非對稱3-(2SPS)并聯機床的靈巧度分析

陳婕，李開明

(南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094)

并聯機床是以空間并聯機構為基礎的新一代加工設備，它是基于機床技術、機器人技術和現代數控技術相結合而出現的新型機床［1］。自20世紀90年代中期出現以來，已引起了越來越多的專家和學者的關注。并聯機床的靈巧度反映了關節動作向操作動作的映射能力，是度量機床在加工過程中動力學性能的主要指標，也是確定刀具位置的關鍵因素［2］，因此靈巧度的研究對于并聯機床的設計和實用性具有重要意義。

SALISBURY 等人提出采用逆雅可比矩陣的最大與最小奇異值的比值即逆雅可比矩陣的條件數來衡量并聯機床的靈巧度。文中對3-(2SPS)并聯機床的靈巧度進行了研究，利用MATLAB 分析了靈巧度在工作空間的變化規律。

1 3-(2SPS)并聯機床機床描述

圖1所示為3-(2SPS)并聯機床的結構簡圖。該機床由3 組平行驅動桿(A1a1//A2a23、A3a23//A4a45、A5a45//A6a6)、動平臺(a1a23a45a6)以及定平臺(A1A2A5A6)組成。平行桿兩端與上下平臺之間采用球鉸鏈鉸接，桿組A1a1、A2a23、A5a45、A6a6在同一平面A1A2A5A6內，鉸接點A3、A4與平面A1A2A5A6的距離為u。3 組平行桿由伺服電機同步驅動，以改變動平臺在一定空間內的位置和姿態。動平臺a1a23a45a6為等腰梯形，上底和腰長為d，底角為β。定平臺鉸接點安裝距離為d，即A1A2= A3A4= A5A6=a1a23=a23a45=a45a6=d。

圖1 3-(2SPS)并聯機床結構簡圖

2 逆雅可比矩陣

逆雅可比(Jacobin)矩陣反映了關節空間速度與末端操作器速度的映射關系，也稱為一階運動影響系數。求解逆雅可比矩陣是分析機床性能的基本要求。

如圖2所示，C1、C2、C3分別是A1A2、A3A4、A5A6的中點，C'2是C2在A1A2A5A6平面內的投影，三角形C1C'2C3為等腰直角三角形，其外接圓圓心為O，半徑為R。在定平臺上以O 為原點建立直角坐標系O－xyz，z 軸沿OC1方向，y 軸在A1A2A5A6平面內且垂直于z 軸，x 軸方向由右手定則判定。動平臺上以a1a6的中點O'為原點建立動坐標系O'－x'y'z'，z'軸沿O'a1方向，y'軸在a1a23a45a6平面內且垂直于z'軸，x'軸方向由右手定則判定。

圖2 定、動平臺鉸鏈點幾何關系

四邊形a1a23a45a6的邊a1a6的中點為O'。β =30°，偏置u = 500 mm，O'相對于定平臺的坐標為(x，y，z)，得機床的位姿反解方程為:

其中:li為伸縮桿的長度，i=1，2，…，6;

伺服電機驅動兩根平行桿同步伸縮，所以該機床只能沿著x、y、z 3 個坐標軸平動，而不能繞著3 個坐標軸轉動，其逆雅可比矩陣的公式如式(4)所示:

由式(1)—(4)得:

由公式可以看出逆Jacobin 矩陣與機床的實際操作速度無關，只和機床的尺寸參數和位形有關［3］，基于這個特點，該矩陣對機床的靈巧度研究有很大的幫助。

3 靈巧度分析

靈巧度是衡量操作空間隨著關節空間變化而變化的敏感度。靈巧度有3 個度量指標［4］:逆Jacobin 矩陣的條件數、最小奇異值和可操作性，分別反映機床的各向同性、響應速度和可操作性。一般情況下，各向同性最能體現機床的靈巧度規律，文中在此只對機床的各向同性進行研究。

操作空間速度向關節空間映射時存在如式(6)所示的關系:

式中:v 是關節輸入速度，u 是末端操作手的速度。

由式(6)可得:

由矩陣的相容性可知:

實際控制過程中在工作空間內，雅可比矩陣J 是可逆的，則同式(8)得:

由式(8)、式(9)可得:

這里采用矩陣的譜范數得出雅可比矩陣的條件數m，令m=‖J‖·‖J－1‖=n1/n2，n1、n2分別為逆雅可比矩陣的最大、最小特征值。可以看出:當條件數大，則u 微小變化將引起v 較大的變化，即機床穩定性差;當條件數小，則u 有微小的變化，v 變化也很小，此時系統的穩定性好。由條件數的定義可知，條件數變化范圍是1 到正無窮，所以當m =1時，系統的穩定性最好。當機床出現奇異位形時，條件數為無窮，這時v 處于失控的狀態，即使u 不改變，v 也可能改變。在控制的過程中，不僅要保證機床有較好的靈巧度，同時也要避免奇異位形的出現。

4 仿真分析

給定桿間距d =350 mm，三角形C1C2C3的外接圓半徑R = 620 mm，驅動桿的長度變化范圍li=650 ～1 200 mm，下面將采用MATLAB 取稍大于工件空間的矩形區域進行仿真，得出不同截面下3-(2SPS)并聯機床的條件數即各向同性度uzf 的變化曲線，其中－500 mm≤x ≤500 mm、0 ≤y ≤500 mm、－500 mm≤z≤500 mm。由于仿真空間并沒有排除可能出現奇異位形的空間，仿真出的曲線有條件數為0 的情況，不利于曲線的分析，所以采用條件數的倒數進行仿真，其變化范圍是0 到1。

從圖3(a)可知:在y =350 mm 處，逆雅可比矩陣的特征值出現為0 的情況。圖3(b)表明，機床的各向同性度變化比較平緩。對比圖3(c)和圖3(d)可知:y 增大時，出現奇異位形的位置朝著x 軸的負方向移動。由圖3(e)和圖3(f)可知:雖然z變化，但是出現奇異位形的位置沒有改變，隨著z 的增加，各向同性度在整體上增加了，運動精度提高。總體而言，當3 組平行桿處于同一平面時，機床會出現奇異位形，離奇異位形越近的區域，靈巧度越差，在后續的控制中，應該有效地避開這樣的位置。

圖3 各截面各向同性度的分布

5 結論

通過仿真得出了該并聯機床各向同性度的分布規律，也反映出機床可能出現奇異位形的區域。在具體工作時，應控制刀具在靈巧度較好的工作空間中運動，并且進行機床工件坐標系定位時，也可以根據靈巧度的分布情況將工件放置在理想的位置。同時可以對該機床的尺寸參數作進一步的優化，使機床具有最佳的傳動性能。

【1】李長河，蔡光起.并聯機床發展與國內外研究現狀［J］.青島理工大學學報，2008，29(1):7－13.

【2】黃田，汪勁松.Stewart 并聯機器人局部靈活度與各向同性條件解析［J］.機械工程學報，1999，35(5):41－46.

【3】黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機床學［M］.北京:高等教育出版社，2006.

【4】陳修龍，趙永生，鹿玲.并聯機床的靈巧度評價指標及其應用［J］.光學精密工程，2007，15(2):237－242.

【5】李鐵民，鄭浩峻，汪勁松，等.并聯機床不同位形下的運動精度評價指標［J］.機械工程學報，2002，38(9):101－105.

【6】王瑜.5-UPS/PRPU 并聯機床工件定位系統的開發［D］.秦皇島:燕山大學，2005.