文獻［13］。

1.3 公差制定

在該層面上，只對各個部件中的部分功能表面進行公差限定，即針對影響機床整機輸出精度的裝配結合面。限于目前計算機智能及推理能力的發展水平，公差類型主要采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺－導軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。確定這些公差大小的依據來源于3 個方面:

(1)誤差敏感性分析結果，越敏感的誤差制定越嚴格的公差;

(2)企業現有工藝和加工設備的精度保障能力;

(3)企業的公差設計經驗沉淀。

1.4 公差控制效果檢驗及公差調整

在完成公差的初步制定后，其控制效果是否滿足設計要求是未知的，必須對各項相關公差的積累控制效果進行數字化預測檢驗。如果預測檢驗的結果不合格或者不理想，就需要結合敏感性分析的結果選擇公差調整對象并進行針對性調整，而確定調整量大小，則需要先分析該項公差對系統輸出精度的量化作用規律。這是一項人機交互式的循環工作，直到設計結果滿意為止。要完成這兩項工作，都需要相關功能表面的公差具有面向系統的語義及與之對應的數學模型。

2 面向系統的公差語義與表示形式

對于單個零件，其公差語義為公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗等工作，此處不再贅述。但在系統公差設計的實施中，則需要零件功能表面的公差具有面向系統的公差語義。例如，圖2為某車床的結構示意圖，設床身0 上與主軸箱7 結合的表面為P，其公差為T，平面P 在公差范圍內的變動，必然造成部件7 位置和姿勢(以后簡稱位姿)的變化，并通過部件8、9 傳遞到工件10，導致工件10 偏離理論位姿，從而最終影響零件的加工精度。公差T 的直接作用效應，是使部件7 在六自由度上偏離其理想位姿，即沿X 向、Y 向和Z 向的平移;繞X軸、Y 軸和Z 軸的轉動，文中用ΔX、ΔY、ΔZ、Δα、Δβ 和Δγ 表示。這一組輸出變量表征了公差T 在系統中對其廣義配合件的作用輸出，即公差T 面向系統的公差語義。

圖2 機床結構示意圖

在公差控制效果預測中，最被關注的是該項公差對“刀具－工件”相對位姿的最終約束效果，所以，公差的對外作用語義應表示為與誤差傳遞［13］相同的形式以適應公差約束結果的傳遞，即:

不同的公差具有不同的公差帶，這些公差帶均可用式(1)表示，其區別只是約束不同。因此，不同幾何要素的公差，需要建立不同的約束模型。

3 基本表面的公差數學模型的建立

對一個指定的表面，根據需求可以有不同的公差約束形式，如尺寸公差、相對其他要素(平面和直線)的平行度、垂直度、傾斜度、對稱度以及本身的形狀。公差域由4 個要素決定，公差域的形狀可統一用式(1)表示，所以不同的表面公差約束體現為位置、大小和方向的不同。機床裝配中最常見的結合表面為平面和圓柱面，下面示例介紹公差數學模型的建立方法。

3.1 平面

如圖3所示，平面公差的自由度變量為線位移自由度變量ΔY、轉動自由度變量Δα 和Δγ。在平面P的中心建立局部坐標系Oi－Xi－Yi－Zi，Xi和Zi軸分別平行于矩形的兩條邊，Yi軸垂直平面P。設矩形邊長分別為2a 和2b，平面P 上點坐標為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實際平面P'偏離理想平面P，即平面P 上點(x，0，z)偏離到(x'，y'，z')。平面P'上的所有點應約束在距離為T 的上下兩平行平面之內。在該局部坐標系內，局部坐標系在公差T 范圍內的自由度變量的取值范圍和相互關系可表示為:

