基于子陣劃分的二維穿墻MIMO陣列設計

(國防科技大學電子科學與工程學院,湖南長沙410073)

0 引言

近些年來,伴隨著新的需求以及新的概念的引入,雷達成像技術有了長足的發展。應對于城市反恐、巷戰以及火災、地震等災難廢墟中被掩埋受災人員的搜救等需求[1-3],超寬帶穿墻成像技術得到廣泛研究。

目前,大部分研究主要針對于二維穿墻成像,利用寬帶信號得到距離向分辨率,利用天線的空間展布得到方位向分辨率。然而,由于二維成像是對真實三維空間二維投影的結果,成像結果不可避免地會出現陰影效應以及空間模糊等現象。對于一些復雜場景來說,投影幾乎意味著混疊不可辨,因此,通過天線的二維空間展布獲取目標場景的三維信息就成為了迫切需要。

為了解決穿墻三維成像中合成孔徑成像時的實時性問題以及實孔徑成像時大量實際陣元帶來高成本問題,MIMO技術[4-5]通過虛擬陣元技術,在保持實際陣元數目不變的情況下可獲得更大的成像孔徑,得到廣泛應用。考慮到二維平面陣列中,收發陣元位置的可選擇性過大,若是直接設計分析二維MIMO陣列,難度會較大,結果也可能并不盡人意。協同陣、虛擬陣等等效陣列[3,6-9]可將收發異置的MIMO陣列形式等效為收發同置形式,這種等效分析為MIMO陣列的分析設計提供了重要工具。

在文獻[10]中Lockwood通過選擇不同的收發陣元間距提出一種稀疏二維陣列設計框架,Smith在文獻[11]中利用快速傅里葉變換方法得到幾種遠場典型二維陣列,Zhuge在文獻[12]中利用分離孔徑函數的方法將一維線陣的設計方法推廣至二維均勻面陣。考慮到利用等效陣列分析MIMO陣列性能時,其等效條件僅在某一較小角度內是有效的,因此,利用等效陣列設計MIMO陣列時,希望所設計的MIMO陣列與等效陣列具有相同的視角,其收發陣列的尺寸盡可能小,從而保證近乎一致的成像幾何。參考陸必應等人在文獻[3]中給出的一維STVA陣列,本文在具體分析一維STVA陣列具有最短物理尺寸的原理上,提出基于子陣劃分的去卷積方法,利用子陣劃分后的部分信息衡量評價去卷積后得到多種MIMO陣列,從而選擇出具有最小物理尺寸的MIMO陣列,并最終將這種方法推廣至二維面陣情況,設計出適于穿墻三維成像的二維MIMO陣列,并利用仿真實驗進行了驗證。

1 協同陣與虛擬陣

協同陣的概念是由Kassam等人[7]提出,主要基于將雙程收發異置天線對等效為單程單個等效陣元的思想,利用波束形成技術得到陣列波束方向圖,從而表征原始陣列性能。考慮二維平面MIMO陣列,設該MIMO陣列包含M個發射陣元和N個接收陣元,各陣元均位于xz平面上,如圖1所示。分別記第m個發射陣元的坐標位置為rt,m=(xt,m,0,zt,m),m=0,1,2,…,M-1,第n個接收陣元的坐標位置為rr,n=(xr,n,0,zr,n),n=0,1,2,…,N-1。則協同陣等效陣元的位置向量可由收發陣元位置向量的和向量來表示：

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。

圖1 二維平面MIMO陣列示意

假設發射陣元rt,m和接收陣元rr,n的加權系數分別為wt,m與wr,n,則協同陣等效陣元的加權系數可表示為

若多個協同陣等效陣元位置相同,則該位置處加權系數為多個加權系數之和。

對于窄帶遠場條件下,MIMO陣列波束方向圖可通過陣列加權系數的傅里葉變換得到：

式中,θ,φ表示目標到陣列中心的入射高度角和方位角;k=2π/λ表示波數,λ表示波長。

將式(1)、(2)代入式(3)可得

式(4)中第一個和式為發射陣列的波束方向圖,可記為Pt(θ,φ),第二個和式為接收陣列的波束方向圖,可記為Pr(θ,φ),因此,對于窄帶遠場MIMO的波束方向圖可表示為收發陣列波束方向圖的乘積形式。

而對于寬帶遠場情況,由于信號持續時間較短,信號能量隨時間變化起伏較大。因此,寬帶信號下波束方向圖為空間角度和時間的多維函數,可表示為

式中,k=2π/λ表示中心頻率對應的波數;c表示光速;A(t)表示發射的寬帶脈沖包絡,在理想單頻情況下,A(t)為一常量。

與協同陣稍有差別,虛擬陣[3,8-9]基于相位中心近似原理,將原始雙程收發異置MIMO陣列等效為雙程收發同置等效陣列,對于上文中給出的MIMO陣列,等效虛擬陣可表示為