圖3 平面公差的幾何模型示意圖

3.2 軸線

如圖4所示，軸線自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和轉動自由度變量Δα、Δβ。在軸線LL 的中心建立局部坐標系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于軸線，Yi為鉛垂方向。設圓柱直徑、長度分別為T 和2L，軸線上點坐標為(0，0，z)，其中－ L≤z≤L。實際軸線LL'偏離理想軸線L，即軸線LL 上的點(0，0，z)偏離到(x'，y'，z')，軸線LL'上的所有點應約束在直徑為T 的圓柱面區域內。在該局部坐標系內，局部坐標系在公差T 范圍內的自由度變量的取值范圍和相互可表示為:

圖4 軸線公差的幾何模型示意圖

3.3 圓柱面

如圖5所示，圓柱面(孔)自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和轉動自由度變量Δα、Δβ。在軸線的中心建立局部坐標系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于軸線，Yi為鉛垂方向。設圓柱半徑差、長度分別為T 和2L，圓柱面上點坐標為(rcosθ，rsinθ，z)，其中－L≤z≤L，r 為理想圓柱的半徑，0≤θ≤2π。實際圓柱面偏離理想圓柱面，即圓柱面上點坐標為(rcosθ，rsinθ，z))變為(x'，y'，z')，實際圓柱面上的所有點應約束在半徑差T 的兩同心圓柱面區域內。在該局部坐標系內，局部坐標系在公差T 范圍內的自由度變量的取值范圍和相互關系可表示為:

圖5 圓柱面公差的幾何模型示意圖

3.4 棱柱面(模擬導軌)

如圖6所示，棱柱面自由度變量為線位移自由度變量ΔX、ΔY 和三個轉動自由度變量Δα、Δβ、Δγ。在實際接觸兩棱柱面的導軌外側棱線形成的矩形平面P 中心建立局部坐標系Oi－Xi－Yi－Zi，Zi軸平行于棱線，Yi軸垂直平面。設棱線在水平平面和在垂直平面的平行度及長和寬分別為T、2a 和2b，棱線上點坐標為(±b，0，z)，其中－a≤z≤a。實際棱線因為自由度偏離上理想棱線，即棱線上點坐標為(0，0，z)變為(x'，y'，z')。矩形平面上點坐標為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實際棱柱平面P'因為自由度偏離上理想平面P，即平面P 上點坐標為(x，0，z)變為(x'，y'，z')，實際棱線上的所有點應約束在邊長為T 的四棱柱區域內，兩棱線形成的矩形平面約束在距離為T 兩平行平面區域內，在該局部坐標系內，局部坐標系在公差T 范圍內的取值范圍和相互關系如下:

圖6 棱柱面公差的幾何模型示意圖

4 公差控制效果預測方法示例

基本幾何表面公差數學模型的建立，為實施圖1所示的系統數字化精度分析及公差設計方案提供了所需的支持。針對機床系統的公差設計效果預測是一項系統工作，包含一系列的設定與分析步驟，所以僅選取單一公差控制效果預測和多公差綜合控制效果預測作為應用方法示例。

分析對象為圖2所示機床，其基本數據見表1。

表1 目標機床的部件公差和尺寸 mm

4.1 單一公差控制效果預測

(1)分析目標

設床身0 上與主軸箱7 結合表面的公差為T0－7，其他公差項目的取值為零。現預測分析T0－7控制下刀具相對工件位姿誤差的變動范圍及規律。

(2)分析原理及方法

機床在加工的某一時刻，設刀具坐標系中刀具與工件的接觸點為Qt=(xt，yt，zt)，該點經過一系列中間部件坐標系的齊次坐標變換，會在工件坐標系中得到一個對應點。如果刀具和工件坐標系本身以及中間部件坐標系均不存在位姿誤差，則對應點處于理論位置Qw=(xw，yw，zw)。反之，其對應點將偏離理想位置而處于其實際位置Q'w=(x'w，y'w，z'w)，兩者的偏差值則體現了所有誤差的綜合作用結果。現在，只有床身0 與主軸箱7 的結合表面存在誤差并被限制在公差T0－7內，則可預測分析公差T0－7控制下Q 點的變化范圍及分布情況。

設刀尖點為被分析點，該點在刀具坐標系中的坐標為Q(－2，0，0)，根據機床系統的誤差建模結果，Q 點在無誤差狀況下向工件坐標系的傳遞關系為:

其中，Tij為部件j 到部件i 的理想位姿特征變換矩陣。

現在，床身0 與主軸箱7 的結合表面存在誤差并被限制在公差T0－7內，則Q 點向工件坐標系的實際傳遞關系為:

其中，ΔT07為部件7 到部件0 的誤差特征變換矩陣，式中的ΔY、Δα 和Δγ 滿足式(3)。此時，Q 點偏離理想位置的相對誤差為:

(3)分析步驟及結果

公差檢驗必須考慮誤差的分布性特點，所以，在本分析中采用編程方式實現三維公差的蒙特卡羅仿真。部件7 和部件0 接觸的平面P' 應約束在距離為T的上下兩平行平面之內。其平面的位姿變動將導致最終執行部件偏離理想位置。由一系列滿足公差條件的平面可以得到刀具相對工件位姿誤差的公差，和最大、最小值。用MATLAB 進行仿真，步驟如下:

①部件7 到部件0 的誤差特征變換矩陣ΔT07里自由度變量為ΔY、Δα 和Δγ。用數學方法產生符合公差條件的組ΔY、Δα 和Δγ，n =100 000。ΔY 為±0.01 mm 范圍內的期望為0、標準差為0.02/6 的正態分布隨機數。Δα、Δγ 為±0.000 1 rad 范圍內的期望為0、標準差為0.000 2/6 的正態分布隨機數。形位公差約束六自由度變量，即自由度變量滿足含形位公差的約束不等式方程。平面P'應約束在距離為T 的上下兩平行平面之內，滿足式(3)的n 組ΔY、Δα和Δγ 為符合公差條件的n 個平面的位姿變量。

②機床空間誤差模型。按照式(16)建立刀具與工件相對位姿誤差模型。把滿足約束不等式方程的自由度變量的n 個隨機數帶入，得出n 個輸出的空間誤差值，其分布情況如圖7所示。

③統計輸出誤差的分布范圍及規律。把n 個空間誤差值進行概率統計，計算其期望和標準差。在公差T0－7控制下，Q 點在x、y 和z 方向上的偏離量呈正態分布，其6δ 值分別為0.025 0、0.038 4 和0.024 0，范圍分別為［－0.012 8，0.012 3］、 ［－0.020 0，0.018 4］和［－0.011 9，0.012 1］，此即公差T0－7的控制效果。

圖7 Q 點在x、y 和z 方向上的誤差分布

4.2 多公差綜合控制效果預測

分析目標:預測分析多個公差的綜合控制效果。

分析方法及步驟與單一公差控制效果預測相似，不同之處在于機床設定了多個公差項目(見表1)，此時，Q 點到工件坐標系的實際傳遞關系:

其中，ΔTij為部件j 到部件i 的誤差特征變換矩陣，ΔTij里的自由度變量分別滿足各自的公差約束。刀具與工件的相對偏離量為:

在表1 所設定的公差項目的綜合約束下，Q 點在x、y 和z 方向上偏離理想位置的6δ 值分別為0.065 3、0.108 0 和0.038 7，其分布范圍分別為［－0.035 3，0.030 0］、 ［－0.059 0，0.049 0］和［－0.018 9，0.019 8］。

5 結論

(1)在機床系統層面的數字化精度分析及其公差設計中，需要相關零件幾何要素具有面向系統的公差語義。該語義可定義為零件公差在系統中對其廣義配合件的作用輸出，具體體現為對6 個自由度的約束。

(2)將公差的對外作用語義表示為齊次坐標變換矩陣的形式，可以將公差數學模型與系統誤差模型統一起來，實現公差設計效果的數字化預測，為機床的精度設計提供有效的支持。

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