式中,i=(m+1)(n+1)-1,m=0,1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,N-1。而虛擬陣的加權系數則與協同陣的加權系數一致,即wv,i=wc,i,i=0,1,2,…,MN-1。

對于收發同置的虛擬陣,由于發射與接收信號傳播途徑完全一致,因此,對于雙程成像過程可等價為單程波束形成過程,此時,信號傳播速度為實際傳播速度的一半,因此寬帶遠場虛擬陣的波束方向圖可表示為

式中,kv=2π/λ=4πfc/c表示中心頻率對應的波數,fc為中心頻率。

2 點擴展函數

前文中波束方向圖是基于遠場假設得到的,對于近場成像誤差較大,而點擴展函數(PSF)為成像系統對理想點目標的響應,近遠場都適用,因此對于穿墻成像一般選取點擴展函數的部分指標作為衡量陣列性能的標準。

仍考慮圖1所示二維平面MIMO陣列,假設理想點目標位于坐標ro=(xo,yo,zo),發射寬帶信號為步進頻信號：

式中,f p=f0+pΔf,p=0,1,…,P-1為步進頻率,Δf為頻率間隔,P為步進頻數。為計算簡便,取所有頻點信號幅值均為1,即S(f p)=1,p=0,1,2,…,P-1。在自由空間傳播條件下,第m個發射陣元與第n個接收陣元關于第p個頻點的雙程格林函數可表示為

式中,k p=2πf p/c表示頻點f p所對應的波數。因此,對于成像區域r=(x,y,z),該二維平面MIMO陣列的點擴展函數可以表示為

由式(10)可知,MIMO陣列的點擴展函數是關于目標位置r o、成像位置r為空變函數。

而對于等效虛擬陣,其點擴展函數可表示為

式中,rv,i為第i個虛擬陣元的位置,ro為目標位置,r為成像位置。

在評價成像質量時,一般取PSF主瓣的3 dB寬度為分辨率,并以PSF的峰值旁瓣比(PSLR)以及積分旁瓣比(ISLR)表征對弱目標的辨別能力,可分別定義如下：

式中,Ps,max為最高旁瓣功率,Pmain為主瓣功率,Ptotal為總功率。

3 二維MIMO陣列設計

由文獻[5]可知,根據分辨率以及旁瓣要求可設計出一維均勻等效線陣,且在等效陣列一定的情況,一維STVA陣列具有最小物理尺寸的特性,這種特性對于便攜性要求以及受限環境下的成像具有巨大優勢。

仍考慮文獻[5]中的等效虛擬陣,比較圖2中待選的五種MIMO線陣可以發現,當接收陣列尺寸較大時,發射陣列尺寸會較小,符合等效陣列不變的原則。

由于等效陣列可以看作MIMO收發陣列之間的空間卷積,即

式中,De(r)為等效陣元的分布函數;Dt(r),Dr(r)分別為發射陣元和接收陣元的分布函數;“?”表示空間卷積運算。由卷積的性質可知,當發射陣元確定時,等效陣列是由多個發射陣元處接收陣列的副本組成。因此,在部分情況下,由等效陣列去卷積得到收發陣列的過程,可以簡化為將等效陣列劃分為多個相同結構子陣的過程。對于同一等效陣列,不同的子陣劃分形式會導致去卷積得到不同的MIMO陣列,如圖2所示等效線陣,確定發射陣元個數為2時,該線陣具有多種不同的子陣劃分形式,從而得到不同的收發結構MIMO陣列形式。

圖2 多個具有相同等效虛擬陣的線性MIMO陣列

為了考察不同子陣劃分形式對最終MIMO陣列物理尺寸的影響,下面引入綜合尺寸的概念,其可定義如下：

式中,Le表示最終MIMO陣列的綜合尺寸;Lr,Lt分別表示等效陣列去卷積得到的收發陣列的物理尺寸。結合等效陣列的定義以及卷積的性質可知：

式中,Lr0表示通過子陣劃分得到的接收陣列的副本的尺寸,da表示各子陣中心之間的距離,Nt表示發射陣元數目。將式(15)代入式(14)中,可得

對于圖2中所示5種不同子陣劃分,其綜合尺寸如表1所示。

表1 圖2中5種子陣劃分的綜合尺寸 (單位：等效陣元間距)

由表1可知,STVA陣列(陣列2)所對應子陣劃分其綜合尺寸最小,因此STVA陣列具有最小物理尺寸。

將一維STVA陣列的原理推廣至二維面陣情況,考慮等效陣列為二維均勻方陣,假設該等效二維均勻面陣包含N×N的等效陣元,陣元間距分別為d x,d z,其分布函數可表示為

等效陣列的中心位置為

假設發射陣元數為T,T為二維等效方陣行數或列數N的一個因數,則可確定接收陣元數為R=N×N/T,對R進行因式分解,設R可分解為N R組因式乘積,記其中第a組因式分解為R=R ax×R az,若R ax和R az均為N的非自身因數,則再對R ax,R az分別進行因式分解,設其分別可分解為N ax,N az組因式乘積,分別記其中第p,q組因式分解為R ax=R apr×R aps,R az=R aqr×R aqs;若R ax或R az等于N,則記N ax或N az為1;若R ax或R az不為N的因數,則記N ax或N az為0,因此,整個等效陣列可分解為N E種不同子陣劃分形式,N E滿足下式：

取N E中任意一子陣劃分形式,得到一種子陣結構,即接收陣列的副本可表示如下：

該接收陣列副本的中心位置可表示為

因此,接收陣列的分布函數可表示為

根據式(17)、(22)以及式(6)給出的等效虛擬陣元的位置關系可得,發射陣列的分布函數為

將式(17)、(22)、(23)代入式(13)中,式(13)成立,因此,式(22)、(23)中的收發陣列位置滿足等效陣列設計要求。

與一維線陣稍有差別,二維面陣需要同時考慮方位向和高度向的物理尺寸,因此,引入適用于二維面陣的綜合尺寸概念,可表示為

式中,“∪”表示取并集覆蓋面積;Sr0表示子陣尺寸;Ntx,Ntz表示沿x,z方向的子陣個數;dtx,dtz分別表示沿x,z方向子陣之間的間距。

由切片投影原理[13]可知,二維面陣在某個方向的性能是由該陣列在此方向的陣元投影決定的,因此當僅關心方位向和高度向兩個基本方向陣列性能時,可先分別設計滿足方位向、高度向的性能要求的一維均勻線陣,再將兩個基本線陣組合成二維均勻面陣。

因此,整個二維MIMO陣列的設計過程可遵循以下幾個步驟：

(1)根據陣列性能要求設計方位向、高度向一維均勻線陣[3,6],分別得到

(2)將兩個一維線陣組合為二維均勻面陣,如式(17)所示;

(3)對于給定發射陣元數目,按照式(19)劃分二維均勻面陣,得到接收陣列副本如式(20)所示,根據式(24)選取最小綜合尺寸對應的子陣劃分形式以及接收陣列副本;

(4)根據式(22)從接收陣列副本確定接收陣元位置;

(5)根據卷積特性,由等效陣列位置以及接收陣列位置確定發射陣元位置如式(23)所示。

4 設計實例及仿真結果

陣列要求：設計UWB二維MIMO陣列,要求該陣列在距離5 m處,天線中心對應處方位向、高度向可達到0.3m分辨率,旁瓣水平低于-25 dB,發射陣元數為18,整個陣列物理尺寸盡可能小。

為適于UWB成像要求,采用步進頻信號體制,中心頻率為1 GHz,帶寬為1 GHz,頻率步進為4 MHz,按照前文中所述設計步驟,結合文獻[6]可知,一維均勻線陣孔徑長度L以及陣元數目N分別滿足下式：

通過式(27)、(28)可得到,L=2.28 m,N=18,因此經一維線陣組合成的二維均勻面陣為一18×18(2.28 m×2.28 m)的均勻方陣,陣元間距d=0.1341 m,由于發射陣元數為18,由式(19)可知,該方陣可按照圖3所示15種方式劃分為18個相同結構的子陣。

圖3 二維面陣15種18個陣元的子陣結構

根據式(24),可以計算得到這五種子陣結構的綜合尺寸如表2所示。

表2 圖3中15種子陣劃分的綜合尺寸 (單位：等效陣元間距的平方)

由表2可知,陣列4子陣結構對應的綜合尺寸最小,相應的MIMO陣列物理尺寸最小,按照相應步驟可得到MIMO收發陣列形式如圖4所示。

圖4 等效二維均勻面陣和MIMO收發陣列

利用仿真軟件對所設計二維等效均勻面陣以及MIMO陣列性能進行仿真驗證,其PSF如圖5所示。通過對比可以發現,二維等效均勻面陣與MIMO陣列性能均滿足設計要求,且兩者PSF具有較好的一致性,從而驗證了利用等效陣列設計二維MIMO陣列的正確性以及利用劃分子陣結構來去卷積得到MIMO陣列的有效性。

為驗證所設計MIMO陣列在穿墻三維成像中應用,利用仿真軟件對穿墻三維成像進行仿真實驗,假設MIMO陣列距墻3 m,墻體厚度為0.2 m,介電常數為4.2,在墻后2 m處沿高度向設置兩個點目標,目標間距為0.4 m,成像場景示意以及成像結果如圖6所示。通過仿真實驗可以發現,示例中所設計的MIMO在穿墻三維成像方面具有較優性能。

5 結束語

本文利用等效陣列的概念來分析設計MIMO陣列,分析了一維STVA陣列具有最短物理尺寸的原理,并將其原理推廣至二維面陣,提出利用子陣劃分的方法解決等效陣列到MIMO陣列的去卷積問題,最后舉例設計了適于要求UWB-MIMO陣列,并將其用于穿墻三維成像仿真實驗,取得較好的成像結果。

圖5 等效陣列與MIMO陣列方位向、高度向PSF對比圖

圖6 三維穿墻成像場景示意及成像結果

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